專題2.2基本不等式及其應用練基礎練基礎1．（2021·曲靖市第二中學高三二模（文））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的（）A．最大值是SKIPIF1<0 B．最大值是SKIPIF1<0C．最小值是SKIPIF1<0 D．最小值是SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意得SKIPIF1<0，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，等號成立當且僅當SKIPIF1<0.故選：B.2．（2021·山東高三其他模擬）已知SKIPIF1<0均為正實數，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】取SKIPIF1<0可得由SKIPIF1<0推不出SKIPIF1<0，反過來，由基本不等式可得由SKIPIF1<0能推出SKIPIF1<0，然后可選出答案.【詳解】取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0推不出SKIPIF1<0，反過來，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，所以由SKIPIF1<0能推出SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分條件，故選：C3．（2021·吉林長春市·東北師大附中高三其他模擬（文））在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的三個內角大小為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0，利用面積公式及基本不等式判斷出SKIPIF1<0，由b=c得SKIPIF1<0.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（當且僅當b=c時取等號）.而SKIPIF1<0的面積是SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為A為三角形內角，所以SKIPIF1<0.又因為b=c，所以SKIPIF1<0.故選：B4．（2021·浙江高三月考）已知實數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】運用三角代換法，結合二倍角的正弦公式、正弦型函數的最值性質進行求解即可.【詳解】由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，故選：D5．（2021·北京高三二模）某公司購買一批機器投入生產，若每臺機器生產的產品可獲得的總利潤s(萬元)與機器運轉時間t(年數，SKIPIF1<0)的關系為SKIPIF1<0，要使年平均利潤最大，則每臺機器運轉的年數t為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】根據題意求出年平均利潤函數。利用均值不等式求最值.【詳解】因為每臺機器生產的產品可獲得的總利潤s(萬元)與機器運轉時間t(年數，SKIPIF1<0)的關系為SKIPIF1<0，所以年平均利潤SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，即年平均利潤最大，則每臺機器運轉的年數t為8，故選：D6．（2021·四川成都市·高三三模（文））已知函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒過定點SKIPIF1<0，過定點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與坐標軸的正半軸相交，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】求出SKIPIF1<0，代入直線方程，再根據基本不等式可求出結果.【詳解】令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0．當且僅當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，等號成立，故選：C7.【多選題】（2021·福建南平市·高三二模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列不等式恒成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0結合條件等式可判斷A、B，由SKIPIF1<0結合條件等式可判斷C、由SKIPIF1<0結合條件等式可判斷D.【詳解】對于A，B，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用基本不等式SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立），而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正確，A錯誤：對于C，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用基本不等式SKIPIF1<0，變形SKIPIF1<0得SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立），解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故C正確；對于D，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用基本不等式SKIPIF1<0化簡SKIPIF1<0得SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立），解得SKIPIF1<0，故D錯誤；故選：BC8．【多選題】（2021·河北高三三模）已知正數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】A：由條件等式得SKIPIF1<0，結合基本不等式即可判斷正誤；B：由題設及A得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0有SKIPIF1<0即可判斷正誤；C：結合A，易得SKIPIF1<0，由基本不等式即可判斷正誤；D：通過基本不等式證SKIPIF1<0，進而可判斷D的正誤.【詳解】A：由SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，正確；B：由SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時有SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，錯誤；C：由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，正確；D：由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，正確.故選：SKIPIF1<09．【多選題】（2021·遼寧高三一模）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則下列不等式正確的（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】利用基本不等式證明判斷．【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，所以SKIPIF1<0，A正確；由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立，B正確；SKIPIF1<0滿足題意，但SKIPIF1<0，C錯；由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時等號成立，所以SKIPIF1<0．D正確．故選：ABD10．（2021·天津高三二模）已知正實數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為______．【答案】10【解析】先把SKIPIF1<0整理為SKIPIF1<0，對SKIPIF1<0，利用基本不等式求出最小值，即可求出SKIPIF1<0的最小值.【詳解】SKIPIF1<0∵正實數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號）∴SKIPIF1<0.故答案為：10.練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·江蘇高三三模）在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為兩條對角線的交點，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上的動點.若SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．2 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】以點SKIPIF1<0為原點，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸建立平面直角坐標系，設正方形的邊長為1，求出已知點的坐標，然后設出點SKIPIF1<0的坐標，代入已知關系式，即可求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的關系式，然后根據基本不等式即可求解．【詳解】如圖所示，以點SKIPIF1<0為原點，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸建立平面直角坐標系，設正方形的邊長為1，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則根據中點坐標公式可得SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號，此時SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故選：C2．（2021·河北保定市·高三二模）已知圓弧SKIPIF1<0與函數SKIPIF1<0和函數SKIPIF1<0的圖象分別相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】B【解析】由函數SKIPIF1<0與函數SKIPIF1<0互為反函數可得SKIPIF1<0，然后可得SKIPIF1<0，然后利用基本不等式的知識求解即可.【詳解】因為函數SKIPIF1<0與函數SKIPIF1<0互為反函數，所以SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱所以SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在圓弧SKIPIF1<0上所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立故選：B3．