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PAGE4習題課十五一．選擇題1.若級數，則級數（A）（A）；（B）；（C）；（D）發散。解：收斂，也收斂，且，，故。2．下列級數中收斂的級數是（）（A）；（B）；（C）；（D）。解：∵，而收斂，∴收斂。3．設，則級數（）（A）絕對收斂；（B）條件收斂；（C）發散；（D）斂散性與有關。解：∵，而收斂，∴收斂，從而收斂，又∵發散，∴發散。4．（C）（A）絕對收斂；（B）條件收斂；（C）發散；（D）不能確定其斂散性。解：∵，∴發散，從而，故發散。二．填空題1．設常數，則當滿足條件時，級數收斂。解：∵當時，～，而當，即時收斂，∴故當時收斂。2．設，且，則。解：設與的部分和分別為與，∵收斂，∴設。∵，∴，∵，∴。三．判別下列級數的斂散性1．解法1（比較法）：∵，而收斂，∴收斂。解法2（根值法）：∵，，∴，故收斂。解法3（利用級數的性質）：∵，而、均收斂，∴收斂。2.解：，∵，而收斂，∴收斂，從而收斂。3．解：∵，∴發散。注：∵，∴本題不能用根值法判定，必然不能用比值法判定。4．解法1（比值法）：∵，∴收斂。解法2（根值法）：∵，∴收斂。5．解：，∵當時，～，～～，∴～，顯然此級數為負項級數。∵，而收斂，∴收斂。四．解答題1.討論級數的斂散性，若收斂，是絕對收斂，還是條件收斂。解：設，則，∵，∴當，收斂；當，發散。從而當，絕對收斂；當，發散。當，，∵，而發散，∴發散。∵，且，∴收斂，故當，絕對收斂；當，發散；當，條件收斂。2.常數，級數是（1）發散；（2）條件收斂；（3）絕對收斂。分析：設，。，∵，∴發散。，，但不能確定是否收斂。為此用比較判別法：，顯然，當時，收斂，從而絕對收斂。綜上可知，要分，，三種情況進行討論。解：設，，（1），∵，∴，發散。（2），取，則有，而收斂，∴收斂，故絕對收斂。（3），∵，而發散，∴發散。設，，當，，∴，從而，且，故由萊布尼茲判別法知條件收斂。綜上討論可知，當時發散；條件收斂；絕對收斂。五．證明題1．設級數收斂，且絕對收斂，試證絕對收斂。證明：設收斂于，則，其中，∵，∴，從而，，有。又∵，而絕對收斂，即收斂，∴收斂，即絕對收斂。2．設函數有定義，在某鄰域內具有二階連續導數，且，證明級數絕對收斂。證法1：∵在某鄰域內連續，∴在，又∵，∴，。公式為，∵在某鄰域內連續，∴，使得，從而當，有。而收斂，∴絕對收斂。證法2：∵在某鄰域內連續，∴在，又∵，∴，。用洛必達法則有，∵存在，∴存在，而收斂，∴絕對收斂。3．設級數收斂，且正項級數收斂，證明級數收斂。證明：收斂，∵，∴，從而，，。∵正項級數，∴當n充分

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