模塊綜合測評（一）

考試時間120分鐘，滿分150分.

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的）

1.（2021?遼寧本溪）有2位同學報名參加5個課外活動小組，每位同學限報其中的一個

小組，則不同的報名方法共有（C）

A.10種B.20種

C.25種D.32利1

［解析］每位同學有5種選擇，則不同的報名方法共有5X5=25（種）選法.故選C.

2.（2021.河北武邑）若AR3C\I，則n的值為（C）

A.4B.5

C.6D.7

［解析］因為A號=3C",所以即〃=6.故選

3.（2021.江西臨川）獨立性檢驗顯示：在犯錯誤的概率不超過0」的前提下認為性別與

是否喜愛喝酒有關，那么下列說法中正確的是（D）

A.在100個男性中約有90人喜愛喝酒

B.若某人喜愛喝酒，那么此人為女性的可能性為10%

C.認為性別與是否喜愛喝酒有關判斷出錯的可能性至少為10%

D.認為性別與是否喜愛喝酒有關判斷正確的可能性至少為90%

［解析］獨立性檢驗是對兩個分類變量有關系的可信程度的判斷，而不是因果關系，故

A、B錯誤.由已知，得認為性別與是否喜愛喝酒有關判斷出錯概率的可能性至多為10%,

故C錯誤，D正確.

4.（2021.廣西南寧三中）若隨機變量《服從正態分布o2）,則「（//-。〈產幺+0尸

68.26%,P（//-2。<。</+2"）=95.44%.已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態

分布N（0,32）,從中隨機取一件，其長度誤差落在區間（3,6）內的概率為（B）

A.4.56%B.13.59%

C.27.18%D.31.74%

［解析］由題意得"=0,<r=3,：.PO<i<6）=P（/i+a<^+2a）

PQl-2<7<5<4+2（7）一尸〃-+

=2

95.44%—68.26%

2=13.59%.

5.（2021.全國甲卷）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（C）

［解析］解法一(將4個1和2個0視為完全不同的元素)4個1分別設為L4,1B,1C,1D2

個0分別設為OAOB,將4個1和2個。隨機排成一行有Ag種排法，將排成一

行有匐種排法，再將0A,。8插空有Ag種排法，所以2個0不相鄰的概率「=鬻=余

解法二(含有相同元素的排列)將4個1和2個0安排在6個位置，則選擇2個位置安

排0,共有或種排法；將4個1排成一行，把2個0插空，即在5個位置中選2個位置安排

ci2

0,共有eg種排法.所以2個。不相鄰的概率尸=含=東

21

6.(2021?安徽馬鞍山二中)若X是離散型隨機變量，P(X=xy)=yP(X=xi)=y又己知

42

E(X)=y￡＞(X)=§,則刈的值為(D)

A-3B-3

C.3D.1

21

［解析］,??.+§=1，

???隨機變量尢的值只能為Xl,X2,

C2,14

科+/=］,

芥1-第+狐-郛音,

由=1,

?,.|xi-x2|=l.故選D.

7.己知4是離散型隨機變量，則下列結論錯誤的是(D

B.[E?產WEd）

C.￡＞（給=。（1—給D.￡＞（玲=。（（1-孑）

［解析］在A中，加莉=/一卜舄卜危W步尸(一坐WG用，故A正確；

在B中，由數學期望的性質得［E?PWE(3)，故B正確；在C中，由方差的性質得。(②=

0(1—。，故C正確；在D中，。心)WC((12)=4。?+。(3)，故D錯誤.

