數學建模競賽承諾書我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式〔包括、電子郵件、網上咨詢等〕與隊外的任何人〔包括指導教師〕研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規那么的,如果引用別人的成果或其他公開的資料〔包括網上查到的資料〕，必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規那么，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規那么的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是〔從A/B中選擇一項填寫〕： 我們的隊號為：參賽隊員：1.2.3.指導教師或指導教師組負責人：數模組日期：2023年8月11日評閱編號〔由評閱老師評閱前進行編號〕：數學建模競賽編號專用頁評閱編號：評閱記錄：評閱人評分備注基于導彈發射問題的數學模型摘要本文主要討論了導彈發射問題，同時通過建立合理的數學模型確定導彈能夠成功擊毀敵機的條件。運用多種模型及計算機軟件模擬擊毀敵機的過程。針對問題一：我們用微分方程的知識建立了二維平面上的導彈追逐模型。利用在任何時刻導彈的飛行方向指向敵機的位置得出微分方程和初值條件，并經過嚴格的數學公式推導和合理的假設，求解出導彈追蹤敵機的軌跡方程。通過模型的求解，我們得出這樣的結論：發射該種導彈擊毀敵機的條件是：，即.針對問題二：由于導彈是來自地面所以用微分方程的知識建立了三維空間上的導彈追逐模型，并把該三維空間上的導彈追逐問題轉化為二維平面上的導彈追逐問題，運用問題1的解決方法求解得出II型地對空導彈追蹤敵機的軌跡方程針對問題三：我們建立了比例制導模型和RBF-BP神經網絡模型兩個模型，其中比例制導模型運用matlab軟件編程模擬導彈擊毀敵機的整個過程，運行程序后輸入N，M，高度H，敵機速度v等各個參數，程序會輸出導彈能擊毀敵機的最小速度，并且將這個過程表現在三維圖像中。RBF-BP神經網絡模型運用matlab軟件建立RBF神經網絡，通過多個曲線上的點，以及輸入導彈速度V與N逼近出整條曲線,從而確定最短的M。然后利用多個〔M,N〕與V的組合數據建立BP神經網絡，神經網絡通過自組學習得到〔M,N〕與V的關系。接著利用幾個檢驗數據進行精確度分析，得到分別，，，，，的單位速度誤差。最后只要輸入相應的M,N就能得到最小的擊毀敵機的速度。最后我們對上述模型分別進行分析評價，提出了一些可能的改良方向。關鍵字：matlab導彈發射微分方程模擬神經網絡比例制導一、問題重述1、某邊防導彈基地的雷達發現位于其正東N公里處有一家來犯敵機正欲逃往正北方向M公里處的平安區。該基地的I型空對空追蹤導彈和II型地對空追蹤導彈均可針對目標隨時自動調節追蹤方向，截擊敵機。但敵機一旦進入平安區后，由于電子干擾作用，I型、II型導彈均將失去追蹤目標，無法將敵機擊毀。假定雷達發現敵機時，該機正位于我防空指揮部正東N公里高空處，并欲在同一高度上向位于其正北方向M公里處的平安區逃竄。而在此時，基地即下令巡航飛機發射I型追蹤導彈擊毀敵機。在適當的假設下，確定導彈追蹤敵機的軌跡及發射I型空對空導彈擊毀敵機的條件。2、如此時在基地即發射II型地對空追蹤導彈去擊毀敵機，假定敵機始終距地面高度為h公里向正北方向飛行，其他假定同情況1中所述，在試確定導彈追蹤敵機的軌跡，并在適當的假定下，及發射該種導彈擊毀敵機的條件；3、假設導彈的速度可在發射前根據需要設定，導彈基地的位置和敵機的速度看做設定的常數，對于不同的N、M取值，編寫計算機程序，利用計算得到的數據說明怎樣的發射速度可確保擊毀敵機。二、模型的假設假設1：導彈與敵機的速率恒定。假設2：導彈飛行的軌跡切線方向始終指向敵機。假設3：導彈飛行的軌跡和敵機飛行的高度始終在同一平面內。