專題11.10三角形章末八大題型總結（拔尖篇） 【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用三角形的中線求面積】 1【題型2利用三角形的三邊關系求線段的最值或取值范圍】 2【題型3利用三角形的三邊關系化簡或證明】 3【題型4與角平分線有關的三角形角的計算問題】 4【題型5與平行線有關的三角形角的計算問題】 6【題型6與折疊有關的三角形角的計算問題】 8【題型7多邊形中的閱讀理解類問題】 10【題型8與多邊形內角和有關的角度探究問題】 13【題型1利用三角形的中線求面積】【例1】（2023春·貴州畢節·八年級統考期末）如圖，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四邊形DEFG的面積為28，則△ABC的面積為（

）

A．60 B．56 C．70 D．48【變式1-1】（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級校考期末）如圖，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面積為4，則四邊形AEFD的面積為．【變式1-2】（2023春·江蘇連云港·八年級統考期末）如圖，點C為直線AB外一動點，AB=6，連接CA、CB，點D、E分別是AB、BC的中點，連接AE、CD交于點F，當四邊形BEFD的面積為

【變式1-3】（2023春·江蘇鹽城·八年級統考期末）【問題情境】蘇科版數學課本八年級下冊上有這樣一道題：如圖1，AD是△ABC的中線，△ABC與△ABD的面積有怎樣的數量關系？小旭同學在圖1中作BC邊上的高AE，根據中線的定義可知BD=CD．又因為高AE相同，所以S△ABD=S

【深入探究】（1）如圖2，點D在△ABC的邊BC上，點P在AD上．①若AD是△ABC的中線，求證：S△APB②若BD=3DC，則S△APB:【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長四邊形ABCD的各邊，使得點A、B、C、D分別為DH、AE、BF、CG的中點，依次連結E、F、G、H得四邊形EFGH．①求證：S△HDG②若S四邊形ABCD=3，則【題型2利用三角形的三邊關系求線段的最值或取值范圍】【例2】（2023春·河北保定·八年級統考期末）如圖，∠AOB<90°，點M在OB上，且OM=6，點M到射線OA的距離為a，點P在射線OA上，MP=x．若△OMP的形狀，大小是唯一確定的，則x的取值范圍是（

）

A．x=a或x≥6 B．x≥6 C．x=6 D．x=6或x>a【變式2-1】（2023秋·安徽合肥·八年級統考期末）不等邊△ABC的兩條高的長度分別為4和12，若第三條高也為整數，那么它的長度最大值是【變式2-2】（2023秋·安徽·八年級期末）一個三角形的兩邊長分別為5和7，設第三邊上的中線長為x，則x的取值范圍是（