8.甲袋內裝有2個紅球和3個白球，乙袋內裝有1個紅球和〃(〃CN*)個白球.現分別

從甲、乙兩袋中各取1個球，若將事件“取出的2個球恰為同色”發生的概率記為火〃)，則

以下關于函數人〃)(〃eN*)的判斷正確的是(C)

23

A.式〃)有最小值，且最小值為5B.八")有最大值，且最大值為§

C.大〃)有最小值，且最小值為(D.1")有最大值，且最大值為寺

［解析］事件A=｛取出2個球同為紅色｝,事件8=｛取出的2個球同為白色｝,則事件A

與事件B是互斥事件，所以/OJ)=P(AUB)=P(A)+P(B)=|X*Y+,XUI=^*1P由

31

于函數/(")=^一.上］、在［1,+8)上是單調遞增函數，所以當〃=1時，函數

JI1J

取得最小值.*1)=/

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，

有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0

分)

9.袋子中有2個黑球，1個白球，現從袋子中有放回地隨機取球4次，取到白球記0

分，黑球記1分，記4次取球的總分數為X,則(ACD)

28

A.X~B(4,B.P(X=2)=打

5o1

QQ

C.X的期望E(X)=QD.X的方差￡>(X)=g

［解析］由于每次取球互不影響，故所有結果有4類：

①4次全是白球，X=0,記其概率為尸(X=0)=(；)4='p

②4次只有1次是黑球，X=l,記其概率為p(x=l)=CljQ)=3

③4次只有2次是黑球，X=2,記其概率為P(X=2)=ag｝G)=!|；

④4次只有3次是黑球，X=3,記其概率為P(X=3)=C［停

⑤4次全是黑球，X=4,記其概率為尸(X=4)<|)4=||.

故X?2(4,|),故A正確，B錯誤；

因為X?8(4,所以X的期望E(X)=4x|=今故C正確；

因為X?B(4,|),所以X的方差￡>(X)=4x|xg=5,故D正確.

故選ACD.

10.展開式中系數最大的項為(BC)

A.第2項B.第3項

C.第4項D.第5項

［解析］的展開式的通項公式為Trit=C's-(y［x)

展開式的各項系數依次為1,4,7,7,罟35，47,七7，七1，志1，所以，展開式中系數最大的項是第

O410IOZDO

3項和第4項.

11.下列說法中，正確的命題是(BC)

A.已知隨機變量班服從正態分布M2,(r),P(4<4)=0.84,則P(2<<<4)=0.16

B.以模型)，=戊心去擬合一組數據時，為了求出回歸方程，設z=lny,將其變換后得

到方程z=0.3x+4,則c,左的值分別是e，和0.3

C.已知兩個變量具有線性相關關系，其經驗回歸方程為源，若3=2,工=1,7

A

=3,貝!|a=l

D.若樣本數據xi，忿，xio的方差為2,則數據2x|-1,2x2—1,…，2xio—1的方差

為16

［解析］:隨機變量E服從正態分布M2,(r),P《<4)=0.84,

P(2<q<4)=P(4<4)—0.5=0.84—0.5=0.34/0.16,即A錯誤.

?.?y=ce3；.lny=ln(ceh),

.".Iny=fcr+lnc.

'：z=0.3x+4,：.lny=0.3x+4,

從而8=0.3,Inc=4,

：.k=0.3,c=e4,即B正確.

AAA----AA

?直線過樣本中心點(x,y),即3=〃+江

AA

,:b=2,即C正確.

?.,樣本數據X1,X2,???,Xio的方差為2,

,數據2立一1,右2—1,…，2xio—1的方差為2X22=8,即D錯誤.

12.下列說法中正確的是(AC)

A.將6個相同的小球放入4個不同的盒子中，要求不出現空盒，共有10種放法

B.5。2必+1被7除后的余數為5

C.若(x—2)5+(2r+lynao+aix+aN+asP+oix'+asx5,則ao+a2+a4=-81

D.拋擲兩枚骰子，取其中一個的點數為點P的橫坐標，另一個的點數為點P的縱坐標,

連續拋擲這兩枚骰子三次，點P在圓/+)2=16內的次數^的均值為古7

［解析］6個相同的小球放入4個不同的盒子中，要求不出現空盒，即每個盒子至少1

個，采用隔板法共Cg=10(種)，A正確；502。21=(49+1)2陽，展開式中只有最后一項1不

是7的倍數，所以5()2。21+1被7除后的余數為2,B錯誤；在。-2)5+(2%+1)4=制+。工+

中，分別令x=l和x=-1,得a()+ai+。2+43+44+的=80,的)一G

+02—43+04—。5=—242,兩式相加除以2,得〃0+〃2+。4=-81,C正確；點尸共有36種

情況，其中在圓/+)2=16內的有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共

8種，所以擲這兩枚骰子一次，點P在圓內的概率為本因為1<3,I),所以。的均值為

22

3Xg=§,D錯誤.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.某學生為了研究高二年級同學的體質健康成績與學習成績的關系，從高二年級同學

