第2章軸對稱圖形（單元測試·綜合卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023春·福建寧德·七年級統考期末）書法是我國傳統文化的重要組成部分，被譽為：無言的詩，無形的舞，無圖的畫，無聲的樂．下列是用小篆書寫的“魅力寧德”四個字，其中是軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023秋·八年級課時練習）如圖，是線段的垂直平分線，垂足為點，，是上兩點．下列結論不正確的是（

）A． B． C． D．3．（2022·廣西梧州·梧州市第一中學校考三模）將長方形紙片沿AC折疊后點B落在點E處，則線段BE與AC的關系是（）A． B． C．且 D．且平分4．（2022秋·福建廈門·八年級廈門一中校考期末）在平面直角坐標系xOy中，點A（2，1）與點B（0，1）關于某條直線成軸對稱，這條直線是（）A．軸 B．軸C．直線（直線上各點橫坐標均為1） D．直線（直線上各點縱坐標均為1）5．（2023春·福建泉州·七年級校考期中）一副三角板和如圖擺放，，，若，，則下列結論錯誤的是（

）A．平分 B．平分 C． D．6．（2023春·陜西咸陽·八年級統考期末）如圖，在中，點O是內一點，連接、，垂直平分，若，，則點A、O之間的距離為（

）

A．4 B．8 C．2 D．67．（2023·河北·統考中考真題）四邊形的邊長如圖所示，對角線的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當為等腰三角形時，對角線的長為（

）

A．2 B．3 C．4 D．58．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，中，，是邊上的高，是延長線上一點，平分，若，，，則下列等式一定成立的是（

）

A． B． C． D．9．（2022·全國·八年級專題練習）如圖所示，點為內一定點，點，分別在的兩邊上，若的周長最小，則與的關系為（

）A． B．C． D．10．（2022秋·八年級單元測試）如圖，和是兩個等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，連接，，，下列三個結論：①；②；③點在線段的中垂線上；④；⑤；⑥．其中正確的結論的個數是（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023秋·全國·八年級專題練習）若點與點關于x軸對稱，則．12．（2023春·河南平頂山·八年級統考期中）如圖，在平面直角坐標系中，是由經過平移和關于坐標軸對稱等變換得到的，其中點P與是變換前后圖形上的一對對應點．若點P的坐標為，則點的坐標為（用含a、b的代數式表示）．

13．（2023春·陜西西安·七年級校考期末）如圖，在一張紙片上將翻折得到三角形，并以為邊作等腰，其中，且E，A，C三點共線，，則的度數是．

14．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，，，，，若，，且長為奇數，則的長為．15．（2023春·陜西西安·七年級統考期末）如圖，是等腰三角形，，且B，C，D三點共線．連接，分別交于點M，N，連接，則＝．16．（2023·黑龍江佳木斯·校聯考二模）如圖，A是直線外的一點，于點H，，P是上一動點，是等邊三角形，連接，則線段的最小值是．

17．（2022秋·山東德州·八年級統考期中）如圖，一位同學拿了兩塊同樣的含45°的三角尺，即等腰直角，等題直角做了一個探究活動：將的直角頂點M放在的斜邊的中點處，設，猜想此時重疊部分四邊形的面積為．18．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，等邊和等邊的邊長都是4，點在同一條直線上，點P在線段上，則的最小值為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023秋·北京海淀·八年級首都師范大學附屬中學校考開學考試）已知如圖所示，

（1）畫出中邊上的高線，在內部作射線使得，交邊于點，請你依題意補全圖形；（2）判斷與之間的關系，并說明理由．20．（8分）（2023秋·全國·八年級課堂例題）如圖，，．求證：直線是線段的垂直平分線．

