第八講

一次方程組的解法和應用上海市新云臺中學周文華【知識框架】消元一元一次方程三元一次方程三元一次方程組一次方程二元一次方程二元一次方程組方程（組）的應用消元【知識梳理】1.二元一次方程和它的解:含有兩個未知數的一次方程叫做二元一次方程.使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值,叫做二元一次方程的解.二元一次方程的解有無數個.2.二元一次方程組和它的解:由幾個方程組成的一組方程叫做方程組.如果方程中含有兩個未知數,且含未知數的項的次數都是一次,那么這樣的方程組叫做二元一次方程組.在二元一次方程組中,使每個方程都適合的解,叫做二元一次方程組的解.同樣我們也可知道三元一次方程組和它的解的概念.3.一次方程組的解法:基本思路是消元：代入消元法和加減消元法.4.列方程組解應用題：一般審題后找出等量關系,根據需要設未知數,然后列出相應的方程解題.在解應用題的最后,要注意檢驗所求得的解是否符合題意.【典型例題】基礎題例1.（1）下列各式：是二元1.含兩個未知數2.未知數的項的次數是13.含未知數的等式二次三個未知數二次非方程正確答案：①和⑥一次方程的有

.

分母上有未知數例1.(2)下列各方程組中,哪些不是二元一次方程組,為什么？②③④⑤【典型例題】基礎題①如果方程組中含有兩個未知數,且含未知數的項的次數都是一次,那么這樣的方程組叫做二元一次方程組.②⑤不是二元一次方程組.

二次分母上有未知數【典型例題】基礎題例2．在學習的過程中,老師收集到一些學生的解題,請判斷下列解題方法是否正確:判斷是不是方程組的解.解:把代入方程①:左邊=左邊=右邊,所以是方程組的解.在二元一次方程組中,使每個方程都適合的解,叫做二元一次方程組的解.缺少對方程②的檢驗

代入方程②:左邊=3,左邊≠右邊,不是方程②的解.所以原判斷錯誤.

【典型例題】基礎題(2)

解方程組解：由①得：y=3x-5③把③代入①得:3x-(3x-5)=53x-3x+5=55=5

所以原方程組有無數個解把③代入②得:5x-2(3x-5)=5

解得:x=5把x=5代入③得,y=10所以原方程組的解是反思:在判斷辨析中要緊緊圍繞基本概念和基本方法的關鍵要素逐一辨析.例如:元,次數等.例2．在學習的過程中,老師收集到一些學生的解題,請判斷下列解題方法是否正確:循環代入錯誤【典型例題】基礎題例3.解方程組:

（3）

消元二元一次方程組一元一次方程消元三元一次方程組解一次方程組的基本思想方法

:代入消元法加減消元法解:(1)

由②得:③

把③代入①得:

解得:把代入③得:原方程組的解是代入消元法【典型例題】基礎題例3.解方程組:

方法二：加減消元法解:由②得:③由①+③得:把代入①可得所以原方程組的解是關鍵是消去一個未知數,轉化為一元一次方程.【典型例題】基礎題例3.解方程組:(2)

解:由①-②得:④把分別代入①和③可得:由③+④得:所以原方程組的解是.消元二元一次方程組一元一次方程消元三元一次方程組解一次方程組的基本思想方法

:方法二：解：①+②+③，得

④再由④分別減去①、②、③各式，得：所以原方程組的解是

整體消元法【典型例題】基礎題例3.解方程組:(3)

整理得:

二元一次方程組

方法二：參數法代入③，得.③代入②得所以原方程組的解是.反思:

1.解方程組的基本思想是消元.

2.根據系數特點,采用適當方法例如:整體消元法,參數法,換元法等.例3.解方程組:(1)

（2）（3）解一次方程組的基本思想方法

:消元二元一次方程組一元一次方程消元三元一次方程組【典型例題】基礎題甲的路程【典型例題】基礎題例4．甲乙兩人相距8km,兩人同時出發.若同向而行，甲4小時可追上乙;相向而行,1小時相遇.求甲乙兩人的速度各是多少?甲乙甲追上乙8km甲的路程同向：乙乙的路程乙的路程8km相向：甲【典型例題】基礎題解:設甲乙的速度分別為x千米/小時,y千米/小時,根據題意得解得答:甲乙兩人的平均速度分別是5千米/小時,3千米/小時.例4．甲乙兩人相距8km,兩人同時出發.若同向而行，甲4小時可追上乙;相向而行,1小時相遇.求甲乙兩人的速度各是多少?利用線段圖建立模型，確定其等量關系列方程，寫出方程組的解和答據.【典型例題】基礎題例5.已知關于x,y的方程組的解的和為11,求k的值.分析:用含k的式子表示出方程組的解x和y