）A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6【變式2-3】（2023秋·浙江杭州·八年級期末）設a,b,c表示一個三角形三邊的長，且他們都是自然數，其中a≤b≤c，若b=2020，則滿足此條件的三角形共有個．【題型3利用三角形的三邊關系化簡或證明】【例3】（2023·八年級單元測試）如圖，已知點O為ΔABC內任意一點.證明：（1）OA+OB+OC>1（2）AB+AC+BC>OA+OB+OC.（3）若A，B，C為三個城鎮，AB+AC+BC=10km，要在ΔABC內建造供水站O向三個城鎮按如圖路線供水，則所需供水管長度應滿足什么條件？【變式3-1】（2023春·八年級課時練習）已知a，b，c是一個三角形的三邊長，化簡|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．【變式3-2】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖1，點P是△ABC內部一點，連接BP，并延長交AC于點D．(1)試探究AB+BC+CA與2BD的大小關系；(2)試探究AB+AC與PB+PC的大小關系；(3)如圖2，點D，E是△ABC內部兩點，試探究AB+AC與BD+DE+CE的大小關系．【變式3-3】（2023春·六年級單元測試）如圖，草原上有四口油井，位于四邊形ABCD的四個頂點上，現在要建立一個維修站H，試問H建在何處，才能使它到四口油井的距離之和HA+HB+HC+HD最小，說明理由【題型4與角平分線有關的三角形角的計算問題】【例4】（2023春·江蘇蘇州·八年級太倉市第一中學校考期中）如圖1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．(1)若∠A=60°，則∠BDC的度數為_________；(2)若∠A=α，直線MN經過點D．①如圖2，若MN∥AB，求∠NDC-∠MDB的度數（用含α的代數式表示）；②如圖3，若MN繞點D旋轉，分別交線段BC,AC于點M,N，試問旋轉過程中∠NDC-∠MDB的度數是否會發生改變？若不變，求出∠NDC-∠MDB的度數（用含α的代數式表示），若改變，請說明理由；③如圖4，繼續旋轉直線MN，與線段AC交于點N，與CB的延長線交于點M，請直接寫出∠NDC與∠MDB的關系（用含α的代數式表示）．【變式4-1】（2023秋·河南漯河·八年級校考期中）（1）在圖1中，請直接寫出∠A、（2）如果圖2中，∠D=40°,∠B=36°，AP與CP分別是∠DAB（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問∠P與∠【變式4-2】（2023春·江蘇揚州·八年級校聯考期中）∠MON=90°，點A，B分別在OM、ON上運動(不與點O重合)．(1)如圖①，AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的平分線，隨著點A、點B的運動，當AO=BO時∠AEB=°；(2)如圖②，若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠OAB的平分線交于點D，隨著點A，B的運動∠D的大小會變嗎？如果不會，求∠D的度數；如果會，請說明理由；(3)如圖③，延長MO至Q，延長BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分線與∠BOQ的平分線及其延長線相交于點E、F，在△AEF中，如果有一個角是另一個角的3倍，求∠ABO的度數．【變式4-3】（2023秋·安徽宣城·八年級校考期中）如圖1，∠MON=90°，點A、B分別在OM、ON上運動（不與點O重合）．(1)若BC是∠ABN的平分線，BC的反方向延長線與∠BAO的平分線交于點D．①若∠BAO=60°，則∠D=______°；②猜想：∠D的度數是否隨A，B的移動發生變化？并說明理由．(2)如圖2，若∠OAD=35∠OAB，∠NBC=35(3)若將∠MON=90°改為∠MON=120°（如圖3），∠OAD=mn∠OAB，∠NBC=mn∠NBA，其余條件不變，則∠D=______（用含【題型5與平行線有關的三角形角的計算問題】【例5】（2023春·遼寧盤錦·八年級統考期末）（1）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PMB=140°，∠PND=120°，求∠MPN的度數；（2）問題遷移：在（1）的條件下，如圖2，∠AMP的角平分線與∠CNP的角平分線交于點F，則∠MFN的度數為多少？請說明理由；（3）問題拓展：如圖3，AB∥CD，點P在射線OM上移動時（點P與點O，M，D三點不重合），記∠PAB=α，∠PCD=β，請直接寫出∠APC與α，β之間的數量關系．【變式5-1】（2023春·河北石家莊·八年級統考期末）如圖，AB∥CD，點P在直線AB上，作∠BPM=50°，交CD于點M，點F是直線CD上的一個動點，連接PF，PE⊥CD于點E，PN平分∠MPF．