中隨機抽取30人，統計其體質健康成績和學習成績，得到2X2列聯表如表:

體質健康成績高體質健康成績低總計

學習成績高17219

學習成績低3811

總計201030

有99.9%的把握認為學生的體質健康成績高低與學習成績高低有關.

附：^(a+b)(c+d)(a+cKb+d)'其中

0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

［解析］由列聯表中數據，計算/=崎綜等高答心12.129>10.828,所以有99.9%

ZUA1UAIy11

的把握認為學生的體質健康成績高低與學習成績高低有關.

14.若(加+§)6的展開式中丁項的系數為20,則“2+從的最小值為2.

［解析］。+|=5(加)6-0'=(:初6-7/32-3『，令12—3r=3,得r=3.：.C初3/=20,即

ab^\.：.a2+b2^2ab=2,當且僅當a=6=l時取“="，即/+〃的最小值為2.

15.某公園有甲、乙、丙三艘大小不同的游艇，甲可坐3人，乙可坐2人，丙只能坐1

人.現有3個大人帶2個小孩租艇，但小孩不能單獨坐艇，則不同的坐法種數是(用

數字填寫)

［解析］把大人和小孩進行組合，設大人為。，小孩為

①甲、乙、丙：{1Q+1H},{1C+1H},{1D},有（C』XC4）X（ca><Cl）XCl=12（種）;

②甲、乙、丙：{1O+2H},{ID},{1。},有C!XGX6=6（種）；

③甲、乙：{2D+IH],（\D+\H],有（C*XQ）X（C|XC|）=6種；

④甲、乙：{10+2H},{2。},有CgX@XG=3（種）；

故共有12+6+6+3=27種不同的坐法.

16.盒中有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球.從盒中隨機取球，每次取1

個，不放回，直到取出紅球為止.設此過程中取到黃球的個數為第則P（E=O）=—L，EG）

=J.

[解析]1個紅球，1個綠球，2個黃球，共有A?=12（種）排列.

①紅球前面沒有黃球，有Aj+1=4（種），

41

批=0）=調=亨

②紅球前面有1個黃球，有Al+A』=4（種），

41

；

③紅球前面有2個黃球，有1+A3=4（種），

41

P（4=2）=立下

E?=OX；+1X；+2X；=1.

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）某市熱線網站就“民眾是否支持加大修建城市地下排水設施的

資金投入”進行投票，按照該市暴雨前后兩個時間各收集了50份有效投票，所得統計結果

如下表：

支持不支持總計

暴雨后Xy50

暴雨前203050

總計AB100

已知工作人員從所有投票中任取一張，取到“不支持投入”的投票概率為爭2

（1）求列聯表中無，y,A,8的值，并繪制條形圖，通過圖形判斷本次暴雨是否影響到該

市民眾對加大修建城市地下排水設施的投入的態度；

（2）能夠有多大把握認為暴雨與該市民眾是否贊成加大修建城市地下排水設施的投入有

關？

（3）用樣本估計總體，在該市全體市民中任意選取4人，其中“支持加大修建城市地下

排水設施的資金投入”的人數記為。，求4的分布列和數學期望.

______n(ad-bc辛_____

附:n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

［解析］(1)設“從所有投票中任取一張，取到‘不支持投入'的投票”為事件A,

,_,y+302

由已知仔P(A)=jo。=不

所以y=10,8=40,x=40,A=60,

暴雨后支持率為第40=小4不支持率為41

暴雨前支持率為$20=2$不支持率為1—25=31

繪制條形圖，如圖所示：

通過圖形可判斷出本次暴雨影響到了該市民眾對加大修建城市地下排水設施的投入的

態度.

