2023年普通高等學校招生全國統一考試（新高考全國n卷）

數學

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.在復平面內，（1+玉）（3—1）對應的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根據復數的乘法結合復數的幾何意義分析判斷.

【詳解】因為（l+3i）（3-i）=3+8i—驢=6+8,

則所求復數對應的點為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

2.設集合A={0,—〃},3={1,〃一2,2〃一2},若則。=（）.

2

A.2B.1C,-D.—1

3

【答案】B

【解析】

【分析】根據包含關系分a—2=0和2。一2=0兩種情況討論，運算求解即可.

【詳解】因為Au3,則有：

若。一2=0,解得〃=2,此時A={0,-2},5={1,0,2},不符合題意；

若2a—2=0,解得a=l,此時A={0,—l},B=符合題意；

綜上所述：a=l.

故選：B

3.某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高

中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有

（）.

A.C熱.C■種B.C2.C墨種

CC%c>種D.C%C品種

【答案】D

【解析】

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據分層抽樣的定義知初中部共抽取60x——=40人，高中部共抽取60x——=20,

600600

根據組合公式和分步計數原理則不同的抽樣結果共有C：QC晶和I.

故選：D.

2r-1

4.若/(x)=(x+a)ln^——j■為偶函數，則。=().

A.-1B.OC.1D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根據偶函數性質，利用特殊值法求出。值，再檢驗即可.

【詳解】因為/(x)為偶函數，則/(I)=/(-I)，(1+?)In1=(-1+?)In3,解得a=0,

當a=0時，/(x)=xln^--,(2x-l)(2x+l)>0,解得x>］或xc-^,

則其定義域為｛x|x〉g或關于原點對稱.

f(-x)=(-x)In^7—^--=2%+1=(--x)Inf———=xln2x-l=/(x),

八)、J2(-x)+lV)2x-\、)(2x+lJ2x+l')

故此時/(x)為偶函數.

故選：B.

2

5.已知橢圓C:與+V=1的左、右焦點分別為片，鳥，直線y=x+〃z與C交于A,B兩點,若△￡A3

面積是△gAB面積的2倍，則機=().

A.2B.在C一叵2

D.

3333

【答案】C

【解析】

【分析】首先聯立直線方程與橢圓方程，利用A>0,求出加范圍，再根據三角形面積比得到關于加的方

程，解出即可.

y=x+m

【詳解】將直線與橢圓聯立〈v2消去＞可得4f+6/nr+3/n2-3=0，

—+/-1

I3

因為直線與橢圓相交于AB點，則A=36加2—4x4(3m2-3)>0,解得一2〈根<2,

設FI到AB的距離4到AB距離d2,易知網一夜,0),居(夜,0),

則上駕乩=埠”

V2V2

|-A/2+m|

學”?=——=上咨㈤=2,解得加=一立或—3夜(舍去),

S|夜+川|夜+川37

^JT

6.已知函數〃x)=ae「lnx在區間(1,2)上單調遞增，則a的最小值為().

A.己B.eC.eMD.e-2

【答案】C

【解析】

【分析】根據r(x)=ae'—(20(1,2)上恒成立，再根據分參求最值即可求出.

【詳解】依題可知，/(力=加'一!20在(1,2)上恒成立，顯然a>0,所以xe-L

XCl

設g(x)=xe',xe(l,2),所以g'(x)=(x+l)e">0,所以g(x)在(1,2)上單調遞增,

g(x)>g(l)=e，故eN,，即aN』=eT,即a的最小值為e^.

ae

故選：C.

7.已知a為銳角，cosa=￥二叵，貝|sin3=().

42

、3—yfs口—1+>/53—A/S—1+A/5

--------D.-------Ru.-----Nu.---------

8844

【答案】D

【解析】

【分析】根據二倍角公式(或者半角公式)即可求出.

【詳解】因為cosa=l—2sin24=55,而。為銳角，

故選：D.

8.記S“為等比數列｛凡｝的前"項和，若§4=-5,S6=21S2,則58=().

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：根據等比數列的前〃項和公式求出公比，再根據S4,Sg的關系即可解出;

方法二：根據等比數列的前"項和的性質求解.