假設4：相對幾百千米的路程導彈與敵機的長度可以忽略，均可看成物理質點。假設5：導彈在飛行過程中速度只存在方向上的變化，大小并沒發生變化。假設6：導彈中安裝有計算裝置，導彈可以向目標發射電磁波，再通過計算裝置實時計算導彈的位置。假設7：敵機始終在離地h處飛行，不存在豎直方向上的波動。三、符號說明敵機勻速向正北方向運動的速度導彈飛行的速度h敵機飛行的高度M敵機最初點與平安區的距離N敵機最初點與導彈的距離KQ導彈在xy平面上的分速度KO導彈在z方向的分速度學習周期動量系數第個樣本預測值與真實值間的誤差總誤差期望值BP神經網絡權值第個節點的輸入量的方差，第個節點的基函數中心，的分量，為具有徑向對稱的基函數，為網絡輸出矢量為網絡輸入矢量為隱含層輸出隱含層和輸出層之間的l×1階權值矩陣用來檢驗精確度的矩陣理想矩陣訓練函數輸出層的轉移函數BP神經網絡第1層的轉移韓式輸出矩陣目標向量輸入向量神經元的最大數目導彈調整方向的時間周期開始時刻導彈到敵機的距離開始時刻敵機到平安區的距離導彈的速度導彈在時刻處的橫坐標導彈在時刻處的縱坐標敵機在時刻處的縱坐標敵機的速度導彈在時刻處速度在橫坐標方向的分量樣本個數輸入樣本，選取中心之間的最大距離聚類集合，聚類中心，網絡輸出，輸入樣本，輸出樣本，導彈在時刻處速度在縱坐標方向的分量、正整數：神經元的等效誤差四、問題的分析與模型的建立問題一：模型A(微分方程模型)由于我方導彈發射點與敵機處于同一高度,故敵機的運行軌跡和導彈的運行軌跡是處于同一高度且在平行于地面的平面上,故可建立起平面直角坐標系.又由于導彈飛行方向始終指向敵機,即導彈飛行方向隨時間的改變而改變,故可建立起微分方程并求解.〔求解示意圖如圖-1〕圖-1分別記敵機與導彈最開始所在處為A、B，以A為原點，AB所在直線為x軸，敵機逃竄方向所在直線為y軸，建立平面直角坐標系。那么A點坐標為〔0，0〕，B點坐標為〔-N，0〕，平安區與y軸交點C〔0，M〕。其中設敵機以勻速向正北方向〔即y軸方向運動〕，導彈飛行的速度為且運動過程中速度大小不變。初始時刻：敵機位于原點〔0，0〕，導彈位于B(-N,0)點。即：在時刻t：導彈位于點P(x,y)，此時敵機在點C(0,)，CP與曲線〔軌跡〕相交于點P，于是有以下等式：………….(1)對上式化簡：………………..(2)兩端對x求導：………………..(3)由，，s為x的增函數，得：…..(4)將〔4〕式代入〔3〕式得：……….(5)問題二：模型B〔改良的微分方程模型〕外表上看,這是一個三維空間上的導彈追逐問題,但由于導彈的方向始終指向敵機，事實上我們可以把他簡化為一個二維平面上的導彈追逐問題,即在由導彈和敵機最開始所在點及導彈追上敵機時所在點所組成的平面上。點線面之間的關系如下列圖-2所示：圖-2如圖-2，B點〔-N，0〕是地面導彈發射基地，D點(0,0,h)是敵機開始飛行地，A點(0,0,0)是敵機垂直映射到地面的投影，h是敵機飛行的高度，C點(0,M,h)是敵機飛行線與平安區的交點。然后我們將該問題轉化為在平面BDC上的問題，運用模型A的方法就行求解。此時考慮在平面BDC上，以D點為原點，BD所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，建立與問題一種一樣的模型。初始時刻：敵機位于原點〔0，0〕，導彈位于點即建立的微分方程為：…………………..(5)余下情況和模型A相同。問題三：模型C〔比例制導模型〕運用制導理論中的比例制導法，在空間直角坐標系中，令導彈每一時刻都計算與目標的坐標差QUOTE，QUOTE，QUOTE，及距離r，這樣任意時刻的仰角為：導彈所在位置坐標與x軸夾角。令導彈下一時刻的坐標增量QUOTE，QUOTE，，KQ是導彈在xy平面上的分速度，KO是導彈在z方向的分速度，在制導過程中，導彈的速度矢量的轉動角速度與導彈和目標連線轉動角速度成比例。敵機的空間坐標隨時間變化規律為(0,QUOTE,H)。編制程序模擬導彈發射的過程，并計算出擊中的最小速度。