2023年廣東省廣州市南沙區(qū)中考數(shù)學一模試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列實數(shù)中，最小的是（）

A.—V2B.—2C.0D.3

2.在平面直角坐標系中，與點4（3,-4）關于原點對稱的點的坐標是（）

A.（-3,-4）B.（3,4）C.（-3,4）D.（4,-3）

3.廣東省市場監(jiān)督管理出臺了一系列政策促進廣東餐飲行業(yè)的發(fā)展，據(jù)統(tǒng)計，2023年第一

季度廣東省餐飲主體營收達480億元，將“480億”用科學記數(shù)法表示是（)

A.48x109B.4.8x102C.4.8x109D.4.8xIO10

4.下面的計算正確的是()

A.(a+b)2=a2+b2B.4a—a=4

C.(i,.(；■(11D.(a3)4=a12

5.如圖，在△ABC中，點E,F分別為ZB,4c上的點，若AE=BE,AF=CF,則下列結論

錯誤的是（）

B.EF=^BC

A.ShABC—2sA4EF

C.^AEF-^ABCD.EF//BC

6.若反比例函數(shù)y=:的圖象在第二、第四象限，常數(shù)k和b互為相反數(shù)，則一次函數(shù)y=kx-

b在平面直角坐標系中的圖象大致是（）

7.如圖,在。。中，點C是圓上的一點且乙4cB=120。，弦

AB=12,則。。的直徑長是（）

A.8c

B.40

C.24

D.12

8.若a是關于一元二次方程3/，2123II的一個實數(shù)根，則」壯32“命的值是

（）

A.4046B.-4046C.-2023D.0

9.如圖，在平面直角坐標系中，點4的坐標是4（一2,1）,AB=5,且乙40B=90。.那么點B到

x軸的距離是（）

10.如圖，在菱形ZBCD中，/.ABC=60°,AB=4,點E是48邊上的動點，過點B作直線CE

的垂線，垂足為G，當點E從點4運動到點8時，點G的運動路徑長是（）

42____

A.-7TB.-JrC.4yl3D.2yl3

二、填空題（本大題共6小題，共18分）

11.實數(shù)16的平方根是.

12.一次函數(shù)y=2x-4與y軸的交點的坐標是.

13.某同學參加學校藝術節(jié)歌唱比賽，其中唱功、表情、動作三個方面的得分分別是90,85,

90,綜合成績中唱功、表情、動作分別占60%,20%,20%,則這位同學的綜合成績是.

14.直線，J/%，線段BC分別小，2交于點。，C，過點B作4B1BC,交直線，于點A,4DCE的

平分線交直線k于點F.若/BAD=15。，則4CFD的度數(shù)是.

B

15.已知平面直角坐標系中，點。（0,0）,C（2,2）,將線段OC向正南方向平移2個單位得到線

段。16,將線段OiG繞點。1按順時針方向旋轉90。后得到線段（八，則點的坐標是.

16.如圖，矩形4BCD中，點E是邊4B的中點，將△ADE沿。E翻

折得到AFCE,延長EF交于點G,連接BF,DG.

：11_￡/.>/…則4EBF的度數(shù)是.（用含a的代數(shù)式表

示）

（2）48：AD=2：3,貝IUGEB的正切值是.

三、解答題（本大題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題分）

解一元一次方程：21.<-3，，+4）.

18.（本小題分）

如圖，AB=AD,乙B=LD,BC=DE.

求證：/.BAE=Z.DAC.

19.（本小題分）

已知/

1x+11

(1)化簡7;

(2)若x是不等式組［；'：!”，的整數(shù)解，選擇一個合適的x代入T,并求出此時T的值.

20.(本小題分)

已知y與x+2成正比例，當x=-3時，y=3.

(1)求y與x的函數(shù)解析式：

(2)若(1)函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=2x+4的圖象相交于點4求點4的坐標.

21.(本小題分)

某中學為推進“中國傳統(tǒng)文化進校園”，在本校組織開展中國傳統(tǒng)文化知識競賽，并隨機抽

取了部分學生的測試成績(成績分為4等，B等，C等，。等)為樣本，繪制成了如下兩幅不完整

的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中所給信息，下列問題：

(1)將表示成績類別為“C等”的條形統(tǒng)計圖補充完整；

(2)該校共有2000名學生參加了本次知識競賽，試估計本次知識競賽中測試成績?yōu)椤?等”和

“B等”的學生人數(shù)之和；

(3)該校按照競賽成績找出4名同學組成兩隊(每隊兩人)參加市知識競賽，4名同學中有2位男

生和2位女生.若學校通過抽簽隨機組合，請用列舉法表示這4名同學的組隊情況，并求出性別

相同的同學在同一組的概率.