【詳解】方法一：設等比數列｛4｝的公比為夕，首項為田，

若4=1,則§6=6%=3x24=3打，與題意不符，所以qwl；

由其=-5,$6=2電可得，4。一力=—5,"力=211"1一”①,

\-q\-q\-q

由①可得，1+/+夕4=21,解得：d=4,

所以S8=^Zli=^l￡｝x(l+q4)=—5x(l+16)=—85.

故選：C.

方法二：設等比數列｛%｝的公比為9，

因為$4=-5,S6=21S2,所以q7-1,否則54=0,

從而，§2,S4-S2,§6-S4,§8-1成等比數列,

5

所以有，（―5—9=S2（21S2+5）,解得：52=-1或52=[,

當S?=—1時，52,S4—52,56—54,S8—S6,即為一1,—4,—16,Sg+21,

易知，S8+21=—64,即Sg=-85；

當§2=；時，S4=4+4+/+。4=（。1+。2）（1+/）=（1+/）52>0，

與§4=-5矛盾，舍去.

故選：C.

【點睛】本題主要考查等比數列的前〃項和公式的應用，以及整體思想的應用，解題關鍵是把握的關

系，從而減少相關量的求解，簡化運算.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,AB為底面直徑，NAPB=120°,24=2,點C在底面圓周上，

且二面角尸一4。一0為45。，則（）.

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側面積為46兀

C.AC=2叵D.△PAC的面積為G

【答案】AC

【解析】

【分析】根據圓錐的體積、側面積判斷A、B選項的正確性，利用二面角的知識判斷C、D選項的正確性.

【詳解】依題意，ZAPBPA=2,所以0P=l,0A=0B=6，

A選項，圓錐的體積為:x兀x（G『xi=兀，A選項正確；

B選項，圓錐的側面積為兀、6、2=26兀，B選項錯誤；

C選項，設。是AC的中點，連接O2PO,

則AC_LOD,AC_LPD,所以“。。是二面角P—AC—O的平面角，

則NPOO=45。，所以OP=OD=1,

故AD=CD=s[^=血,則AC=20，C選項正確；

D選項，p[）-712+12=72>所以Spw=gx2x/5xj5=2,D選項錯誤.

故選：AC.

p

10.設O為坐標原點，直線丁=—6(%—1)過拋物線€':：/=2〃%(〃>0)的焦點，且與(7交于“，"兩點,

/為C的準線，貝!!().

Q

A.p=2B.|M7V|=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.OMN為等腰三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】先求得焦點坐標，從而求得P,根據弦長公式求得1MN|,根據圓與等腰三角形的知識確定正確答

案.

【詳解】A選項：直線y=-G(x—l)過點(1,0),所以拋物線。：丁=2〃4〃>0)的焦點尸(1,()),

所以々=1,〃=2,2〃=4,則A選項正確，且拋物線C的方程為：/=4x.

B選項：設M(司，%),%(工2，%)，

由卜「一消去>并化簡得3d—10x+3=(x—3)(3x—1)=0,

y=4x

解得%=3,%=；，所以|削|=玉+%+"=3+；+2=與，B選項錯誤.

C選項：設MN的中點為A,M,N,A到直線/的距離分別為4，出"，

因為a=；(4+4)=g(|MR|+|NQ=；|MN|,

即A到直線/的距離等于MN的一半，所以以MN為直徑的圓與直線/相切，C選項正確.

D選項：直線y=—1),即Gx+y-0=0,

0到直線Gx+y-g=0的距離為d=—，

2

所以三角形。MN的面積為』x3x"=迪

所以三角形。MN不是等腰三角形，D選項錯誤.

11.若函數/(x)=alnx+0+J(aHO)既有極大值也有極小值，貝U().

XX

A.bc>0B.ab>0C.b1+8ac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出函數."X)的導數/'(x),由已知可得f(x)在(0,+8)上有兩個變號零點，轉化為一元二次方

程有兩個不等的正根判斷作答.