1100X(30X40—20X10)2

(2)r=50X50X60X40^16.67>10.828,

故有99.9%的把握認為暴雨對該市民眾是否贊成加大對修建城市地下排水設施的投入

有關.

(3片的可能取值為0,123,4,用樣本估計總體，任取一人支持的概率尸=需=之所以

|3)',pe=A)=c%(|)*.⑶

E?用4,5

所以4的分布列為

01234

169621621681

P

625625625625625

312

E(0="p=4Xg=-^.

18.(本小題滿分12分)五位師傅和五名徒弟站一排.

(1)五名徒弟必須排在一起共有多少種排法？

(2)五名徒弟不能相鄰共有多少種排法?

(3)師傅和徒弟相間共有多少種排法？

［解析］(1)先將五名徒弟看作一人與五位師傅排列有A2種排法，五名徒弟在內部全排

列有Ag種，據乘法原理排法共有AtAg=86400(種).

(2)先將五位師傅全排列有Ag種排法，再將五名徒弟排在五位師傅產生的六個空位上有

A濟中排法，據乘法原理，排法共有人次2=86400(種).

(3)先將五位師傅排列有A?種排法，再將五名徒弟排在五位師傅產生的六個空位中前五

位或后五位上有2Ag種排法，據乘法原理排法共有2A%?=28800(種).

19.(本小題滿分12分)若的二項式展開式中前三項的系數和為163,求:

(1)該二項式展開式中所有的有理項;

(2)該二項式展開式中系數最大的項.

［解析］(1)展開式中前三項的系數和為C9+2C,!+22CZ=163,解得〃=9,

18—3r

所以展開式的通項公式為Tr+l=C§加產=C52rA—

因為令［―GZ,則r=2或6,

所以展開式的有理項為乃=144/,乃=5376.

［C62"NC/2大，

⑵令第『+1項系數最大，貝可

解付不W「W3-,

因為r^N,所以r=6,

所以展開式中系數最大的項是為=5376.

20.(本小題滿分12分)某市場研究人員為了了解產.業園引進的甲公司前期的經營狀況,

對該公司2019年連續六個月(5—10月)的利潤進行了統計，并根據得到的數據繪制了相應的

折線圖，如圖所示.

月利潤W百萬元

21---------------------------------------------」

20---------------------------------------

12345%月初代碼x

注：月份代碼1~6分別對應月份5~10

(1)由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月利潤興單位：百萬元)與月份代碼X之

間的關系，求y關于x的經驗回歸直線方程，并據此預測該公司2019年12月份的利潤；

(2)甲公司新研制了一款產品，需要采購一批新型材料，現有4,B兩種型號的新型材料

可供選擇，按規定每種新型材料最多可使用4個月，但新型材料的不穩定性會導致材料損壞

的時間不同，現對A，B兩種型號的新型材料對應的產品各100件進行科學模擬測試，得到

如下頻數統計表.若從產品使用壽命的角度考慮，甲公司的負責人選擇采購哪款新型材料更

好？(用頻率估計概率)

使用壽命

1個月2個月3個月4個月合計

材料類型

A20353510100

B10304020100

66

參考數據—XU%，口物=37「

AA,=1(XLx)(y,—y)..Xiyi-nxy

參考公式:經驗回歸直線方程其中6=J-----=——=%-----二一

e(即-x)2"一〃x2

A-.......

a—y—t>x.

［解析］(1)由折線圖可知統計數據(x,y)共有6組，即(1,11),(2,13),(3,16),(4,15),(5,20),

(6,21).

計算可得

—1

x=才(1+2+3+4+5+6)=3.5,

一1

y=^X(11+13+16+15+20+21)=16,

6______

_,=一洶一6xy_371—6X3.5X16_

匕一6不=91—6X3S=2,

/=1

a=y—bx=16—2X3.5=9.