22.(本小題分)

如圖，在A/1BC中，AC2+BC2=AB2.

(1)尺規(guī)作圖：以4C為直徑作。0,連接8。并延長，分別交。。于。，E兩點(點。位于4c右

側，點E位于4C左側).

(2)連接CD,CE,求證：乙BCD=4E；

⑶若、til,BC=2V_3.求cosNBAC的值.

A

23.（本小題分）

古往今來，橋給人們的生活帶來便利，解決跨水或者越谷的交通，便于運輸工具或行人在橋

上暢通無阻.廣州市南沙區(qū)是典型的“水鄉(xiāng)”，萬里珠江在此奔騰入海，轄域里己有的和正在

建設的各式橋梁把南沙從曾經(jīng)的“孤島”連成了粵港澳大灣區(qū)的中心，助南沙貨物流轉、人

才集聚、便民宜居.中國橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河北省趙

縣交河上的趙州橋建于隋朝，距今己有約1400年的歷史，是當今世界上現(xiàn)存最早、保存最完

整的古代敞肩石拱橋.如圖①所示，趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦長）37米,

拱高（拱頂點到弦的距離）為7.23米.

⑴某橋4主橋拱是圓弧形（如圖①中:加?已知跨度AC=40m,拱高2。=10m,則這條橋

主橋拱的半徑是

（2）某橋B的主橋拱是拋物線形（如圖②）若水面寬MN=10m,拱頂P（拋物線頂點）離水面4m,

求橋拱拋物線的解析式；

（3）如圖③，某時橋4和橋B的橋下水位均上升了2?n,求此時兩橋的水面寬

圖③

24.（本小題分）

定義新概念：有一組鄰邊相等，且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形.

圖①圖①備用圖圖②

(1)圖①，等腰直角四邊形力BCD,AB=BC=4,/.ABC=90°.

①若CD=3,2。_1。。于點。，求4。的長：

②若AD=DC,/.ADC=45%求8。的長；

(2)圖②，在矩形48CO中48=6,BC=15,點P是對角線BD上的一點，且BP=2PD,過點

P作直線分別交邊AD，BC于點E,F,要使四邊形4BFE是等腰直角四邊形，求4E的長.

25.(本小題分)

拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸交于點2(-1,0)點B,與y軸交于點C(0,-3)拋物線的對稱

軸與x軸交于點D.

(1)求b、c的值；

(2)點E是線段BC上的一個動點，過點E作為軸的垂線與拋物線相交于點F,當四邊形BCCF的

面積取得最大值，求此時點E的坐標；

(3)點P在的拋物線上，點Q在的拋物線的對稱軸上，若直線BC垂直平分線段PQ時，求點P的

坐標.

答案和解析

1.【答案】B

解：由題意和實數(shù)大小比較法則，知：最小的數(shù)只能在-。和-2中找，

v1<<2,

-2<<-1,

故選：B.

根據(jù)實數(shù)大小比較法則“正數(shù)大于0,負數(shù)小于0,兩個負數(shù)絕對值大的反而小”比較即可.

本題考查實數(shù)大小比較,解答時涉及無理數(shù)大小估計,熟練運用實數(shù)大小比較法則是解題的關鍵.

2.【答案】C

解：點4(3,-4)關于原點對稱的點的坐標是(-3,4),

故選：C.

根據(jù)兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得答案.

本題考查了關于原點對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：關于原點對

稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù).

3.【答案】D

解：480億1MMMHMHMHMI?10，\

故選：D.

用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為ax10\其中1<|a|<10,n為整數(shù)，據(jù)此判斷即可.

此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為axl(r的形式，其中13同<10,n

為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

4.【答案】D

解：4、(a+b)2=a2+2ab+b2,原式計算錯誤，故選項不符合題意；

B、4a-a=3a,原式計算錯誤，故選項不符合題意；

C、a3-a4=a3+4=a7,原式計算錯誤，故選項不符合題意；

D、(a3)4=a12,原式計算正確，故選項符合題意.

故選：D.

根據(jù)完全平方公式、合并同類項的法則、同底數(shù)累乘法以及累的乘方的法則計算即可判斷.

本題考查了完全平方公式、合并同類項的法則、同底數(shù)幕乘法以及幕的乘方的法則，解題的關鍵

是熟練掌握相關的公式和法則.