(1)若點F在點E左側且∠PFM=32°，求∠NPE的度數；(2)當點F在線段EM（不與點M，E重合）上時，設∠PFM=α°，直接寫出∠NPE的度數（用含α的代數式表示）；(3)將射線PF從（1）中的位置開始以每秒10°的速度繞點P逆時針旋轉至PM的位置，轉動的時間為t秒，求當t為何值時，△FPM為直角三角形．【變式5-2】（2023春·遼寧大連·八年級統考期中）如圖，AB//CD，點O在直線CD上，點P在直線AB和CD之間，∠ABP=∠PDQ=α，PD平分∠BPQ．（1）求∠BPD的度數（用含α的式子表示）；（2）過點D作DE//PQ交PB的延長線于點E，作∠DEP的平分線EF交PD于點F，請在備用圖中補全圖形，猜想EF與PD的位置關系，并證明；（3）將（2）中的“作∠DEP的平分線EF交PD于點F”改為“作射線EF將∠DEP分為1:3兩個部分，交PD于點F”，其余條件不變，連接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，請直接寫出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．【變式5-3】（2023春·湖北省直轄縣級單位·八年級校考期中）已知MN∥PQ，點D是直線(1)如圖1，現有一塊含30°角的直角三角板（∠CAB=30°，∠ACB=60°，∠ABC=90°），將其點A固定在直線MN上，并按圖1位置擺放，使∠MAC=30°，點B恰好落在射線DE上，此時，∠PDE=20°，求∠ABD的度數；(2)現將射線DE從圖1的位置開始以每秒2度的速度繞點D順時針旋轉，轉到與DQ重合時停止，三角板按圖1擺放不動，設旋轉時間為t秒，在旋轉過程中，當DE與三角板的一邊平行時，求t的值；(3)若將射線DE從圖1的位置開始以每秒2度的速度繞點D順時針旋轉，同時，將三角板ABC也從圖1的位置開始以每秒4度的速度繞點A逆時針旋轉，在旋轉過程中，∠MAC的角平分線AH與∠PDE的角平分線DF交于點O．①如圖2，當DF∥BC時，∠AOD=②如圖3，當DF∥BA時，∠AOD=【題型6與折疊有關的三角形角的計算問題】【例6】（2023秋·山東臨沂·八年級統考期末）有一張正方形紙片ABCD，點E是邊AB上一定點，在邊AD上取點F，沿著EF折疊，點A落在點A′處，在邊BC上取一點G，沿EG折疊，點B落在點B′處．(1)如圖1，當點B落在直線A′E上時，猜想兩折痕的夾角∠FEG的度數并說明理由．(2)當∠A′EB′=13∠B′EB時，設∠A′EB′=x①試用含x的代數式表示∠FEG的度數．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此時∠FEG的度數；若不可能，請說明理由．【變式6-1】（2023春·河北石家莊·八年級統考期末）（1）如圖1，將一張三角形紙片ABC沿著AD折疊，使點C落在邊AB上的C處，若∠CAB=70°，則∠CAD=______°；（2）如圖2，將一張三角形紙片ABC沿著DE折疊(點D，E分別在邊AB和AC上)，并使得點A和點A'重合，若∠A=70°，則∠1+∠2=______°（3）如圖3，將長方形紙片沿著BC和BD折疊成如圖所示的形狀，BE和BI重合，①∠CBD的度數是多少？請說明理由；②如果∠IBD=58°17'，求【變式6-2】（2023秋·江西南昌·八年級校聯考期末）我們在小學已經學習了“三角形內角和等于180°”．在三角形紙片中，點D，E分別在邊AC，BC上，將∠C沿DE折疊，點C落在點C'(1)如圖1，當點C落在邊BC上時，若∠ADC'=58°，則∠C=______，可以發現∠ADC'(2)如圖2，當點C落在△ABC內部時，且∠BEC'=42°，∠AD(3)如圖3，當點C落在△ABC外部時，若設∠BEC'的度數為x，∠ADC'的度數為y，請求出∠C與【變式6-3】（2023春·江蘇·八年級統考期中）將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使得點A落A'的位置，折痕為DE(1)當點A落在四邊形BCDE的外部A'的位置且A'與點C在直線①如圖1，若∠C=90°，∠A=30°，求∠1-∠2的度數；②如圖2，請寫出∠1、∠2和∠A的關系并證明；(2)如圖3，有一張三角形紙片ABC，∠A=30°，∠C=50°，若點E是AB邊上的固定點（AE<12AB），請在AC上找一點D，將紙片沿DE折疊，DE為折痕點A落在A'處，使A'【題型7多邊形中的閱讀理解類問題】【例7】（2023·全國·八年級專題練習）閱讀材料：兩個三角形各有一個角互為對頂角，這兩個三角形叫做對頂三角形．解決問題：如圖，△AOD與△BOC是對頂三角形．

