惠陽一中2023-2024學年度上學期八年級第二次拓展訓練數學（時間：120分鐘，總分：120分）一、選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）1.如圖是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據軸對稱圖形的概念即可求解．在平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形為軸對稱圖形；【詳解】A、不軸對稱圖形，故本選項不合題意；B、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；D、是軸對稱圖形，故本選項符合題意．故選D．【點睛】本題考查了軸對稱圖形，能找準對稱軸，是本題的關鍵.2.在中，若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據三角形內角和定理計算即可．【詳解】因為，所以，故選D．【點睛】本題考查了三角形內角和定理的應用，熟練掌握定理是解題的關鍵．3.下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A.2，3，5 B.1，2，3 C.2，3，4 D.2，2，5【答案】C更多課件教案等優質滋源請家威杏MXSJ663【解析】【分析】看兩條較小線段之和是否大于較長線段即可．【詳解】解：A、2+3=5，不能構成三角形；B、1+2=3，不能構成三角形；C、2+3=5>4，能夠組成三角形；D、2+2=4<5，不能構成三角形．故選：C．【點睛】此題主要考查了三角形三邊關系，根據第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和是解決問題的關鍵．4.點A(2，-1)關于y軸對稱的點B的坐標為（）A.(2,1) B.(-2，1) C.(2，-1) D.(-2，-1)【答案】D【解析】【分析】根據點坐標關于軸對稱的變換規律即可得．【詳解】解：點坐標關于軸對稱的變換規律：橫坐標互為相反數，縱坐標相同．則點關于軸對稱的點的坐標為，故選：D．【點睛】本題考查了點坐標與軸對稱變化，熟練掌握點坐標關于軸對稱的變換規律是解題關鍵．5.下列運算正確的是A.x?x2=x2 B.（xy）2=xy2 C.（x2）3=x6 D.x2+x2=x4【答案】C【解析】【詳解】試題分析：根據同底數冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，合并同類項運算法則逐一計算作出判斷：A、x?x2=x1+2=x3≠x2，故本選項錯誤；B、（xy）2=x2y2≠xy2，故本選項錯誤；C、（x2）3=x2×3=x6，故本選項正確；D、x2+x2=2x2≠x4，故本選項錯誤．故選C．6.如圖，工人師傅砌門時，常用木條固定門框，使其不變形，這種做法的根據是（）A.兩點之間線段最短 B.三角形兩邊之和大于第三邊C.長方形的四個角都是直角 D.三角形的穩定性【答案】D【解析】【分析】本題考查三角形的穩定性．熟練掌握三角形具有穩定性是解題的關鍵．根據三角形的穩定性進行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，根據為三角形的穩定性，故選：D．7.將一副直角三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中∠的度數是【】A.45° B.60° C.75° D.90°【答案】C【解析】【詳解】如圖，∵∠1=90°-60°=30°，∴∠α=45°+30°=75°．故選C．【點睛】本題考查了直角三角形中兩個銳角互余，外角的性質，解決此題的關鍵計算細致．8.等腰三角形的一個角為50°，則這個等腰三角形的底角為（）A.65° B.65°或80° C.50°或65° D.40°【答案】C【解析】【分析】已知給出了一個內角是50°，沒有明確是頂角還是底角，所以要進行分類討論，分類后還要用內角和定理去驗證每種情況是不是都成立．【詳解】解：當50°是等腰三角形的頂角時，則底角為（180°﹣50°）×=65°；當50°是底角時也可以．故選C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關鍵．9.如圖，在△ABC中，已知和的平分線相交于點D，過點D作EF∥BC交AB、AC于點E、F，若△AEF的周長為10，BC=6，則△ABC的周長為（）A.16 B.17 C.18 D.15【答案】A【解析】【分析】先根據角平分線的定義可得，再根據平行線的性質可得，從而可得，然后根據等腰三角形的判定可得，同樣的方法可得，最后根據三角形的周長公式即可得．【詳解】解：是的角平分線，，，，，，同理可得：，的周長為10，，，即，，的周長為，故選：A．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、角平分線的定義等知識點，熟練掌握等腰三角形的性質是解題關鍵．10.已知如圖，等腰，，，于點.點是延長線上一點，點是線段上一點，下面的結論：①；②；③是等邊三角形④.其中正確的是（）A.①③④ B.①②③ C.①③ D.①②③④【答案】A【解析】【分析】①利用等邊對等角，即可證得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，則∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD，據此即可求解；