5.【答案】A

解：???AE=BE,AF=CF,

：■EF是ZMBC的中位線，

:,EF=拙1,EF//BC,

???△4E尸?△ABCf

故8、C、。正確；

???△AEF^LABC,

.Sy>.EFAIJ.aI1

SU,.H(21'

S4ABe=4SAAEF>

故A錯誤.

故選：A.

由三角形中位線定理，推出EF=^BC,EF//BC,得至ABC,由相似三角形的性質(zhì)得到

SAABC=4S44EF。

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握以上知識點是解題的關鍵.

6.【答案】D

解：???反比例函數(shù)y=:的圖象在第二、第四象限，

k<0,

???常數(shù)k和b互為相反數(shù)，

b>0,

???一次函數(shù)丫=在平面直角坐標系中的圖象在第二、三、四象限，

故選：D.

根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)確定k的符號，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結論.

本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)是解題

的關鍵.

7.【答案】A

解：延長B。交圓于D,連接D4,

?.,四邊形D4CB是圓內(nèi)接四邊形，

AND+NC=180°,

VzC=120°,

乙D=60°,

v8。是圓的直徑,

KDAB=90°,

AB

ainD而，

？=86

??.DD=

9in60V3

~2~

.?.O。的直徑長是8「.

故選：A.

延長8。交圓于￡),連接D4由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到ND+NC=180。，求出NO的度數(shù)，應用

銳角的正弦即可求出圓的直徑長.

本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，關鍵是通過作輔助線構造直角三角

形，應用銳角的正弦進行計算.

8.【答案】C

解：:a是關于一元二次方程3,/221U的一個實數(shù)根，

..3u?a2H23I),

a21>23，

,73.2“仙/=3023-2(3??-a)=2n23-2x2023=-2023.

故選：C.

先根據(jù)一元二次方程的定義得到<)2必，再把"“變形為21四.1,

然后利用整體代入的方法計算.

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的

解.

9【答案】B

解：如圖，過點A作4C1X軸于C,過點B作BDlx軸于0,

:點a的坐標是4（一2,1）,

???AC=1,0C=2,

:.AO=VI2+22=\T~^,

-AB=5,且4408=90°,

..（小g_（用=2/,

.\（）B.1（（）!”，

/.CAO+Z.A0C=Z.A0C+乙BOD=90°,

:.Z-CA0=乙BOD,

???Z.ACO=（BDO=90°,

???△ACO^/s.ODB,

ACOD\

cdTH）21

設0。=a,BD=2a,

由勾股定理得：。82=。。2+8。2,

???（2門）2=。2+（2a）2,

??.a=2（負值舍），

RD-2aI.

即點B到x軸的距離是4.

故選：B.

如圖，過點A作力C1x軸于C,過點B作BD1x軸于D根據(jù)勾股定理計算40,0B的長,證明△4cos△

0DB,可得結論.

本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)和判定，勾股定理，作輔助線構建三角形相似

是解本題的關鍵.

10.【答案】A

解：如圖，連接4C、8。交于點“，連接。

???BF1CE,

???乙BGC=90°,

???點G的運動軌跡在以邊長8。為直徑的。。上，

當點E從點A運動到點B時，點G的運動路徑長為介，

???四邊形48co是菱形，

:.AB=BC=CD=AD=4,

???Z.ABC=60°,

???乙BCH=60°,

HOHI2i＞，

.?.醺的長=^^=9兀，

故選:A.

如圖，連接力C、BD交于點H,連接。機首先說明點E從點4運動到點B時，點F的運動路徑長為4h

求出圓心角，半徑即可解決問題.

本題考查菱形的性質(zhì)、弧長公式、軌跡等知識，解題的關鍵是正確尋找點尸的運動軌跡，屬于中

考?？碱}型.

11.【答案】±4

解：???(±4y=16,

二16的平方根是±4.

故答案為：±4

利用平方根定義計算即可.

此題考查了平方根，熟練掌握平方根的定義是解本題的關鍵.

12.【答案】（0,-4）

解：把x=0代入y=2x—4得，y=—4,

即一次函數(shù)y=2x-4與y軸的交點坐標是（0,-4）.

故答案為：（0,—4）.

把x=0代入y=2x-4求出y的值，即可得出答案.

本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，注意：一次函數(shù)與x軸的交點的縱坐標是0.

13.【答案】89分

解：該名同學綜合成績?yōu)椋?0x60%+85x20%+90x20%=89（分），

故答案為：89分.

根據(jù)加權平均數(shù)的定義列式計算即可.

本題主要考查加權平均數(shù)，解題的關鍵是掌握加權平均數(shù)的定義.