【詳解】函數/(x)=alnx+2+=的定義域為(0,+8),求導得r(x)=q—與一/=絲上華

XXXXXX

因為函數人幻既有極大值也有極小值，則函數/'⑶在(0,+8)上有兩個變號零點，而。。()，

因此方程以2—法—2c=0有兩個不等的正根看,工2，

△=/+Sac>0

于是<%1+x=—>0即有匕2+8。（:>0，ab>0,ac<0,顯然a20c<o，即。c<0,A錯誤，BCD

-2a

正確.

故選：BCD

12.在信道內傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立.發送0時，收到1的概率為a（0<a<D，收到0的概

率為1—a；發送1時，收到0的概率為，（。<尸<1）,收到1的概率為1-6.考慮兩種傳輸方案：單次傳

輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次.收到的信號需

要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即

為譯碼（例如，若依次收到1,0,I,則譯碼為1）.

A.采用單次傳輸方案，若依次發送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為-￡）2

B.采用三次傳輸方案，若發送1,則依次收到1,0,1的概率為夕（1-尸-

C.采用三次傳輸方案，若發送1,則譯碼為1的概率為尸（1-￡）2+（1-/）3

D.當O<a<0.5時，若發送0,則采用三次傳輸方案譯碼為。的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為。的概

率

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用相互獨立事件的概率公式計算判斷AB；利用相互獨立事件及互斥事件的概率計算判斷C；求

出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.

【詳解】對于A,依次發送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發送1接收1、發送。接收0、發送1

接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為（1—尸）（1一0）（1-4）=（1—。）（1一萬）2,A正確；

對于B,三次傳輸，發送1,相當于依次發送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件，

是發送1接收1、發送1接收0、發送I接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為（1-￡）?耳?（—/?）=以1一，尸，B正確；

對于C,三次傳輸，發送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件

和,

它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為C；旬(1一月)2+(1—萬)3=(1—02(1+20,c錯誤;

對于D,由選項C知，三次傳輸，發送0,則譯碼為0的概率P=(l—c)2(l+2a),

單次傳輸發送0,則譯碼為0的概率P'=l—而0<a<0.5,

因此P-P=(l-a)2(l+2a)-(l-a)=a(l-a)(l-2a)>0,即P>P，D正確.

故選：ABD

【點睛】關鍵點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，

相互獨立事件的積是解題的關鍵.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量a,［滿足,_陷=6,卜+〃卜忸一可,則忖=.

【答案】G

【解析】

【分析】法一：根據題意結合向量數量積的運算律運算求解；法二：換元令一力，結合數量積的運算

律運算求解.

【詳解】法一：因為卜+.=|2°-4即(a+b『=(2a叫］

則a+2a-b+b=4a-Aa-b+b,整理得a-2ab=01

又因為卜―N=G,即(a-/?)2=3,

-2a-b+b=b=3'所以卜卜5

Ii.rirrrrrrrr

法二：設c=「一方，則心|=>/3,0+人=0+2420-。=20+人，

由題意可得：(c+2b)=(2c+b),則;2+￡.方+$2=4+￡12,

整理得：^二力)即M卜百.

故答案為：出.

14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐，所

得棱臺的體積為.

【答案】28

【解析】

【分析】方法一：割補法，根據正四棱錐的幾何性質以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據臺體

的體積公式直接運算求解.

21

【詳解】方法一：由于±=上，而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為:x（4x4）x6=32,

截去的正四棱錐的體積為:x（2x2）x3=4,

所以棱臺的體積為32—4=28.

方法二：棱臺的體積為gx3x（16+4+j6x4）=28.

故答案為：28.

,8

15.已知直線/：x—my+l=O與oc：（x—1）-+丁=4交于A,B兩點，寫出滿足".A3C面積為y”的

的一個值______.

【答案】2（2,-2,L,_L中任意一個皆可以）

22

【解析】

【分析】根據直線與圓的位置關系，求出弦長恒邳，以及點C到直線A8的距離，結合面積公式即可解出.

【詳解】設點C到直線A8的距離為d，由弦長公式得（同=2"-/,

所以Sz^8c=Lxdx2j4-d2=§,解得：［=生叵或［=2叵，

2555

11+11224^522^51

由公1二/,,所以/_=空2或一^^二平,解得：加=±2或機=±

，1+"yjl+m-J1+M5yjl+m252

故答案為：2（2,-2,‘,一!中任意一個皆可以）.