程序見附表-1模型D〔RBF-BP神經網絡模型〕由模型A知:問題1的軌跡是一條曲線，表達式是常微分方程。為了簡化需要，在RBF-BP模型中，采用歐拉折線法，用代替，，如下列圖:圖-3建立直角坐標系，使敵機初始位置為(0,0),導彈初始位置為(-N,0),那么平安區為(0,M)。假設導彈每經過時間調整一次方向使指向敵機，且速度大小不變，為。那么導彈初始速度方向為正坐標軸，大小為。用表示導彈在時刻處的橫坐標，表示導彈在時刻處的縱坐標，表示敵機在時刻處的縱坐標。用表示敵機的速度，令為0.005單位速度。用表示導彈在時刻處速度在橫坐標方向的分量，用表示導彈在時刻處速度在縱坐標方向的分量。所以有:；；；；；；；；；如此通過迭代，可以解出在不同時刻上，導彈的位置。然后用MATLAB進行RBF網絡學習算法，逼近曲線，通過代入導彈橫坐標為0的條件，即可求出撞擊位置。求解程序附表-2.重復以上方法，通過不同與可以求出不同的，最后通過BP神經網絡對(M,N)與V的關系進行網絡訓練。最后只要輸入任意(M,N)組合就能得到相應的可確保擊毀敵機的V。求解程序附表-3.五、模型的求解與結果的分析問題一：模型A(微分方程模型)對于下式：…….(5)初始條件：……..(6)〔5〕式是不顯含未知函數y的二階方程.于是，令，那么，代入〔5〕，〔6〕式，得：……………(7)其中.別離變量得：………………(8)即：………………(9)直接積分得：……………(10)當x=0時，導彈擊中目標，此時…………(11)這是敵機飛行的距離，由此可得所用的時間：………………〔12〕由上述〔11〕式及求解過程可知，發射該種導彈擊毀敵機的條件是：，即.問題二：模型B〔改良的微分方程模型〕建立的微分方程如下：…….(5)……………(13)如同模型A的求解過程進行求解，可得：當x=0時，導彈擊中目標，此時…….(14)這是敵機飛行的距離，由此可得所用的時間：……(15)由上述〔14〕式及求解過程可知，發射該種導彈擊毀敵機的條件是：，即問題三：模型C〔比例制導模型〕該程序針對不同的N，M，敵機的高度h，敵機的速度v等的變化，有不同的輸出結果。程序運行時可以直接輸入這些參量的具體數據。敵機進入平安區之前被導彈擊中，程序最終會輸出導彈的最慢的發射速度，并會將導彈追擊敵機的過程畫出。如輸入N=50000，M=200000，h=18000，v=400，那么輸出：軌跡圖為：圖-4模型D〔RBF-BP神經網絡模型〕(I)RBF算法：1.標準的RBF網絡包括三層:輸入層,非線性隱含層和線性輸出層,其結構如圖-5所示:圖-5RBF網絡結構圖中,為網絡輸入矢量,為網絡輸出矢量,為隱含層和輸出層之間的l×1階權值矩陣,為隱含層輸出,的各個分量均定義為具有徑向對稱的基函數,通常取如下形式的高斯函數:其中,為第個節點的基函數中心,為第個節點的輸入量的方差。RBF網絡的輸出表達式為:，設有個輸入樣本及相應的個輸出樣本在輸入時RBF網絡的輸出記為。那么確定RBF網絡的結構和參數的目的是使得誤差函數:到達最小值。2.基函數中心，輸入量方差與隱含層和輸出層之間的權值得確定:(I)基于K-均值聚類方法求取基函數中心〔1〕網絡初始化。隨機選取個訓練樣本作為聚類中心。〔2〕將輸入的訓練樣本集合按最近鄰規那么分組。按照與中心之間的歐氏距離將分配到輸入樣本的各個聚類集合中。〔3〕重新調整聚類中心。計算各個聚類集合中訓練樣本的平均值，即新的聚類中心，如果新的聚類中心不再發生變化，那么所得到的即為RBF神經網絡最終的基函數中心，否那么返回〔2〕，進入下一輪的中心求解。(II)求解方差RBF神經網絡的基函數為高斯函數時，方差可由下式求解：式中為中所選取中心之間的最大距離。(III)計算隱含層與輸出層之間的權值隱含層至輸出層之間神經元的連接權值可以用最小二乘法直接計算得到，計算公式如下:3.RBF網絡學習算法在MATLAB中實現:(I)函數可以建立一個徑向基神經網絡，格式為:,為輸入向量，為目標向量，為圴方誤差，默認為0，為徑向基函數的分布密度，默認為1，為神經元的最大數目，為兩次顯示之間所添加的神經元數目。