14.【答案】52.5°

解：AB1BC,

乙B=90°,

???4BAD=15°,

ID^BAD丁〉，

Z/DC./.ADH75，

...n）c.ix'Liw?,

乙DCE=105°,

???NOCE的平分線交直線k于點F.

Z/（7中…

v

KFD=ZFCE=52.5.

故答案為：52.5°.

首先利用三角形的內(nèi)角和定理求出Z。，然后利用平行線的性質(zhì)求出NCCE,最后利用平行線的性

質(zhì)及角平分線的性質(zhì)即可求解.

此題主要考查了平行線的性質(zhì)，同時也利用了三角形的內(nèi)角和定理，解題的關鍵是熟練掌握平行

線的性質(zhì).

15.【答案】（2,-4）

解：如圖，（八（.即為所求.C2（2,-4）.

故答案為：（2,—4）.

利用平移變換，旋轉變換的性質(zhì)作出圖形，可得結論.

本題考查作圖-平移變換，旋轉變換，解題關鍵是正確作出圖形，屬于中考常考題型.

3

4-

解：(1)?.?將△4DE沿DE翻折得至FDE,

■.Z.ADE=乙FDE=a,Z.A=Z.DFE=90°,

.ADI?."317,/.AEG+Z.BEG=180°,

./.'/,(；.ADI-

故答案為：2a；

(2)在40上取點H,使OH=EH,

則.ADEjIIED-八，

/IHA2a，

"AB：AD=2：3,

.?.設AO=3x,AB=2x,I)HII!y,

則.1113.iy,

???點E為4B的中點，

1///KKr，

在RtAAHE中，由勾股定理得，

''J'/y，

解得y=y>

AHSJ7::,

3

/.tanZ.EBCi-tailNAHE--二

AH二1，

故答案為：

(1)根據(jù)翻折的性質(zhì)得再利用四邊形內(nèi)角和

為360?？傻么鸢?；

(2)在40上取點H,使DH=EH,則一，mHED…求出

NAHE的正切值即可.

本題主要考查了矩形的翻折，勾股定理，解直角三角形等知識，通過作輔助線將NBEG轉化為N4HE

是解題的關鍵.

17.【答案】解:23131T?II,

lx6：k.12,

ITXJ1216,

—x=18>

x=-18.

【解析】按照解一元一次方程的步驟：去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1,進行計算即可解

答.

本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵.

18.【答案】證明：在AABC和ZkADE中,

AB=AD

Z.B=Z.D,

BC=DE

ABC三△4DE(SAS),

Z.BAC=乙DAE,

:.Z.BAC-Z.CAE=Z.DAE-Z.CAE,

■■Z.BAE=Z.DAC.

【解析】由4B=4D,乙B=4),BC=DE,根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△力BCma

ADE,AC=4ME,根據(jù)等式的性質(zhì)得NBAC-ACAE=Z.DAE-/Q4E,所以/BAE=ADAC.

此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等式的性質(zhì)等知識，正確地找到全等三角形的對應邊和

對應角并且證明4ABCNAACE是解題的關鍵.

_2(x+l)(x-l)

一(x+l)(x-l)x+2

2

=x+2；

Jr+3XKD

一I5h>3?)

解不等式①，得x>-3,

解不等式②，得x<l,

???不等式組的解集為：其中整數(shù)有一2,-1,0,

由題意得：x*±1和一2,

當x=0時，原式=六=1.

【解析】(1)根據(jù)分式的減法法則、除法法則把原式化簡；

(2)解不等式組求出x的范圍，根據(jù)分式有意義的條件確定x的值，代入計算即可.

本題考查的是分式的化簡求值、一元一次不等式組的解法，掌握分式的混合運算法則是解題的關

鍵.

20.【答案】解：⑴設y=/c(x+2),

把x=-3,y=3代入得3Z-13■2l,

解得k=-3,

所以y與x之間的函數(shù)關系式為y=-3x-6；

⑵由J，解得憂I

???點4的坐標為(—2,0).

【解析】(1)利用正比例函數(shù)的定義，設丫=卜(％+2),然后把已知的對應值代入求出k即可；

(2)解析式聯(lián)立成方程組，解方程組即可求得4的坐標.

本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩條直線相交問題，兩條直線的交點就是兩條直線解

析式組成的方程組的解.