22

1jr

16.已知函數/（x）=sin（3x+0）,如圖4,B是直線y=—與曲線y=/（x）的兩個交點，若恒用=一,

則/(兀)=

【解析】

【分析】設（龍2，g），依題可得，x2-x,=^,結合sinx=；的解可得，?（x2-x,）=y,

從而得到°的值，再根據/["I兀）=0以及/（。）＜（），即可得/（x）=sin[4x—[?i）,進而求得了（兀）.

【詳解】設由網=季可得吟

I兀5兀

由sinx=—可知，x——1~2匕1或1=--+2E,kwZ,由圖可知,

266

(OXz+(p_[cOX[+*)=*兀一聿=與‘即0(工2-玉)=笄，.-.69=4.

|兀.[8njLLN8兀,

因為一s叫§+°J=0'所以工-+9=Z兀,keZ.

sin[4x--7i+^j,

所以/(x)=sin4x——兀+攵兀

I3J

所以/（彳）=5m（4%—[無]或/（尤）=一5皿（4彳一|'兀），

又因為〃0）＜0，所以./1（》）=sin（4x—g，，.?./（7r）=sin4兀一：兀）=一等.

故答案為：-3.

2

【點睛】本題主要考查根據圖象求出0）以及函數/（力的表達式，從而解出，熟練掌握三角函數的有關性質,

以及特殊角的三角函數值是解題關鍵.

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

17.記一A8C的內角的對邊分別為已知二ABC的面積為也，。為BC中點，且A￡>=1.

兀

(1)若Z.ADC=—,求tanB；

3

（2）若+C'2=8，求〉c.

【答案】（1）—;

5

（2）b=c=2.

【解析】

【分析】（1）方法1,利用三角形面積公式求出“，再利用余弦定理求解作答；方法2,利用三角形面積公

式求出〃，作出3C邊上的高，利用直角三角形求解作答.

（2）方法1,利用余弦定理求出“，再利用三角形面積公式求出/ADC即可求解作答；方法2,利用向量

運算律建立關系求出a,再利用三角形面積公式求出ZADC即可求解作答.

【小問1詳解】

TT

方法1：在一A8C中，因為。為BC中點，ZADC=-,AD=l,

3

則SADr=—A。?DCsinZADC=—xlx—axa=—SABC=，解得a=4,

ADC2222822

2兀

在△的￡)中，NADB=7，由余弦定理得*=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB，

即，2=4+l—2x2xlx(—L)=7,解得C=V7,則cosB=^i^=區，

2277x214

sinB=Vl-cos2B=

所以tanB=包包=立.

cos85

7T

方法2：在JLBC中，因為。為8C中點，ZADC=-,4）=1，

3

則S=—AD-DCsinZ.ADC=—xlx—tzxa=—S=，解得Q=4,

ADC222282ARC2

在，ACD中，由余弦定理得〃=Cr)2+AD2—2CDA￡>cosN4)8，

即巨=4+1-2x2xlxg=3,解得6=6，有AC2+AT>2=4=C￡>2,則NCA￡>=方,

C=-,過A作AEJ_BC于E，于是CE=ACcosC=』，AE=ACsinC=立，BE==

6222

nAEV3

所rr以h|tanB=----二—

BE5

【小問2詳解】

C2=~1a2+l-2x1—67xlxCOS(7l-ZADC)

方法1：在△A8O與ACZ)中，由余弦定理得〈

11

b~9=—c廠9+l-2x—czxlxcosZADC

42

整理得g/+2=〃+c2,而62+/=8,則。=20,

又sA*=LxGxlxsinNAOC=且，解得sinZADC=1,而0<ZADC<7i，于是/4OC=百

ADC222

所以b=c=jAO2+Cr>2=2?

方法2：在,ABC中，因為。為中點，則2Ao=AB+AC，又C5=A5—AC，

于是《AP'+CB?=(AB+ACr+(AB—4。2=2(〃+，2)=16，即4+/=16,解得。=2百，

又SAM=’x#xlxsinNAOC=走，解得sinZADC=l,而0<ZADC<7r，于是44℃=百

ADC222

所以h=c=jAZ)2+CD2=2-

募數記S.f分別為數列同，出｝的前〃項和，…,

18.｛為｝為等差數列，b?=<

4=16.

