第七章直線和圓的方程7.6圓的方程（1）圓？圓的標準方程問題1：具有什么性質的點的軌跡稱為圓？平面內與一定點距離等于定長的點的軌跡稱為圓.問題2：圖中哪個點是定點？哪個點是動點？動點具有什么性質？圓心和半徑都反映了圓的什么特點？圓心C是定點，圓周上的點M是動點，它們到圓心距離等于定長|MC|=r，圓心和半徑分別確定了圓的位置(定位）和大小（定型）．問題3：求曲線的方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？（1）建立適當的坐標系，用有序實數對例如(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標；（2）寫出適合條件p的點M的集合P={M|p(M)}；（3）用坐標表示條件p(M)，列出方程f(x,y)=0；（4）化方程f(x,y)=0為最簡形式；

（5）證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點．

其中步驟(1)(3)(4)必不可少．下面我們用求曲線方程的一般步驟來建立圓的標準方程．圓的標準方程解：設M(x,y)是圓上任意一點，xyO．rM根據圓的定義|MC|=rC由兩點間距離公式，得①把①式兩邊平方，得圓的標準方程說明：1.特點：明確給出了圓心和半徑。2.確定圓的方程必須具備三個獨立的條件。練習1.寫出下列各圓的方程：（1）圓心在原點，半徑是3；（3）經過點P(5,1)，圓心在點C(8,-3)（2）圓心在點C(3,4)，半徑是；練習2.寫出下列各圓的圓心坐標和半徑（1）（2）（3）（-1，2）3(4)(2x-2)2+(2y+4)2=2例1、求滿足下列條件的各圓的方程:解:已知圓心是C(1,3),那么只要再求出圓的半徑r,就能寫出圓的方程.

因為圓C和直線3x-4y-7=0相切,所以半徑r等于圓心C到這條直線的距離.根據點到直線的距離公式,得OXYM(1,3)3x-4y-7=0(1)以C(1,3)為圓心,并且和直線3x-4y-7=0相切的圓.(2)圓心在x軸上,半徑為5且過點A(2,-3)的圓.解:設圓心在x軸上,半徑為5的方程為(x-a)2+y2=52.∵點A(2,-3)在圓上,∴(2-a)2+(-3)2=52,∴a=-2或6.∴所求的圓的方程為:(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25.方法總結:此方法屬于待定系數法.(3)過點A(1,2)和B(1,10)且與直線x-2y-1=0相切的圓的方程.解:設所求圓方程為(x-a)2+(y-b)2=r2∵線段AB的垂直平分線為y=6,∴圓心坐標為(a,6),∴圓的方程可以寫成(x-a)2+(y-6)2=r2∵直線x-2y-1=0與圓相切,∴解得a=-7或3,∴r2=80或20.∴所求圓的方程為(x+7)2+(y-6)2=80或(x-3)2+(y-6)2=20XYOX-2y-1=01A(1,2)B(1,10)C(a,6)評注:1.求圓的方程常用方法(1)定義法,(2)待定系數法.2.解題時注意充分利用圓的幾何性質.3.用待定系數法求圓的方程一般步驟為:(1)根據題意,設所求方程為(x-a)2+(y-b)2=r2;(2)根據已知條件,建立關于a,b,r的方程或方程組;(3)解方程或方程組,求出a,b,r的值,并把它們代入所設方程得所求解方程.例2.已知圓的方程是x2+y2=r2，求經過圓上一點M(x0,y0)

的切線的方程。解：如圖，xyO．M(x0,y0)設切線的斜率為k半徑OM的斜率為k1,因為圓的切線垂直于過切點的半徑，于是經過點M的切線方程是整理得，x0x+y0y=x02+y02因為點M(x0,y0)在圓上，所以x02+y02=r2所求切線方程是x0x+y0y=r2當點M在坐標軸上時，可以驗證上面方程同樣適用。例2已知圓的方程是，求經過圓上一點

的切線的方程。P(x,y

)由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2解法二（利用平面幾何知識）：在直角三角形OMP中yxOx0x

+y0y=r2P(x,y

)yxO例2已知圓的方程是，求經過圓上一點

的切線的方程。解法三（利用平面向量知識）：OMMP=0OMMPx0x

+y0y=r2x2

+

y2=r2練習3.(1)寫出過圓x2+y2=10上一點M的切線的方程（2）求過點A（5，15）向圓x2+y2=25所引的切線方程。（2）解：經驗證點A在已知圓外，設所求切線的切點為M（x0,y0）,則切線方程為：x0x+y0y=25又點A在切線上，所以：5x0+15y0=25

所以，所求切線的方程為4x-3y+25=0或x=5練習4、猜想過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(x。,y。)的切線方程并給予證明。

切線方程為:(ｘ–ａ)(ｘ。–ａ)+(ｙ–ｂ)(ｙ。–ｂ)=r2練習5.已知圓的方程是x2+y2=1，求（1）斜率等于1的切線的方程；（2）在y軸上截距是的切線的方程。所以切線方程為：y=x±2提示：設切線方程為y=x+b,由圓心到切線的距離等于半徑1，得：|b|12+(-1)2=1解得b=±22（2）在y軸上截距是的切線方程。y=±x+2例3、某施工隊要建一座圓拱橋，其跨度為20m，拱高為4m。求該圓拱橋所在的圓的方程。解：建立如圖所示的坐標系，設圓心坐標是（0，b）圓的半徑是r,則圓的方程是x2+(y-b)2=r2

。把P（0，4）B（10，0）代入圓的方程得方程組：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得：b=-10.5r2=14.52所以圓的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52A

（-10，0）B

（10，0）P

（0，4）yxO

析：(x-a)2+(y-b)2=r2

變一：施工隊認為跨度遠了，準備在中間每隔4m建一根柱子。試給他們計算中間兩根柱子的長度。yxA

B

P

O

E

F

G

H

C

D

R

T

x2+(y+10.5)2=14.52把點P2的橫坐標x=-2代入圓的方程，得

(-2)2+(y+10.5)2=14.52因為y>0,所以y=14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的長度約為3.86m。變一：施工隊認為跨度遠了，準備在中間每隔4m建一根柱子。試給他們計算中間兩根柱子的長度。yxA

B

P

O

E

F

G

H

C

D

R

T

變二：已知一條滿載貨物的集裝箱船，該船及貨物離水面的高度是2米，船寬4米，問該船能否通過該橋？若能，那么船在什么區域內可通過？若不能，說明理由。x2+(y+10.5)2=14.52小結：1、求圓的標準方程實質就是求a、b、r2、求圓的切線方程實質就是求直線的方程3、有關圓的實際應用問題關鍵就是抽象出數學模型(x-a)2+(y-b)2

=r2已知x2+y2=1,求x+y的最值。問題:解:由題可知-1≤