21．（10分）（2023春·河北保定·八年級統考階段練習）如圖，為等腰直角三角形，，點D在上，點E在的延長線上，且．

（1）求證：；（2）若，求的度數．22．（10分）（2023春·山東棗莊·八年級校考期中）如圖，，，垂足分別為D、C，，且．連接．

（1）求證：．（2）若，，求的度數．23．（10分）（2023春·四川達州·七年級校考期末）如圖，在中，，，點在線段上運動（不與、重合），連接，作，交線段于．

（1）當時，，；點從向的運動過程中，逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當等于多少時，，請說明理由．（3）在點的運動過程中，與的長度可能相等嗎？若可以，請直接寫出的度數，請說明理由．24．（12分）（2023春·河南鄭州·七年級河南省實驗中學校考期末）解答題（1）問題發現如圖1，把一塊三角板（，）放入一個“”形槽中，使三角形的三個頂點、、分別在槽的兩壁及底邊上滑動，已知，在滑動過程中，發現與始終相等的角是，與線段相等的線段是；（2）拓展探究如圖2，在中，點在邊上，并且，．求證：．（3）能力提升如圖3，在等邊中，，分別為、邊上的點，，連接，以為邊在內作等邊，連接，當時，請直接寫出的長度．

參考答案1．C【分析】根據軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁部分能夠完全重合的圖形；由此問題可求解．【詳解】解：C選項是軸對稱圖形，A、B、D選項都不是軸對稱圖形；故選：C．【點撥】本題主要考查軸對稱圖形的識別，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解題的關鍵．2．A【分析】根據垂直平分線的性質分析選項即可．【詳解】解：∵是線段的垂直平分線，∴，，故D選項結論正確，不符合題意；在和中，∴，∴，故B選項結論正確，不符合題意；同理可知：，∴，故C選項結論正確，不符合題意；利用排除法可知選項A結論不正確，符合題意．故選：A【點撥】本題考查垂直平分線的性質，解題的關鍵是掌握垂直平分線的性質，利用性質證明，．3．D【分析】由翻折得到AE=AB，CE=CB，再根據線段的垂直平分線的判定即可得到答案．【詳解】解：∵ACE是由ABC翻折得到，∴AE=AB,CE=CB∴AC⊥BE且AC平分BE，故選D．【點撥】此題考查矩形的性質，線段的垂直平分線的判定，關鍵是熟練掌握線段的垂直平分線的判定．4．C【分析】利用成軸對稱的兩個點的坐標的特征，即可解題．【詳解】根據A點和B點的縱坐標相等，即可知它們的對稱軸為．故選：C．【點撥】本題考查坐標與圖形變化—軸對稱，掌握成軸對稱的兩個點的坐標的特點是解答本題的關鍵．5．B【分析】根據三角形板各角的特點，平行線的判定和性質即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，則，∴平分，故選項正確；∵，，如圖所示，設與交于點，∴，由選項正確可得，∴在中，，在中，，∴，∴，∴平分錯誤，故選項錯誤；由上述證明可得，，∴，故選項正確；根據上述證明可得，，∵，且，∴，∴，∴，故選項正確；故選：．【點撥】本題主要考查平行性中三角板的計算，掌握三角板中各角度的關系，平行性的判定和性質是解題的關鍵．6．A【分析】連接，由垂直平分線的性質可得，由等角對等邊可得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，

∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴，故選：A．【點撥】本題考查了垂直平分線的性質和等角對等邊，掌握垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等是解題的關鍵．7．B【分析】利用三角形三邊關系求得，再利用等腰三角形的定義即可求解．【詳解】解：在中，，∴，即，當時，為等腰三角形，但不合題意，舍去；若時，為等腰三角形，故選：B．【點撥】本題考查了三角形三邊關系以及等腰三角形的定義，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．8．B【分析】過點C作于點F，易證（AAS），得到，，，進而得到，因此．由于得到，又，得到，因此，所以．由得，變形得到．【詳解】如圖，過點C作于點F