②因為點O是線段AD上一點，所以BO不一定是∠ABD角平分線，可作判斷；

③證明∠POC＝60°且OP＝OC，即可證得△OPC是等邊三角形；

④首先證明△OPA≌△CPE，則AO＝CE，AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP．【詳解】解：①如圖，連接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°?∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正確；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵點O線段AD上一點，∴∠ABO與∠DBO不一定相等，則∠APO與∠DCO不一定相等，故②不正確；③∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，∴∠APC＋∠DCP＝150°，∵∠APO＋∠DCO＝30°，∴∠OPC＋∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°?（∠OPC＋∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等邊三角形；故③正確；④如圖，AC上截取AE＝PA?，連接PB，∵∠PAE＝180°?∠BAC＝60°，∴△APE是等邊三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO＋∠OPE＝60°，∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AB＝AC＝AE＋CE＝AO＋AP；故④正確；本題正確的結論有：①③④，故選A.【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線是解決問題的關鍵．二、填空題（本大題共6小題，每題4分，共24分）11.一個多邊形的內角和是，這個多邊形的邊數是_____．【答案】6【解析】【分析】根據多邊形的內角和公式，建立方程，解方程即可得出答案．【詳解】解：∵多邊形的內角和公式為，∴，解得，∴這個多邊形的邊數是6．故答案為：6．【點睛】本題考查多邊形內角和，掌握多邊形的內角和公式為是解題的關鍵．12.如圖，中，，則的長是_____cm．【答案】4【解析】【分析】先根據三角形內角和定理求出的度數，然后根據30°所對的直角邊等于斜邊的一半即可解答．【詳解】解：∵中，，∴，∵，∴．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理、直角三角形的性質等知識點，掌握直角三角形30°所對的直角邊等于斜邊的一半是解答本題的關鍵．13.計算：________．【答案】x8【解析】【分析】利用同底數冪的乘法法則計算即可．【詳解】解：x3?x5=x3+5=x8，故答案為：x8．【點睛】本題主要考查了同底數冪的乘法，解題的關鍵是熟記計算法則．14.如圖，中，，的垂直平分線交于E，連接，，則的周長是_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了垂直平分線的性質．熟練掌握垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關鍵．由題意知，根據的周長為，計算求解即可．【詳解】∵是的垂直平分線，∴，∴的周長為，故答案為：．15.如圖，平分于點D，，，則_______．【答案】2【解析】【分析】作于E，利用角平分線的性質及含的直角三角形的性質解題即可．【詳解】解：作于E，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴在中，，∴，故答案是：2．【點睛】本題主要考查角平分線的性質及含的直角三角形的性質，能夠熟練運用性質是解題關鍵．16.如圖，△ABC的面積為12，AB＝AC，BC＝4，AC的垂直平分線EF分別交AB，AC邊于點E，F，若點D為BC邊的中點，點P為線段EF上一動點，則△PCD周長的最小值為___．【答案】8【解析】【分析】連接，由于是等腰三角形，點是邊的中點，故，再根據三角形的面積公式求出的長，再根據是線段的垂直平分線可知，點關于直線的對稱點為點，故的長為的最小值，由此即可得出結論．【詳解】解：連接，是等腰三角形，點是邊的中點，，，解得：，是線段的垂直平分線，點關于直線的對稱點為點，的長為的最小值，的周長最短．故答案為：8．【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題、等腰三角形的性質，解題的關鍵是熟知等腰三角形三線合一的性質．三、解答題（一）（本大題3小題，每小題6分，共18分）17.（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了絕對值，零指數冪，乘方，多項式除以單項式．熟練掌握絕對值，零指數冪，乘方，多項式除以單項式是解題的關鍵．（1）先計算絕對值，零指數冪，乘方，然后進行加減運算即可；（2）根據多項式除以單項式計算求解即可．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．18.如圖，點B，E，C，F在一條直線上，．求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】根據平行得出，然后用“邊角邊”證明即可．【詳解】證明：∵，∴．∵，∴．∴．在和中，∴．∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，解題關鍵是熟練運用已知條件，推導證明出全等三角形判定所需條件，運用全等三角形判定定理證明．19.先化簡，再求值：，其中，．【答案】，【解析】【分析】本題考查了整式的混合運算，乘法運算律，代數式求值．正確的運算化簡是解題的關鍵．利用乘法運算律計算，然后合并同類項可得化簡結果，最后代值求解即可．【詳解】解：，將代入得，原式．四、解答題（二）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）20.