（2021·四川達州市·高三二模（理））已知SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的點，下列結論正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0最大值是SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根據基本不等式，可得判定A、B不正確；根據指數函數與對數函數的性質，結合不等式的性質，可判定C正確，D不正確.【詳解】根據題意，點SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的點，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，所以A不正確；由SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立，即SKIPIF1<0最小值是SKIPIF1<0，所以B不正確；由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，根據指數函數的性質，可得SKIPIF1<0成立，所以C正確；由SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0符合不確定，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0大小不確定，所以D不正確.故選：C.4．（2021·江西上饒市·高三三模（理））己知A、B、C三點共線（該直線不過原點O），且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．10 B．9 C．8 D．4【答案】C【解析】先根據三點共線，求出SKIPIF1<0，利用基本不等式求最值.【詳解】因為A、B、C三點共線（該直線不過原點O），且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立．故選：C5．（2021·浙江高三三模）已知正實數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】根據已知等式把代數式SKIPIF1<0進行變形為SKIPIF1<0，再結合已知等式，利用基本不等式進行求解即可.【詳解】SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是正實數，所以SKIPIF1<0，（當且僅當SKIPIF1<0時取等號，即SKIPIF1<0時取等號，即SKIPIF1<0時取等號），故選：A6．【多選題】（2021·福建廈門市·高三三模）已知正數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】利用基本不等式證明不等式，判斷選項AC的正誤；利用SKIPIF1<0，根據選項BD分別構造函數，利用導數研究單調性和最值情況來判斷選項BD的正誤.【詳解】正數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立，故A錯誤；由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，構造函數SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞減；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞增.所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，B正確；由SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C正確；由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，構造函數SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由指數函數性質可知SKIPIF1<0單調遞增，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞減；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調遞增.故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，D正確.故選：BCD.7．【多選題】（2021·長沙市·湖南師大附中高三二模）關于函數SKIPIF1<0有如下四個命題，其中正確的命題有（）A．SKIPIF1<0的圖象關于SKIPIF1<0軸對稱B．SKIPIF1<0的圖象關于原點對稱C．SKIPIF1<0的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱D．SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0【答案】AD【解析】對于A，B，先求出函數的定義域，然后判斷函數的奇偶性，從而可得結論；對于C，分別求解SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若相等，則SKIPIF1<0的圖象關于直線SKIPIF1<0對稱，否則SKIPIF1<0的圖象不關于直線SKIPIF1<0對稱；對于D，利用基本不等式判斷即可【詳解】由題意知SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，且關于原點對稱.又SKIPIF1<0，所以函數SKIPIF1<0為偶函數，其圖象關于SKIPIF1<0軸對稱，所以A正確，B錯誤.因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數SKIPIF1<0的圖象不關于直線SKIPIF1<0對稱，C錯誤.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0，所以D正確.故選：AD8．【多選題】（2021·江蘇高三其他模擬）若非負實數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則下列說法中一定正確的有（）A．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】由已知條件結合基本不等式及相關結論，即可作出判斷．【詳解】對于A，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，兩邊同時加上SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，所以A正確.對于B，易得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時取等號，所以B不正確.對于C，由SKIPIF1<0，兩邊同時加上SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，所以C正確.對于D，易得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用導數易求得SKIPIF1<0，所以D正確.故選：ACD9．（2021·山東高三二模）最大視角問題是1471年德國數學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點B離地面b米，在離地面SKIPIF1<0米的C處看此樹，離此樹的水平距離為___________米時看A，B的視角最大.【答案】SKIPIF1<0【解析】根據題意，SKIPIF1<0，分別求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表達式，即可求得SKIPIF1<0表達式，結合基本不等式，即可得答案.【詳解】過C作SKIPIF1<0，交AB于D，如圖所示：則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號，所以SKIPIF1<0取最大值時，SKIPIF1<0最大，所以當離此樹的水平距離為SKIPIF1<0米時看A，B的視角最大.故答案為：SKIPIF1<010．（2021·山東高三其他模擬）從①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并加以解答.問題：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為內角SKIPIF1<0的對邊，若SKIPIF1<0，_________，求SKIPIF1<0的周長的最大值.注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】答案見解析.【解析】若選條件①，由正弦定理、兩角和的余弦公式、同角三角函數的基本關系式求得SKIPIF1<0的值，由此求得SKIPIF1<0，利用余弦定理以及基本不等式求得SKIPIF1<0的最大值，從而求得三角形SKIPIF1<0的周長的最大值.若選條件②，利用余弦定理求得SKIPIF1<0的值，進而求得SKIPIF1<0，利用余弦定理以及基本不等式求得SKIPIF1<0的最大值，從而求得三角形SKIPIF1<0的周長的最大值.若選條件③，利用同角三角函數的基本關系式、余弦定理求得SKIPIF1<0的值，進而求得SKIPIF1<0，利用余弦定理以及基本不等式求得SKIPIF1<0的最大值，從而求得三角形SKIPIF1<0的周長的最大值.【詳解】若選條件①，由正弦定理得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，所以SKIPIF1<0周長的最大值為SKIPIF1<0.若選條件②，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，所以SKIPIF1<0周長的最大值為SKIPIF1<0.若選條件③，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，所以SKIPIF1<0周長的最大值為SKIPIF1<0.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2019年高考浙江卷）若，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，當且僅當時取等號，則當時，有，解得，充分性成立；當時，滿足，但此時，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.2．【多選題】（2020·海南高考真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】根據SKIPIF1<0，結合基本不等式及二次函數知識進行求解.【詳解】對于A，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，故A正確；對于B，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正確；對于C，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，故C不正確；對于D，因為SKIPIF1<0，所以SKIP