AA

月利潤y關于月份代碼x的經驗回歸直線方程為y=2x+9,當x=8時，>-=2X8+9

=25.

故預測甲公司2019年12月份的利潤為25百萬元.

(2)由題意知，A型號的新型材料可使用1個月，2個月，3個月，4個月的概率分別為

0.2,0.35,035,0.1,；.A型號的新型材料對應產品的使用壽命的平均數TA=1X0.2+2X0.35

+3X0.35+4X0.1=2.35.8型號的新型材料可使用1個月，2個月，3個月，4個月的概率

分別為0.1,03,0.4,0.2.：.B型號的新型材料對應產品的使用壽命的平均數7B=1X0.1+

2X0.34-3X0.4+4X0.2=2.7.

?.?TTA〈三B，，甲公司的負責人應該采購8型號的新型材料.

21.(本小題滿分12分)2020年是我國打贏脫貧攻堅戰收官之年，越是到關鍵時刻，更

應該強調“精準”.為落實“精準扶貧”政策，某扶貧小組，為一“對點幫扶”農戶引種了

一種新的經濟農作物，并指導該農戶于2020年初開始種植.已知該經濟農作物每年每畝的

種植成本為1000元，根據前期各方面調查發現，該經濟農作物的市場價格和畝產量均具有

隨機性，且兩者互不影響，其具體情況如下表：

該經濟農作物畝產量/kg9001200

概率0.50.5

該經濟農作物市場價格/(元/kg)1520

概率0.40.6

(1)設2020年該農戶種植該經濟農作物一畝的純收入為X元，求X的分布列；

(2)若該農戶從2020年開始，連續三年種植該經濟農作物，假設三年內各方面條件基本

不變，求這三年中該農戶種植該經濟農作物一畝至少有兩年的純收入不少于16000元的概

率；

(3)2020年全國脫貧標準約為人均純收入4000元，假設該農戶是一個四口之家，且該

農戶在2020年的家庭所有支出與其他收入正好相抵，試憑這一畝經濟農作物的純收入預測

該農戶在2020年底可否脫貧，并說明理由.

［解析］(1)由題意知，該農戶種植該經濟農作物一畝的純收入可能為1200X20—1000

=23000(元)，1200X15-1000=17000(元)，900*20-1000=17000(元)，900X15-1000

=12500(元)，所以X的所有可能取值為23000,17000,12500.

設A表示事件“該經濟農作物畝產量為900kg”，則P(A)=0.5；8表示事件“該經濟

農作物市場價格為15元/kg”.則P(8)=0.4.

則尸(X=23000)=P(T~B)=(1-0.5)X(1-0.4)=0.3,

P(X=17000)=P(Tfi)+P(AT)=(l-0.5)X0.4+0.5X(l-0.4)=0.5,P(X=12500)

=P(A8)=0.5X04=0.2,

所以X的分布列為：

X230001700012500

P0.30.50.2

(2)設C表示事件“種植該農作物一畝一年的純收入不少于16000元”，則尸(O=P(X2

I6OOO)=P(X=23000)+P(X=17000)=0.3+0.5=0.8.

設這三年有y年的純收入不少于16000元，易知y服從參數為3,0.8的二項分布，即y?

8(3,0.8),所以這三年中種植該農作物一畝至少有兩年的純收入不少于16000元的概率

/,(r>2)=C^X0.83+C^X0.82X0.2=0.896.

(3)由(1)知，2020年該農戶種植該經濟農作物一畝的預計純收入為E(X)=23000X0.3

17900

+17000X0.5+12500X0.2=17900(元).因為d=4475>4000,所以預測該農戶在

2020年底可以脫貧.

22.(本小題滿分12分)某市為提升中學生的數學素養，激發學生學習數學的興趣，舉

辦了一次“數學文化知識大賽”，分預賽和復賽兩個環節.已知共有8000名學生參加了預

賽，現從參加預賽的全體學生中隨機抽取100人的預賽成績(百分制)作為樣本，得到頻率分

布直方圖，如圖所示.

頻率