第4章電路定理4.1線性電路4.2疊加定理和齊性定理4.3替代定理4.4

戴維南定理和諾頓定理4.5特勒根定理4.6互易定理4.7最大功率傳輸條件4.8對偶原理

4.1線性電路

4.1.1線性電路的概念

由1.4節集總參數元件的概念知,集總參數元件是一類只表示實際元器件中一種基本物理現象的元件。如果元件的集總參數值不隨和它有關的物理量變化,這樣的元件稱為線性元件。例如,線性電阻的阻值不隨流過它的電流以及兩端的電壓而變化,線性受控源的系數也不隨控制量和被控量變化等。

4.1.2線性電路方程的性質

對于線性元件或線性電路而言,描述它們的方程是線性方程。在數學中,如果一個函數(方程)既滿足齊次性又滿足可加性,則稱該函數是線性函數,齊次性和可加性也是線性函數的兩個性質。

4.2疊加定理和齊性定理4.2.1疊加定理圖4-1所示電路有兩個獨立源共同激勵,設3個響應分別為i1、i2和u1并求解。圖4-1兩個獨立源激勵的電路

以i1、i2為變量列出電路的支路電流方程為

由克萊姆法則求解,得

圖4-2兩個獨立源分別作用的電路

由以上例子可以看出,當線性電路中有多個獨立源共同作用(激勵)時,其響應等于電路中每個獨立源單獨作用時響應的代數和(線性組合);當一個獨立源單獨作用時,其他所有的獨立源均置零(即電壓源短路,電流源開路)。這就是線性電路的疊加定理。一個獨立源單獨作用,其他獨立源置零,實質上是將原有的電路簡化了,可見疊加定理是通過許多簡化的電路間接求解復雜電路響應的過程。

功率不滿足疊加定理,例如對圖4-1所示電路,則有

這是因為功率的表達式是非線性方程。

例4-1試用疊加定理求圖4-3(a)所示電路中的I和U。圖4-3例4-1圖

例4-2試用疊加定理求圖4-4(a)所示電路中的電壓u。圖4-4-例4-2圖

解兩個獨立源分別作用的電路如圖4-4(b)和圖4-4(c)所示。注意受控源應保留在電路中,因為控制量改變了,所以受控源的被控量也要隨之改變。對于圖4-4(b)有

4.2.2齊性定理

由式(4-8)可知,當有多個獨立源同時激勵時,電路中的任一響應(電壓或電流)等于所有獨立源單獨激勵時響應的疊加。如果只有一個獨立源激勵,即在式(4-8)中只保留一個獨立源,令其他獨立源均為零,則電路中的任一響應為hkujuSj或hkipiSp。由此可見,若激勵增大或減小α

倍(α為實常數),則響應也同樣增大或減小α倍,即響應和激勵成正比。這就是線性電路的齊性定理。

另外,當有多個獨立源激勵時,由式(4-8)還可以看出,若所有激勵同時增大或縮小α倍,則響應也增大或減小α倍,即滿足齊性定理。這里要注意的是激勵必須“同時”增大或減小α倍,響應才能增大或減小α倍。

例4-3求圖4-5所示梯形電路中的電流i5。圖4-5例4-3圖

解對于這樣的純電阻電路,傳統的方法是通過電阻的串、并聯首先求出電流i1,然后通過逐步分流最后求出電流i5。如果利用齊性定理,先假設i'5=1A,然后逐步求出產生該電流所需的電源電壓,進而可以求出電源變化的倍數,最后求出實際的電流i5。由圖知

4.3替代定理

設圖4-6(a)是一個分解成N1和N2(均為一端口電路)的復雜電路,令連接端口處的電壓為uk,流過該端口的電流為ik。如果uk和ik為已知,則替代定理為:對于N1而言,可以用一個電壓等于uk的電壓源uS,或者用一個電流等于ik的電流源iS替代N2,替代后N1中的電壓和電流均保持不變,替代后的電路如圖4-6(b)和圖4-6(c)所示。同樣,對于N2而言,可以用uS=uk的電壓源或iS=ik的電流源替代N1,替代后N2中的電壓和電流均保持不變。