21.【答案】解：(1)抽取的學生人數(shù)為：5+10%=50(人),

“C等”的人數(shù)為：Suj2215人）,

將條形統(tǒng)計圖補充完整如下：

答：估計本次知識競賽中測試成績?yōu)椤?等”和“B等”的學生人數(shù)之和為1080人;

(3)畫樹狀圖如下：

共有12種等可能結果，其中性別相同的同學在同一組的結果有4種，

.??性別相同的同學在同一組的概率為志=/

【解析】(1)由成績“A等”的人數(shù)除以所占百分比得出抽取的學生人數(shù)，即可解決問題；

(2)由該校共有參賽學生乘以測試成績?yōu)椤?等”和“B等”的學生人數(shù)所占的比例即可；

(3)畫樹狀圖，共有12種等可能結果，其中性別相同的同學在同一組的結果有4種，再由概率公式

求解即可.

本題考查了樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖等知識.樹狀圖法可以不重復不遺漏的

列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放

回試驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

22.【答案】（1）解:圖形如圖所示:

(2)證明：???DE是直徑,

???Z.ECD=90°,

:.2.E+Z,CDE=90°,

vOC=OD,

???Z.ODC=Z.OCDJ

-AC2BC2=AB2.

???乙ACB=90°,

???乙BCD+ZOCD=90°,

乙BCD=4E；

(3)解：?.rinNZJ￡C--,

???Z.E=30°,

???乙EDC=60°,

vOC=OD,

??.△OCD是等邊三角形，

???Z.BOC=60°,

-2人，

GinMI

???AC=2OC=4,

AB=VAC2+BC2=42+(2<^)2=2/7,

【解析】(1)根據(jù)要求作出圖形；

(2)利用等角的余角相等證明即可：

(3)解直角三角形求出力C,AB,可得結論.

本題考查作圖-復雜作圖，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意,

靈活運用所學知識解決問題.

23.【答案】25

【解析】解(1)連接。4延長8。，由垂徑定理知80延長線經(jīng)過點。,

設弧4B所在圓的半徑為R米，

由題意得：0D，AB,CD=10,

則力。=BD=20,OD=R-8；

由勾股定理得：R2=202+(/?-10)2,

解得：R=25,

即弧4B所在圓的半徑為25m.

故答案為:25；

(2)如圖所示，以水面所在直線為久軸，MN的中點為原點，建立平面直角坐標系,

設拋物線解析式為y=a%2+4,將點M(—5,0)代入得,

25a+4=0,

解得：a=—宗，

.?拋物線解析式為y=-^x2+4；

(3)如圖所示，依題意,GD=2,

?I

0

則B（；-ill2r,

COrB（；、17,

^.Rt^OGE^,

ECs/EO2-GO*=,25*-IN=4低，

EF-2EG-8V，

則水面寬度為8―71米;

由(1)可得拋物線解析式為12r.i:,如圖所示,

即當y=2時，2

解得：X[=X=5/~2

22

.??水面寬度為米.

(1)連接04,延長BD至點。，在RMA0D中，AO2=AD2+OD2,代入數(shù)據(jù)即可求解；

(2)以水面所在直線為x軸，MN的中點為原點，建立平面直角坐標系，依題意，P(0,4),M(-5,0),

設拋物線解析式為y=ax2+4,將點M(-5,0)代入，待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(3)根據(jù)垂徑定理，勾股定理，在RtAOGE中求得EG,即可得出廠/11(；由(2)可得

拋物線解析式為y?*rJ,當y=2時，解一元二次方程，即可求解.

本題考查二次函數(shù)的應用，關鍵是建立坐標系求出函數(shù)解析式.

24.【答案】解：（1）①如圖①，連接4C,

圖①

vAB=BC=4,/.ABC=90°,

AC=4AT2.

???AC1CD,

：.AL>\.1(,百?752?!)\

②如圖①一1,連接BO,過點C作CE1BC交8。于E,

???AB=BC,AD-CD,BD-BD,

???△ABD^^CBD(SSS),

???^ABD=Z.CBD=45°,.Hix,ADH22：.)

vCE1BC,

???乙BEC=NCBE=45°,

???BC=CE=4,BE=4\T2,

：2BDC+ZECD=ZBEC15,

"BDC=，ECD?22

CE=DE=4,

..BDBEDE1h2;

(2)若EF1BC,則四邊形4BFE是矩形，

???AE=BF,

-AD//BC,

BPED

PD而’

vBP=2PD,EDBlAD15,

IEBFllh

vAB-6,

???AE*AB

???四邊形ABFE表示等腰直角四邊形，不符合條件.

若EF與BC不垂直，

①當4E=4B時，如圖②中，此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形,

圖②

AE-AB=6,

■■AD//BC,

BPED

PD而‘

VBP=2PD,ED15(>",

BF2,15,

.??此時點F在BC的延長線上，不合題意，舍去;

圖③

BF=AB=6,

-AD//BC,

BP