因為所以

,

方法二：【典型例題】提高題例6.已知：關于x,y的方程組(Ⅰ)和（Ⅱ）有相同的解，求a,b的值.

解得.【典型例題】提高題例7.某玩具廠招聘工人，打出廣告稱:“本廠工人每天工作8小時,每月工作25天;熟練工人按計件付工資,多勞多得,按月結算;……”該廠生產三種玩具：小狗,小豬和小汽車.工人曉云一月份領工資900多元,某個時段她記錄了如下表的一些數據：小狗件數（個）小汽車件數（個）小豬件數(個)總時間（分鐘）總工資（元）112714.152331447.303211036.05根據表格中的數據求:(1)在這個時段內,曉云生產哪種玩具的單件工資最高;(2)在這個時段內,曉云生產每種玩具所需要的時間.解:設生產一個小狗的工資是x元，生產一輛小汽車的工資是y元，生產一個小豬的工資是z元xyz單件工資╳件數生產小狗的工資生產小汽車的工資生產小豬的工資答：在這個時段內,曉云生產小汽車獲得的單件的工資最高.【典型例題】提高題例7.某玩具工廠廣告稱:“本廠工人每天工作8小時,每月工作25天;熟練工人按計件付工資,多勞多得,按月結算;……”該廠生產三種玩具：小狗,小豬和小汽車.工人曉云一月份領工資900多元,某個時段她記錄了如下表的一些數據：小狗件數（個）小汽車件數（個）小豬件數(個)總時間（分鐘）總工資（元）112714.152331447.303211036.05根據表格中的數據求:(1)在這個時段內,曉云生產哪種玩具單件的收益最高;(2)在這個時段內,曉云生產每種玩具所用去的時間.t1t2t3單件時間╳件數解:設生產一個小狗用時間t1分鐘，生產一輛小汽車用時間t2分鐘，生產一個小豬用時間t3分鐘，【典型例題】拓展題例8.

某電視臺在黃金時段的2分鐘廣告的時間內,計劃插播長度為15秒和30秒的兩種廣告,15秒的廣告每播1次收費0.6萬元,30秒的廣告每播1次收費1萬元.問（1）這兩種廣告的播放次數有幾種安排方式?（2）電視臺選擇哪種方式播放收益較大?15秒×次數+30秒×次數=120秒

解:設15秒的廣告播x次,30秒的廣告播y次,則15秒廣告的時間30秒廣告的時間15秒╳次數30秒╳次數收益=0.6x+y

非負整數解：收益分別為：4.8萬元，4.6萬元，4.4萬元，4.2萬元，4萬元15秒廣告播放8次時，收益最大費用：起步價10元10+超過里程╳單價

歸納：【典型例題】拓展題例9.某城市一種出租車,起步價是10元,三位乘客分別乘這種出租車走了2公里,9公里和14公里,車費分別為10元,19.6元和27.6元,一路順利,沒有停車等候.你能算出這種出租車起步價所允許行駛的最遠路程嗎?超過這個路程但行駛不到15公里時,超過部分每公里車費是多少元?（本題不考慮用計程器計費的某些特殊規定）行駛里程里程：起步里程出租車起步價所允許行駛的最遠路程簡稱為起步里程設出租車起步里程是x公里,超過部分每公里車費是y元整理得【課堂小結】1.方程(組)的解以及一次方程組的解法;2.列方程組解決實際問題.消元二元一次方程組一元一次方程消元三元一次方程組【課后作業】1.解方程組:

2.甲乙兩廠,計劃在上個月生產機床360臺,結果甲廠超額完成計劃的12%，乙廠超額完成計劃的10%，兩廠共生產機床400臺。上個月兩廠各超額生產機床多少臺？3.

運往災區的兩批貨物，第一批共480噸，用8節火車車廂和