圖4-6替代定理

下面給出替代定理的證明。在兩個一端口的端子a、c之間反方向串聯兩個電壓源uS,如圖4-7(a)所示。如果令uS=uk,由KVL有ubd=0,說明b、d之間等電位,即可以將b、d兩點短接,結果就得到圖4-6(b)。如果在兩個一端口之間反方向并聯兩個電流源,如圖4-7(b)所示,并令iS=ik,再根據KCL就可以證明圖4-6(c)。

圖4-7替代定理的證明

圖4-8(a)所示電路是例4-1所求解的電路,應用替代定理,用一個uS=U的電壓源替代a-b端口右邊的電路,如圖4-8(b)所示。已知uab=U=1V,可求出I=1/3A。圖4-8替代定理的應用

4.4-戴維南定理和諾頓定理根據電路的基本分析方法,對于已知電路可以直接或間接地求出電路中的所有響應。但是在實際問題中,電路中有一條特殊的支路(通常稱為負載支路),它的參數是變化的,而其他部分則固定不變。如交流電源插座上可以接不同的負載,而插座內部電路相對固定;音頻功率放大器外部的負載(擴音器)也是可以變化的,而功率放大器內部則相對固圖4-9含源一端口以及外部電路定。為了避免對固定部分的重復計算,可以用戴維南或諾頓定理對固定不變的部分進行等效簡化,使電路的分析簡化。這樣一類電路可以表示成圖4-9的形式。

圖4-9含源一端口以及外部電路

4.4.1戴維南定理

戴維南定理指出:一個含獨立電源、線性電阻和受控源的一端口(含源一端口NS),對外電路或端口而言可以用一個電壓源和一個電阻的串聯來等效,該電壓源的電壓等于含源

一端口NS的開路電壓,其電阻等于將含源一端口內部所有獨立源置零后一端口的輸入電阻。

將圖4-9中的含源一端口NS開路,如圖4-10(a)所示,圖中uoc為它的開路電壓,圖4-10(b)是將圖4-10(a)內部所有獨立源置零后的無源一端口N0和它的等效電阻Req。根據戴維南定理,對于端口a-b而言,圖4-9中的NS可以等效成圖4-10(c)中所示的形式,即將NS等效成一個電壓源uoc和一個電阻Req的串聯。電壓源uoc和電阻Req的串聯電路稱為NS的戴維南等效電路,其中Req也稱為戴維南等效電阻。根據等效的概念,等效前后一端口a、b之間的電壓u和流過端點a、b上的電流i不變,即對外電路或負載電路來說等效前后的電壓、電流保持不變。可見,這種等效稱為對外等效。

圖4-11戴維南定理的證明

例4-4-電路如圖4-12所示,已知uS=36V,iS=2A,R1=R2=10Ω,

R3=3Ω,R4=12Ω,求電路中的電流i4。圖4-12例4-4圖

圖4-13例4-4求解圖

例4-5求圖4-14(a)所示含源一端口的戴維南等效電路。圖4-14-例4-5圖

再由歐姆定律和分流公式,有

4.4.2諾頓定理

諾頓定理指出:一個含有獨立電源、線性電阻和受控源的一端口NS,對外電路或端口而言可以用一個電流源和一個電導(或電阻)的并聯來等效,該電流源的電流等于NS端口的短路電流,電導(或電阻)等于將該含源一端口內部所有獨立源置零后的端口輸入電導(或電阻)。

圖4-15諾頓定理

例4-6電路如圖4-16(a)所示,求諾頓等效電路和戴維南等效電路。

圖4-16例4-6圖

4.5特勒根定理

特勒根定理是電路理論中對集總參數電路普遍適用的一條基本定理。和基爾霍夫定理一樣,特勒根定理只與電路的拓撲結構有關,與構成電路元件的性質無關。特勒根定理有兩種表述形式。

特勒根定理1:對于一個具有n個節點、b條支路的電路,設各支路的電壓與電流分別為(u1,u2,…,ub)和(i1,i2,…,ib),且各支路電壓與電流的參考方向相關聯,則在任何時刻t,對于所有支路有

證明設一個具有4個節點6條支路的有向圖如圖4-17所示。圖4-17特勒根定理的證明

特勒根定理1說明:對于任意電路,在任意時刻t,所有支路功率的代數和為零。因為該定理的依據僅僅是電路(網絡)的拓撲約束(KCL和KVL),和構成支路元件的性質無關,所以該定理對于由線性、非線性、時不變以及時變等元件構成的集總參數電路(網絡)都適用。