如圖，在平面直角坐標系中，頂點都在網格格點上，點A、B、C的坐標分別為．（1）作出關于y軸對稱的，各頂點坐標為（______，______）、（______，______）、（______，______）；（2）的面積為______；（3）在x軸上作出一點P，使得最短，點P的坐標為（______，______）．【答案】（1）作圖見解析，（2）（3）作圖見解析，2，0【解析】【分析】本題考查了軸對稱的性質，坐標與圖形，一次函數解析式．對知識的熟練掌握是解題的關鍵．（1）根據軸對稱的性質作圖，如圖1，然后寫出坐標即可；（2）根據，計算求解即可；（3）如圖2，作關于軸的對稱點，連接，交軸于，連接，點即為所求；待定系數法求直線的解析式，然后求與軸的交點坐標即可．【小問1詳解】解：如圖1，即為所求；∴，故答案為：；【小問2詳解】解：由題意知，，故答案為：；【小問3詳解】解：如圖2，作關于軸的對稱點，則，連接，交軸于，連接，點即為所求；∴，∴，∴當三點共線時，的和最小，設直線的解析式為，將，代入得，，解得，，∴，當時，，∴，故答案為：．21.如圖，在和中，，點E是的中點，于點F，且．（1）求證：；（2）若．①求的長；②求的面積．【答案】（1）見解析（2）①6；②36【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質．熟練掌握全等三角形的判定條件是解題的關鍵．（1）由題意知，，，則，證明；（2）①由題意知，，由，可得，計算求解即可；②根據，計算求解即可．【小問1詳解】證明：∵，∴，∵，∴，即，∴，∵，，，∴；【小問2詳解】①解：∵點E是的中點，∴，由（1）可知，，∴，∴，∴的長為6；②解：由題意知，，∴的面積為36．22.如圖A,B,D在同一條直線上，∠A=∠D=90°，AB=DE,∠BCE=∠BEC,（1）求證：△ACB≌△DBE（2）求證：CB⊥BE【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）根據等角對等邊可得：BC=EB，再利用HL即可證出Rt△ACB≌Rt△DBE；（2）由Rt△ACB≌Rt△DBE，可得：∠ABC=∠DEB，再根據∠DEB＋∠DBE=90°，從而得出：∠ABC＋∠DBE=90°，即可得出∠CBE=90°，即CB⊥BE.【詳解】證明：（1）∵∠BCE=∠BEC∴BC=EB在Rt△ACB和Rt△DBE中∴Rt△ACB≌Rt△DBE（2）∵Rt△ACB≌Rt△DBE∴∠ABC=∠DEB∵∠D=90°∴∠DEB＋∠DBE=90°∴∠ABC＋∠DBE=90°∴∠CBE=180°－（∠ABC＋∠DBE）=90°∴CB⊥BE【點睛】此題考查的是等腰三角形的判定、全等三角形的判定、直角三角形的性質和垂直的定義，掌握等角對等邊、用HL判定兩個三角形全等、直角三角形的兩銳角互余是解決此題的關鍵.五、解答題（三）（本大題共3小題，每小題9分，共27分）23.如圖，和均是等邊三角形，點A、B、C在同一直線上，與交于點O，、分別與交于點M、N．（1）求證：；（2）求證：；（3）求證：是等邊三角形．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵（1）由題意知，，根據，證明即可；（2）由，可得，根據，計算求解即可；（3）由題意知，，證明，則，進而結論得證．【小問1詳解】證明：∵和均是等邊三角形，∴，∴，即，∵，∴；【小問2詳解】證明：由（1）知，，∴，∵，∴，∴；【小問3詳解】證明：由題意知，，∵，，，∴，∴，∴是等邊三角形．24.如圖1，點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點（端點除外），點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發，且它們的運動速度相同，連接AQ、CP交于點M．（1）求證：△ABQ≌△CAP；（2）當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數．（3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，則求出它的度數．【答案】（1）證明見解析（2）點P、Q在運動的過程中，∠QMC不變．∠QMC＝60°（3）點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動時，∠QMC不變．∠QMC＝120°【解析】【分析】（1）根據等邊三角形的性質，利用SAS證明△ABQ≌△CAP；

（2）由△ABQ≌△CAP根據全等三角形的性質可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=；

（3）由△ABQ≌△CAP根據全等三角形的性質可得∠BAQ=∠ACP，從而得到∠QMC=．【小問1詳解】證明：∵△ABC是等邊三角形∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，又∵點P、Q運動速度相同，∴AP＝BQ，在△ABQ與△CAP中，∵，∴△ABQ≌△CAP（SAS）；【小問2詳解】解：點P、Q在運動的過程中，∠QMC不變．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC；【小問3詳解】解：點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動時，∠QMC不變化．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質與判定，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．25.如圖1，在平面直角坐標系中，△AOB為等腰直角三角形，A（4，4）（1）求B點坐標；（2）如圖2，若C為x正半軸上一動點，以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，連接OD，求∠AOD的度數；（3）如圖3，過點A作y軸的垂線交y軸于E，F為x軸負半軸上一點，G在EF的延長線上，以EG為直角邊作等腰Rt△EGH，過A作x軸垂線交EH于點M，連FM，等式AM=FM+OF是否成立？若成立，請說明；若不成立，說明理由．【答