(1)求｛4｝的通項公式;

(2)證明：當〃>5時，Tn>Sn.

［答案］(1)an=2n+3；

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）設等差數列｛見｝的公差為"，用％,”表示S,及T,，即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的結論求出S“，bn,再分奇偶結合分組求和法求出刀,，并與S“作差比較作答；方

法2,利用（1）的結論求出S“，bn,再分奇偶借助等差數列前〃項和公式求出T“，并與S“作差比較作答.

【小問1詳解】

,A[a-6,n=2k-l

設等差數列｛凡｝的公差為"，而/eN*,

則/?]=〃]_6,b2=2a2=2〃1+2d,b3=a3-6=a}+2d—6f

54=44+6d=32

于,解得q=5,d=2,=4+(〃-l)d=2〃+3,

￡=4q+4d—12=16

所以數列｛4｝的通項公式是=2/2+3.

【小問2詳解】

b2〃-3,〃=2攵-1

.,,,zx,c〃(5+2〃+3)24

萬法1：由(1)知，S=---------=H-+4H,kN*,

n2“4〃+6,〃=2女

當〃為偶數時，勿_]+2=2(〃-1)-3+4〃+6=6〃+1,

13+(6〃+1)〃327

-----------=—nH—n,

2222

當〃>5時，<―S“+(〃)—("+4〃)=；〃(〃-1)>0,因此7；>S.,

3735

22

當〃為奇數時，7；=7；I+)-^+1=-(H+l)+-(n+l)-[4(n+l)+6]=-n+-n-5,

351

22

當〃>5時，Tn-Sn=(-n+-n-5)-(n+4n)=-(n+2)(n-5)>0,因此]>S”,

所以當〃>5時，Tn>Sn.

-，、40“(5+2〃+3))2〃一3,〃=2%-1*

方法2：由(1)知，S=---------=n2-+4n,zb=\

2n4〃+6,〃=2k

當〃為偶數時,

—l+2(n—1)-3n14+4〃+6n37

T?=+/+…+么1)+(與+3+-+fe?)=-------------+----------=-2+-n,

22222n2

當〃>5時，JS”=(#+/)"+4〃)=/(1)>0,因此7；>S“,

當〃為奇數時，若〃之3,則

-l+2n-3n+\?14+45—1)+6n-i

=也+b3T----卜+(2+b4T----Fb_)=

nx22~2~2~

3535

^-n2+-n-5,顯然7；=乙=一1滿足上式，因此當〃為奇數時，T^-r+-n-5,

22n2f2

當〃>5時，7；,-5?=(|n2+jrt-5)-(n2+4n)=l(n+2)(n-5)>0,因此］>S”,

所以當〃>5時，T?>S?.

19.某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得

到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

軸率/組即

11.040...................

0.036...................

0.034....................

0.010....................................<1

0.002???,????????,???..............I?

<>^7075M859095100105

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值C,將該指標大于C的人判定為陽性，小于或等于C的人判

定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽

性的概率，記為鼠C).假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.

(1)當漏診率〃(c)=().5%時，求臨界值c和誤診率4(c)；

(2)設函數4c)=p(c)+q(c),當ce［95』()5］時，求/(c)的解析式，并求/(c)在區間［95,105］的最

小值.

【答案】⑴c=97.5,q(c)=3.5%；

-0.008c+0.82,95<c<100

⑵/(c)=<最小值為0.02.

0.01c-0.98,100<c<105

【解析】

【分析】(1)根據題意由第一個圖可先求出。，再根據第二個圖求出C297.5的矩形面積即可解出;

(2)根據題意確定分段點100,即可得出/(c)的解析式，再根據分段函數的最值求法即可解出.

【小問1詳解】

依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c-95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

q(c)=0.01x(97.5-95)+5x0.002=0.035=3.5%.