定理2說明:在兩個具有相同拓撲的電路(網絡)中,一個電路的支路電壓與另一電路對應支路電流乘積的代數和為零,或者是同一電路在不同時刻所有支路電壓與其支路電流乘積的代數和為零。因為是兩個支路元件不同的電路,所以該定理不能用功率守恒來解釋,但式(4-15)和式(4-16)仍然具有功率的量綱,所以定理2又被稱為“似功率定理”。

例4-7設有兩個相同的且僅由電阻構成的網絡N0,已知它們的外部接有電阻和電源元件,并獲得部分響應數據,外部元件的連接關系與響應結果數據如圖4-18(a)和(b)所示,根據特勒根定理試求圖4-18(b)中的電壓U。圖4-18例4-7圖

解可以將圖4-18(b)中的有伴電流源看成一條支路,則圖4-18(a)和(b)就具有相同的拓撲。設圖4-18(a)為網絡N,圖4-18(b)為網絡N^,并令網絡N0外部的支路分別為支路1和2,N0內部的支路編號為3~b,則它們的拓撲結構圖分別如圖4-19(a)和(b)

所示。

注意:在應用特勒根定理時,各對應支路電壓和電流的參考方向一定要關聯,如果非關聯,則相應乘積項的前面應加一負號。

4.6互易定理

圖4-20互易定理形式1

圖4-22互易定理形式3

需要注意的是,在應用互易定理時,電路中只能有一個獨立源激勵,N0僅為電阻網絡,若其中含有受控源,一般情況下互易定理不成立,同時要注意激勵源與響應的參考方向。

例4-8求圖4-23(a)所示電路中的電壓u。圖4-23例4-8

4.7最大功率傳輸條件

電路有兩大基本功能,一是傳遞和處理信息,二是傳輸和轉換能量。就能量而言,人們關心的是能量傳輸和轉換的方式以及傳輸和轉換的大小。例如,當含源一端口外接負載時,關心的問題之一是含源一端口能將多大的功率傳輸給負載。一般來說,含源一端口內部的結構和參數是不變的,而外接負載是可變的,問當負載變到何值時負載可以獲得最大功率。

例4-9電路如圖4-25(a)所示,求RL為何值時它可以獲得最大功率。圖4-25例4-9圖

4.8對偶原理

電路分析的目的是已知電路求響應,其基本方法是首先設出電路中的變量,然后依據電路定律和支路上的VCR得出一個具體電路的等量關系,由此列寫(或推導)出分析電路的等式或方程式。在電路分析中,電路元件、參數、變量、定律、定理和電路方程之間存在著一些類似的關系,將這種類似關系稱為電路中的對偶性或對偶原理。

由歐姆定律知,電阻R的VCR為u=Ri,在該式中若分別用電流i換電壓u、u換i、電導G換電阻R,可得出i=Gu,這就是電導的VCR。若給定一個電路等式或方程式,經過替換后所得新的等式或方程式仍然成立,則稱后者為前者的對偶式,將可以替換的元件(參數)、變量等稱為對偶對。如在上述替換中,u=Ri和i=Gu是對偶式,而u和i、R和G分別為對偶對。

圖4-26串聯和并聯電路的對偶

另外,如圖4-27(a)所示電路,由網孔法得網孔電流方程為

若用對偶對替換上式中的各量,得

該式就是圖4-27(b)所示電路的節點電壓方程。

圖4-27網孔法和節點法對偶的電路

由以上分析知,在已知關系的條件下,若用對偶對替換這些關系中的對應量以后,所得的關系仍然成立,這樣的關系稱為對偶關系,替換前后的關系(或方程)互為對偶。電路中的這種對偶關系就是對偶原理。從數學意義上講,對偶關系式是相同的,但從電路分析的意義上來說,它們描述著不同的電路。

由對偶原理知,若在電路中得到了某種關系或結論,則在它的對偶電路中也存在著類似的關系或結論,所以利用對偶原理能夠給分析電路帶來一定的方便。讀者在學習過程中,應注意總結和發現電路中的對偶關系,這樣有助于對電路關系(公式)的記憶和理解。但需要注意“對偶”