概率的基本性質

比如在擲骰子這個試驗中：“出現的點數小于或等于3”這個事件中包含了哪些結果呢？①“出現的點數為1”②“出現的點數為2”③“出現的點數為3”這三個結果

上一節課我們學習了隨機事件的概率，舉了生活中與概率知識有關的許多實例。今天我們來研究概率的基本性質。在研究性質之前，我們先來研究一下事件之間有什么關系。你能寫出在擲骰子的試驗中出現的其它事件嗎？C1={出現1點}；C2={出現2點}；C3={出現3點}；C4={出現4點}；C5={出現5點}；C6={出現6點}；上述事件中有必然事件或不可能事件嗎？有的話，哪些是？D1={出現的點數不大于1}；D2={出現的點數大于3}；D3={出現的點數小于5}；E={出現的點數小于7};F={出現的點數大于6};G={出現的點數為偶數};H={出現的點數為奇數};……2.若事件C1發生，則還有哪些事件也一定會發生？反過來可以嗎？3.上述事件中，哪些事件發生會使得K={出現1

點或5點}也發生？6.在擲骰子實驗中事件G和事件H是否一定有一個會發生？5.若只擲一次骰子，則事件C1和事件C2有可能同時發生么？4.上述事件中，哪些事件發生當且僅當事件D2且事件D3同時發生?（一）事件的關系和運算：BA如圖：例.事件C1={出現1點}發生，則事件H={出現的點數為奇數}也一定會發生，所以注：不可能事件記作，任何事件都包括不可能事件。（1）包含關系一般地，對于事件A與事件B，如果事件A發生，則事件B一定發生，這時稱事件B包含事件A（或稱事件A包含于事件B）,記作（2）相等關系B

A如圖：例.事件C1={出現1點}發生，則事件D1={出現的點數不大于1}就一定會發生，反過來也一樣，所以C1=D1。一般地，對事件A與事件B，若，那么稱事件A與事件B相等，記作A=B。（3）并事件（和事件）若某事件發生當且僅當事件A發生或事件B發生，則稱此事件為事件A和事件B的并事件（或和事件），記作。B

A如圖：例.若事件K={出現1點或5點}發生，則事件C1={出現1點}與事件C5={出現5點}中至少有一個會發生，則（4）交事件（積事件）若某事件發生當且僅當事件A發生且事件B發生，則稱此事件為事件A和事件B的交事件（或積事件）記作B

A如圖：例.若事件M={出現1點且5點}發生，則事件C1={出現1點}與事件C5={出現5點}同時發生，則（5）互斥事件若為不可能事件（），那么稱事件A與事件B互斥，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗中都不會同時發生。AB如圖：例.因為事件C1={出現1點}與事件C2={出現2點}不可能同時發生，故這兩個事件互斥。（6）互為對立事件若為不可能事件，為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發生。AB如圖：例.

事件G={出現的點數為偶數}與事件H={出現的點數為奇數}即為互為對立事件。①互斥事件可以是兩個或兩個以上事件的關系，而對立事件只針對兩個事件而言。②從定義上看，兩個互斥事件有可能都不發生，也可能有一個發生，也就是不可能同時發生；而對立事件除了要求這兩個事件不同時發生外，還要求這二者之間必須要有一個發生，因此，對立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件。③從集合角度看，幾個事件彼此互斥，是指這幾個事件所包含的結果組成的集合的交集為空集；而事件A的對立事件A所包含的結果組成的集合是全集中由事件A所包含的結果組成的集合的補集。互斥事件與對立事件的區別：集合A與集合B的交為空集事件A與事件B互斥

=

集合A與集合B的交事件A與事件B的交

集合A與集合B的并事件A與事件B的并

集合A與集合B相等事件A與事件B相等

=

集合B包含集合A事件B包含事件AB集合A的補集事件A的對立事件CUA

的子集事件A

中的元素試驗的可能結果

空集不可能事件

全集必然事件

集合論概率論符號A1.概率P(A)的取值范圍（1）0≤P(A)≤1.（2）必然事件的概率是1.（3）不可能事件的概率是0.（4）若AB,則P(A)≤P(B)（二）概率的基本性質思考：擲一枚骰子,事件C1={出現1點}，事件

C3={出現3點}則事件C1

C3發生的頻率與事件C1和事件C3發生的頻率之間有什么關系?結論：當事件A與事件B互斥時2.概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A

B)=P(A)+P(B)若事件A，B為對立事件,則P(B)=1－P(A)3.對立事件的概率公式注意：1.利用上述公式求概率是，首先要確定兩事件是否互斥，如果沒有這一條件，該公式不能運用。即當兩事件不互斥時，應有：如果事件A與事件B互斥，則P(A

B)=P(A)+P(B)P(A

B)=P(A)+P(B)

-

P(

)2.上述公式可推廣，即如果隨機事件A1，A2，……，An中任何兩個都是互斥事件，那么有P(A1

A2…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(

n)一般地，在解決比較復雜的事件的概率問題時，常常把復雜事件分解為幾個互斥事件，借助該推廣公式解決。(1)將一枚硬幣拋擲兩次，事件A：兩次出現正面，事件B：只有一次出現正面．(2)某人射擊一次，事件A：中靶，事件

B：射中9環．(3)某人射擊一次，事件A：射中環數大于5，事件B：射中環數小于5.(1),(3)為互斥事件1、判斷下列每對事件是否為互斥事件（一）獨立思考后回答2、某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參加演講比賽．判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對立事件．(1)恰有一名男生與恰有2名男生；(2)至少有1名男生與全是男生；(3)至少有1名男生與全是女生；(4)至少有1名男生與至少有1名女生．不互斥互斥不對立不互斥互斥且對立3、袋中裝有白球3個，黑球4個，從中任取3個，是對立事件的為()①恰有1個白球和全是白球；②至少有1個白球和全是黑球；③至少有1個白球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個黑球．

A．①B．②

C．③

D．④B4.從一批產品中取出三件產品，設A＝｛三件產品全不是次品｝B＝｛三件產品全是次品｝C＝｛三件產品不全是次品｝則下列結論正確的是（）A.只有A和C互斥B.只有B與C互斥C.任何兩個均互斥D.任何兩個均不互斥C5.從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋里任取兩個球，那么，互斥而不對立的兩個事件是（）A.至少有一個黑球與都是黑球B.至少有一個黑球與至少有一個紅球C.恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球D.至少有一個黑球與都是紅球C6.如果事件A,B是互斥事件，則下列說法正確的個數有（）A.2個B.3個C.4個D.5個①A∪B是必然事件；②A∪B是必然事件；③A與B也一定互斥；④0≤P(A)+P(B)<1;⑤P(A)+P(B)=1;⑥0≤P(A)+P(B)≤1A6．甲、乙兩人下象棋，甲獲勝的概率為30%，兩人下成和棋的概率為50%，則乙獲勝的概率為________，甲不輸的概率為________．

80%20%8.某射手射擊一次射中，10環、9環、8環、7環的概率分別是0.24、0.28、0.19、

0.16，計算這名射手射擊一次1）射中10環或9環的概率；2）至少射中7環的概率.3）射中環數不足8環的概率.(二)根據題意列清各事件后再求解，完成后自由發言.0.520.870.299、在一次數學考試中，小明的成績在90分以上的概率是0.13，在80～89分以內的概率是0.55，在70～79分以內的概率是0.16，在60～69分以內的概率是0.12，求小明成績在60分以上的概率和小明成績不及格的概率．[解析]

分別記小明成績在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分，60分以下(不及格)為事件A、B、C、D、E，顯然它們彼此互斥，故小明成績在80分以