【小問2詳解】

當CG［95,100］時,

/(c)=p(c)+q(c)=(c-95)x0.002+(100—c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0.8220.02；

當ce(100,105］時，

f(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98>0,02,

-0.008c+0.82,95<c<100

故/(c)=4，

［0.01c-0.98,100<c<105

所以〃C)在區間［95,105］的最小值為0.02.

20.如圖，三棱錐A—BCD中，DA=DB=DC,BDA.CD,ZADB=ZADC=60，E為BC的^點.

(1)證明：BCLDA-.

（2）點尸滿足EE=D4，求二面角￡）一AB-尸的正弦值.

【答案】（1）證明見解析;

⑵￥

【解析】

【分析】（1）根據題意易證BC工平面AOE，從而證得

（2）由題可證AE_L平面BCD，所以以點E為原點，所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直

角坐標系，再求出平面ABRABb的一個法向量，根據二面角的向量公式以及同角三角函數關系即可解出.

【小問1詳解】

連接AE,￡>E,因為E為BC中點，DB=DC,所以DELBC①,

因為2M=O3=OC,ZADB=ZADC=60>所以_AC￡>與△ABO均為等邊三角形，

AC=AB,從而A￡_L3C②，由??,AEDE=E,AE,DEu平面ADE，

所以，8cl平面AOE，而ADu平面4)E，所以6CJ_0A.

【小問2詳解】

不妨設ZM=O8=DC=2,BDLCD,:.BC=2五,DE=AE=R

：,AE2+DE2=4=AD2>..AEA.DE，又AE±BC,DEBC=E,DE,BCu平面3。。j_

平面BCD.

以點E為原點，所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

設￡)(72,0,0),A(0,0,夜),8(0,72,0),￡(0,0,0),

設平面DAB與平面ABF的一個法向量分別為勺=(X,,y,Z]),丐=(%，必，Z2)，

二面角O—AB-b平面角為"而AB=(0,a,—0),

因為EF=ZM=(—&,0,&),所以F(—J5,O,J5),即有4尸=(—J5,0,01

[—\f2x,+\p2.z,0

■■■\廣廠，取玉=1,所以々=(1,1,1)；

[岳廣伍=0

[隼-0Z2=O,取為=[,所以%=(o,i,i),

所以，|cos3\=-n—7=r-^r~=—.從而sill夕=，八]=立.

'M同gx逝3V93

所以二面角A3—尸的正弦值為且.

3

21.已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為(-26,0),離心率為6.

（1）求C的方程;

（2）記C的左、右頂點分別為4，A2,過點（T,0）的直線與C的左支交于例，N兩點，仞在第二象限,

直線與N4交于點P?證明:點P在定直線上.

2

【答案】（1）—f-^v-=1

416

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）由題意求得。力的值即可確定雙曲線方程;

（2）設出直線方程，與雙曲線方程聯立，然后由點的坐標分別寫出直線與N4的方程，聯立直線方程,

x+21

消去V,結合韋達定理計算可得一=--，即交點的橫坐標為定值，據此可證得點P在定直線X=-1上.

x-23

【小問1詳解】

22_

設雙曲線方程為'—￡=1（。＞0力＞0）,由焦點坐標可知C=2右，

則由6=￡=石可得〃=2,_片=4，

a

22

雙曲線方程為三一匕=1.

416

【小問2詳解】

由⑴可得4（一2,（））,4（2,0）,設M（5,y）,N（w,必），

顯然直線的斜率不為0,所以設直線MN的方程為％=沖-4,且一,＜根＜，,

22

22

與?啖=1聯立可得（W-1）/-32my+48=0,且△=64（4/+3）＞0,

直線MA,的方程為y=-J(x+2),直線N&的方程為y=--2),

百+2/-2

聯立直線與直線NA2的方程可得:

x+2=%(%+2)=%(町-2)=叫％-2(M+%)+2乂

x—2兇(工2-2)y(沖2-6)m*%一6%

4832m-16m

m-—，?+2XE1+2X

4/一14/-1]_

48,48m/3

mx——-----by.—；----6y,

4m2-114m--1

x+2I

由----=—可得x=-l，HPxp--\,

x—23

據此可得點P在定直線x=-1上運動.

【點睛】關鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力,

其中根據設而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數的關系可以簡化運算，是解題的關鍵.

22.(1