是高，平分在和中（），，∵在中，，又，，即故選：B【點撥】本題只要考查三角形全等的判定與性質，等腰三角形的判斷與性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．9．D【分析】作點關于的對稱點，點關于的對稱點，其中交于，交于，此時的周長最小值等于的長，由軸對稱的性質可知△是等腰三角形，所以，推出，所以，即得出答案．【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，點關于的對稱點，連接，，，其中交于，交于，此時的周長最小值等于的長，由軸對稱性質可知：，，，，，，，即，故選：D．【點撥】本題考查了軸對稱-最短路徑問題，掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．10．C【分析】利用等邊三角形和等腰直角三角形的性質得到PA＝PB＝PD＝PC，∠APB＝∠DPC＝∠PAB＝∠PDC＝60°，∠APD＝90°，∠PAD＝∠PDA＝45°，則根據“SAS”可證明△APC≌△BPD，則可對①進行判斷；根據線段垂直平分線的判定可對③進行判斷；計算出∠BPC＝150°，再利用PB＝PC和三角形內角和可計算出∠PBC＝15°，則可對④進行判斷；由于∠ABC＝75°，∠BAD＝105°加上BD＝CA，則可判斷△ABD與△BCA不全等，從而可對②進行判斷；求出∠ABC＋∠BAD＝75°＋105°＝180°，根據平行線的判定方法可對⑤進行判斷；延長CP交AB于H，計算出∠CHB＝90°，則可對⑥進行判斷．【詳解】解：∵△ABP和△CDP是兩個等邊三角形，△APD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，∴PA＝PB＝PD＝PC，∠APB＝∠DPC＝∠PAB＝∠PDC＝60°，∠APD＝90°，∠PAD＝∠PDA＝45°，∴∠APC＝∠BPD＝150°，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD（SAS），所以①正確；∵PB＝PC，∴點P在線段BC的中垂線上，所以③正確；∵∠BPA＝∠CPD＝60°，∠APD＝90°，∴∠BPC＝150°，∵PB＝PC，∴∠PBC＝15°，所以④正確；∵∠ABC＝60°＋15°＝75°，∠BAD＝∠PAB＋∠PAD＝60°＋45°＝105°，BD＝AC，∴∠ABC≠∠BAD，∴△ABD與△BCA不全等，所以②錯誤；∵∠ABC＋∠BAD＝75°＋105°＝180°，∴AD∥BC，所以⑤正確；延長CP交AB于H，如圖，∵∠PCB＝15°，∠ABC＝75°，∴∠ABC＋∠PCB＝90°，∴∠CHB＝90°，∴PC⊥AB，所以⑥正確．正確的有5個，故選：C．【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質、等邊三角形的性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定、平行線的性質等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決此類問題的關鍵．11．2【分析】根據若兩點關于軸對稱，則橫坐標不變，縱坐標互為相反數，即可求解．【詳解】解：∵點與點關于軸對稱，∴，解得，∴．故答案為：2．【點撥】本題主要考查了平面直角坐標系內點關于坐標軸對稱的特征，熟練掌握若兩點關于軸對稱，則橫坐標不變，縱坐標互為相反數；若兩點關于y軸對稱，則橫坐標互為相反數，縱坐標不變是解題的關鍵．12．【分析】根據點B和的位置判斷出平移方式和對稱變換方式，繼而求解．【詳解】解：由圖中可以看出，點只有向右平移2個單位才能和點的縱坐標相等，翻折可得到兩點關于軸對稱，此時兩點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數．那么點也是如此轉換得到．點的坐標為，向右平移2個單位后變為這點關于軸的對稱點是．故答案為：．【點撥】本題考查了坐標的平移變換和軸對稱變換，解決本題的關鍵是根據圖形中關鍵點的轉換得到轉換方法．13．/152度【分析】根據折疊得出，根據等腰三角形的性質得出，，根據三角形外角的性質得出，求出，根據三角形內角和定理求出結果即可．【詳解】解：根據折疊可知，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點撥】本題主要考查了折疊的性質，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握等邊對等角．14．3【分析】由已知條件得，進而得出，，再根據得到為等邊三角形，進而得到，最后根據三角形的三邊關系即可求出．【詳解】解：在和中，，，，，，為等邊三角形，，，，，即，,長為奇數，，故答案為3．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質以及三角形的三邊關系，熟練掌握全等三角形的判定定理與性質是解題的關鍵．15．60【分析】根據已知證明都是等邊三角形，得到，即可證明，推出，進一步證明，可得，求出，證明是等邊三角形，可得結果．【詳解】解：∵都是等腰三角形，且，∴都是等邊三角形，∴，∵，∴．在與中，，∴，∴．∵，∴．在與中，，∴，∴．∵，∴是等邊三角形，∴，故答案為：60．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，解此題的關鍵是推出和，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等．16．2【分析】以為邊作等邊，連接，證明，得出，說明當最小時，最小，根據垂線段最短，過點E作于點B，當點P在點B時，最小，即最小，根據含角的直角三角形的性質求出．【詳解】解：以為邊作等邊，連接，如圖所示：