(II)函數可以求出徑向基神經網絡的輸出值，格式為:,為徑向基神經網絡，為輸出值(向量)，為輸入值(向量)。(II)BP算法：1.BP算法圖解：敵機到平安區距離敵機到平安區距離導彈最小的發射速度人工神經網絡導彈最小的發射速度人工神經網絡巡邏飛機與敵機距離巡邏飛機與敵機距離輸出項輸出項多個多個保存數據圖-62.改良BP算法原理改良的BP算法，應用帶動量的批處理梯度下降的思想，即每一個輸入樣本對網絡并不立即產生作用，而是等到全部輸入樣本到齊，將全部誤差求和累加，再集中修改權值一次，即根據總誤差修正權值，以提高收斂速度，在調整權值時參加動量項，降低網絡對于誤差曲面局部細節的敏感性，有效抑制網絡限于局部極小，此時，為動量系數，參加的動量項相當于阻尼項，以減少學習過程的振蕩趨勢，從而改善收斂性。下面為其算法：初始化權值和閾值；給定輸入和目標輸出；計算實際輸出：修正權值，比傳統的算法增加了動量項，加權調節公式為：假設為輸出節點，那么假設為隱節點，那么假設到達誤差精度或循環次數要求，那么輸出結果，否那么返回到〔2〕。用MATLAB神經網絡工具箱進行設計與分析求解:(1)網絡構建和初始化在MATLAB中改良的BP算法進行測試、仿真，第一步是建立網絡對象。函數建立一個可訓練的前饋網絡，這需要4個輸入參數；第1個參數是一個的矩陣以定義個輸入向量的最小值和最大值；第2個參數是一個表示每層神經元個數的數組；第3個參數是包含每層用到的轉移函數名稱的細胞數組；最后1個參數是用到的訓練函數的名稱。命令為：這個命令建立了網絡對象并且初始化了網絡權值和偏置，它的輸入是兩個原屬的向量，第1層有3個神經元，第2層有1個神經元。第1層的轉移韓式是，輸出層的轉移函數是。輸入向量的第1個元素的范圍是-1到2，輸入向量的第2個元素的范圍是0到5，訓練函數是。接下來就可以進行訓練了。〔2〕網絡訓練帶動量的批處理梯度下降法用訓練函數觸發。如果訓練次數超過，那么性能函數低于，梯度值低于，或者訓練時間超過訓練就會結束。六、模型的評價與改良問題一：模型A〔微分方程模型〕：優點：該模型能夠通過微分方程模型的建立，在現有的條件下，較為準確確實定發射該種導彈擊毀敵機的條件。缺點：該模型忽略了敵機和導彈飛行時速度的變化。問題二：模型B〔改良的微分方程模型〕：優點：該模型在原來模型A的根底上，通過三維向二維的轉變，簡化了問題的求解過程，大大減少了運算量。缺點：該模型在敵機與導彈的速度的考慮上不夠嚴密，存在較大的偶然性。問題三：模型C〔比例制導模型〕：優點：將導彈追擊敵機的整個過程用三維圖像畫出。本模型使用方便，要判斷導彈需要多大速度才能擊落敵機，只需運行程序，輸入N和M，速度v，高度H四個值即可，程序會輸出能擊中敵機的最小速度和三維模擬圖。考慮到了導彈和敵機接近時不看做質點。缺點：本模型沒有考慮導彈的速度大小和敵機速度會改變，與真是情況有一定偏差。模型D〔RBF-BP神經網絡模型〕：優點：能夠自主地不斷學習，不斷逼近真實的關系曲線。是從模糊到精確的一個模型。這能夠在一定程度上保證隨機的意外的可能，更符合實際。缺點：因為RBF模型在N數值較大時運算時間較長，以至于收集到的關于〔M,N〕與V的關系的數據范圍比擬狹窄，導致BP模型的精確范圍也比擬狹窄。模型的該進：導彈具有推進器，可以考慮速度大小按某個函數變化，導彈速度大小在一定時間內勻速增加。導彈在追擊過程中，始終對準敵機，改良方向可以是使導彈一直對準敵機前方一點點的地方，這樣在最后的時候可以增加打中的概率。七、參考文獻[2]吳義明，齊歡，地空導彈追蹤法的改良，華中科技大學系統工程研究所，湖北武漢430074[4]朱文興,龍艷萍,賈磊基于RBF神經網絡的交通流量預測算法山東大學學報(工學版)2007年8月第37卷第4期[5]王高雄,周之銘,常微分方程,北京:高等教育出版社，2006.