(1)試說明：∠DAO+∠D=∠OBC+∠C；(2)試利用上述結論解決下列問題：若AP、BP分別平分∠DAC與∠DBC，∠C=m°，∠D=n°，①求∠P的度數（用含m、n的代數式表示）；②若AQ、BQ分別平分∠EAC與∠DBF，120°≤∠Q≤150°，求m+n的取值范圍．【變式7-1】（2023秋·山西大同·八年級統考期中）閱讀材料：解決問題：（1）如圖1，四邊形ABCD是凹四邊形，請探究∠BDC(∠BDC＜180°)與∠B，∠D，∠BAC三個角之間的等量關系．小明得出的結論是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他證明如下．請你將小明的證明過程補充完整．證明：連接AD并延長AD到點E．聯系拓廣：（2）下面圖2的五角星和圖3的六角星都是一筆畫成的(即從圖形上的某一頂點出發，找出一條路線，用筆不離開紙，連續不斷又不重復經過圖形上所有部分畫成的)．請你根據上述解決問題的思路，解答下列問題：①圖2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數為°；②圖3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數為°．【變式7-2】（2023春·山西臨汾·八年級統考期末）請閱讀下列材料，并完成相應的任務．已知“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”，那么五邊形的外角與內角之間又有什么關系呢？

如圖1，在五邊形ABCDE中，∠1,∠2是它的兩個外角，則∠1+∠2=∠A+∠B+∠C-180°．下面是該結論的證明過程（部分）：∵五邊形的內角和為540°，∴∠A+∠B+∠C+∠3+∠4=540°．……(1)按照上面的證明思路，完成證明的剩余部分．(2)知識應用：如圖2，在五邊形ABCDE中，EF,DF分別是∠DEH和∠EDG的平分線，若∠A+∠B+∠C=320°，求∠F的度數；(3)拓展提升：如圖3，∠C=∠E=90°,∠ABH=23∠ABF,∠GFH=23∠BFG【變式7-3】（2023秋·山東青島·八年級山東省青島第二十六中學校聯考期末）閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數學幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系為；探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數為；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點P，則∠P、∠B、∠D之間的數量關系為．【模型應用】應用一：如圖4，在四邊形MNCB中，設∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點P．則∠A＝（用含有α和β的代數式表示），∠P＝．（用含有α和β的代數式表示）應用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四邊形的內角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點P，∠P＝．（用含有α和β的代數式表示）【拓展延伸】拓展一：如圖6，若設∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝13∠CAB，∠CDP＝13∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數量關系為．（用x、y表示∠拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關系，直接寫出結論．【題型8與多邊形內角和有關的角度探究問題】【例8】（2023春·江蘇·八年級期末）如圖1，已知∠ACD是△ABC的一個外角，我們容易證明∠ACD=∠A+∠B，即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數量關系呢？嘗試探究；（1）如圖2，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，則∠DBC+∠ECB______∠A+180°（選填“>”“<”或“=”），并說明理由；初步應用：（2）如圖3，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1=135°，∠2=100°，則∠C=______；（直接寫出答案）拓展延伸：（3）如圖4，在△ABC中，BP，CP分別平分外角∠DBC，∠ECB，∠P與∠A有何數量關系？請利用上面的結論直接寫出答案：______；解決問題：（4）如圖5，在四邊形ABCD中，BP，CP分別平分外角∠EBC，∠FCB，請利用上面的結論探究∠P與∠A，∠D的數量關系．【變式8-1】（2023春·江蘇南京·八年級統考期中）研究一個問題：多邊形的一個外