∴，，∴，∵為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴當最小時，最小，∵垂線段最短，∴過點E作于點B，當點P在點B時，最小，即最小，∵，，∴．故答案為：2．【點撥】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，等邊三角形的性質，直角三角形的性質，垂線段最短，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法，證明．17．【分析】利用等腰直角三角形的性質證得，，，從而證明，根據四邊形的面積=求出答案．【詳解】解：如圖，連接，∵是等腰直角三角形，M是的中點，∴，，∴，，∵，∴，即，∴，∴，∴四邊形的面積=．故答案為：．【點撥】此題考查等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定及性質，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵．18．8【分析】連接，根據和都是邊長為4的等邊三角形，證明，可得，所以，進而可得當點P與點C重合時，的值最小，正好等于的長，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵和都是邊長為4的等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴當點P與點C重合時，點A與點關于對稱，的值最小，正好等于的長，∴的最小值為，故答案為：8．【點撥】本題考查了軸對稱—最短路線問題、全等三角形的判定和性質和等邊三角形的性質，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．19．(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）先作交于點，根據等角對等邊可得，即點到點和點的距離相等，故可推出點的距離相等，故可推出點在的垂直平分線上，畫圖即可；（2）根據直角三角形兩銳角互余可得，結合題意即可推得．【詳解】（1）解：如圖：

先作交于點，作的垂直平分線與交于點，即為所求．（2）解：，理由如下：∵，即，∴，∵，且，∴．【點撥】本題考查了畫圖——三角形的高，等角對等邊，線段垂直平分線的性質，直角三角形兩銳角互余等，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．20．見解析【分析】利用線段垂直平分線的性質定理的逆定理和兩點確定一條直線的基本事實推理即可．【詳解】證明：，點在線段的垂直平分線上．，點在線段的垂直平分線上．直線是線段的垂直平分線．【點撥】本題考查了線段垂直平分線性質的應用，能正確運用線段垂直平分線性質的逆定理進行推理是解此題的關鍵．21．(1)見解析(2)【分析】（1）根據等腰直角三角形的定義得到，，再利用證明即可；（2）根據等腰直角三角形的性質得到，繼而求出，根據全等三角形的性質得到，再利用角的和差計算即可．【詳解】（1）解：∵為等腰直角三角形，∴，∵，∴，在和中，∴；（2）∵為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點撥】本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是利用全等三角形的性質得到相等的角．22．(1)見詳解(2)【分析】（1）根據垂直的定義得到，根據平行線的性質得到，根據全等三角形的性質即可得到結論；（2）由等腰直角三角形的性質得出，由三角形外角的性質得出答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴．【點撥】本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形外角的性質，等腰直角三角形的性質，解此題的關鍵是推出．23．