[6]戴嘉尊,邱建賢,微分方程數值解法,南京:東南大學出版社,2003.[7]馬濤.數字化大學物理,杭州，浙江大學出版社,2006[8]2.5徑向基函數神經網絡模型與學習算法ppt[9]焦李成神經網絡模型的結構和算法的別離[J]北京理工大學學報，2001八、附錄附表-1clearallN=input('輸入N的值(單位米)N=');M=input('輸入M的值(單位米)M=');H=input('輸入高度H(單位米)H=');v=input('輸入敵機的速度〔米/秒)v=');x(1)=-N;y(1)=0;z(1)=0;%導彈初始位置r(1)=sqrt(N^2+H^2);theta(1)=0;phi(1)=H/r(1);u=sqrt((N/100)^2+(H/100)^2)fort=1:300tar(:,t)=[0;v*t;H];%敵機隨時間變化規律mis(:,t)=[x(t);y(t);z(t)];%導彈隨時間變化規律r(t)=sqrt((tar(1,t)-mis(1,t))^2+(tar(2,t)-mis(2,t))^2+(tar(3,t)-mis(3,t))^2);%導彈與目標距離phi(t)=asin((tar(3,t)-mis(3,t))/r(t));%仰角theta(t)=atan((tar(2,t)-mis(2,t))/(tar(1,t)-mis(1,t)));%與x軸夾角dx=N/100*cos(phi(t))*cos(theta(t));dy=N/100*cos(phi(t))*sin(theta(t));dz=H/100*sin(phi(t));x(t+1)=x(t)+dx;y(t+1)=y(t)+dy;z(t+1)=z(t)+dz;ifr(t)<3;break;endendifv*t<=M;fprintf('最慢速度:%f',u);figureplot3(tar(1,:),tar(2,:),tar(3,:),'*-',mis(1,:),mis(2,:),mis(3,:),'*-r');%畫導彈與飛行器軌跡legend('飛行器','導彈')title('導彈追擊飛行器軌跡')xlabel('x')ylabel('y')zlabel('z');axis([-Nmax(tar(1,:))0max(mis(2,:))0max(tar(3,:))]);gridonelsefprintf('無法擊落敵機');end附表-2RBF算法實現局部的程序:主程序:>>shenjing2.shenjing.m文件中的程序:clear;N=input('請輸入N！\n');V=input('請輸入速度！\n');Vf=0.005;X=[];Y=[];m=0;c=-N;d=0;Vx=V;Vy=0;X=[X,c];Y=[Y,0];forh=1:1000c=c+Vx;d=d+Vy;m=m+Vf;X=[X,c];Y=[Y,d];ifd>mbreak;endVx=-V*c/((m-d)^2+c^2);Vy=V*(m-d)/((m-d)^2+c^2);endnet=newrb(X,Y,0,0.5,h,h);%以為輸入向量，為目標向量建立一個徑向基神經網絡，該網絡要求的均方誤差為0，徑向基函數的分布密度為0.5，神經元的最大數目為，兩次顯示之間所添加的神經元數目為。其中為導彈橫坐標的l×N矩陣,為導彈縱坐標的l×N矩陣。t=sim(net,X);%求出對應的輸出矩陣。plot(X,t,'*-',X,Y,'r');%以‘*’形式畫出以為橫坐標，為縱坐標的曲線，以紅線形式畫出以為橫坐標，為縱坐標的曲線。M=sim(net,[0]);3.運行結果:請輸入N！1請輸入速度！圖形解說：帶星號的曲線是RBF網絡的輸出曲線，而紅色的曲線是理想曲線。M值為。4.不同(N,V)對應的M表格如下:VN1附表-3BP神經網絡局部的程序:主程序:>>BPBP.m文件中程序如下：clear;Y=0.006:0.001:0.012;Y=[Y,Y,Y,Y,Y