1/12022北京一零一中學初一（下）期中數學一、選擇題（本題共30分，每小題3分）第1—10題均有四個選項，符合題意的只有一個.1.4的算術平方根是（）A.16 B.±2 C.2 D.2.在平面直角坐標系中，點M(3，2)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在實數，，3.1415，中，無理數是（）A. B. C.3.1415 D.4.下面的四個圖形中，∠1與∠2是對頂角的是（）A. B.C. D.5.在平面直角坐標系中，點B（2，3）到x軸的距離為（）A.3 B.2 C.-3 D.-26.在如圖所示的平面直角坐標系內，畫在透明膠片上的平行四邊形ABCD，點A的坐標是，現將這張膠片平移，使點A落在點處，則此平移可以是（）A.向右平移3個單位，再向下平移1個單位B.向右平移3個單位，再向下平移3個單位C.向左平移3個單位，再向下平移1個單位D.向左平移3個單位，再向下平移3個單位7.估算的值在（）A.6和7之間 B.5和6之間 C.4和5之間 D.3和4之間8.已知命題：①如果，那么；②如果，那么；③等角的余角相等；④兩個相等的角是對頂角．其中真命題有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個9.如圖，，，，，…按此規律，點的坐標為（）A. B.C. D.10.在數軸上有三個互不重合的點A，B，C，它們代表的實數分別為a，b，c，下列結論中①若abc0，則A，B，C三點中，至少有一個點在原點右側；②若a+b+c＝0，則A，B，C三點中，至少有一個點原點右側；③若a+c＝2b，則點B為線段AC的中點；④O為坐標原點且A，B，C均不與O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，則bc0，所有正確結論的序號是（）A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④二、填空題（本題共15分，11—16每小題2分，17題3分）11.相反數是__________，絕對值是_________.12.已知，則______，______．13.比大?。篲_____0.5．（填“＞”、“＝”、“＜”）14.把命題“內錯角相等，兩直線平行”改寫成“如果，那么”的形式：如果______，那么______．15.如圖，已知線段上有兩點C，D，且，E，F分刟為，的中點，，則______．16.小明將一張正方形紙片按如圖所示順序折疊成紙飛機，當機翼展開在同一平面時(機翼間無縫隙)，的度數是________.17.已知整點（橫縱坐標都是整數）P在平面直角坐標系內做“跳馬運動”（即中國象棋“日”字型跳躍）．例如：如圖，從點A做一次“跳馬運動”，可以到點B，但是到達不了點C．設做一次跳馬運動到點，做第二次跳馬運動到點，做第三次跳馬運動到點，…，如此依次進行．（1）若，則可能是下列的點______．；；（2）已知點，，則點的所有可能坐標為______．三、解答題（本題共55分，第18，19每小題各6分，20，21，22，23，26每小題4分，第24，25題，每小題5分，第27題6分，28題7分）18.計算：（1）（2）19.求出下列等式中x的值：（1）（2）．20.下圖是一零一校園內一些地點的分布示意圖，在圖中，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系．當表示禮堂的點的坐標為，表示第三教學樓的點的坐標為時，圖中畫出平面直角坐標系，并寫出田徑場、圖書館和第一教學樓的坐標．

21.如圖，在方格紙中有一條線段和一格點，僅用直尺完成下列問題：（1）過點畫直線；（2）在方格紙中，有不同于點的格點，使的面積等于的面積，格點共有_______個；（3）在線段上找一點，使得距離和最小．22.若實數的一個平方根是-5，的立方根是-2，求的值．23.完成下面的證明過程：已知：如圖，，，，求證：證明：∵，（已知）∴∴（）又∵（已知）”．___（內錯角相等，兩直線平行）∴（）∴（）24.如圖，AB和CD交于點O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于點O，∠AOC＝40°，求∠EOF的度數．25.如圖①，已知直線，且和，分別相交于A，B兩點，和，分別相交于C，D兩點，記，，，點P在線段AB上．（1）用等式表示，，之間的等量關系，并證明；（2）如果點P在直線上且在A，B兩點外側運動時，其他條件不變，試探究，，之間的等量關系（點P和A，B兩點不重合），直接寫出結論，26.材料1：兩數和的完全平方公式：兩個數的和的平方，等于它們的平方和，加上它們的積的2倍，即，比如．材料2：學習了無理數后，某數學興趣小組開展了一次探究活動：估算的近似值．小明的方法：∵，設，∴，∴，∴，解得，∴（1）請你結合材料1和材料2，估算的值（寫過程，結果保留兩位小數）．（2）請結合上述具體實例，概括出估算的公式：已知非負整數a，b，m，若，___．（用含a，b的代數式表示），27.我們學習過角的定義，有公共頂點的兩條射線組成的圖形叫做角．如圖所示，我們把區域I（不包括射線OA和射線）叫做角的內部．對于一個角（且），定義它的“內補角”滿足以下兩個條件：①大小是；②與這個角有一條公共邊且與這個角內部有公共部分．定義它的“內余角”滿足以下兩個條件：①大小是：②與這個角有一條公共邊且與這個角的內部有公共部分．（1）如圖①，已知，利用直尺和量角器，通過計算和測量，作出的所有的內補角；（2）設，射線OM平分的內補角，射線ON平分的內余角，①當時，如圖②，計算的大小為______；（直接寫答案）②當時，大小為______，（用含的代數式表示，直接寫答案）28.在平面直角坐標系中，對于給定的兩點P，Q，若存在點M，使得（△表示三角形）面積等于1（即），則稱點M為線段PQ的“單位面積點”．解答下列問題：如圖，在平面直角坐標系xOy中，點P的坐標為．（1）在點，，中，線段OP“單位面積點”是______；（2）已知點，，將線段OP沿y軸方向向上平移個單位長度，使得線段DE上存在線段OP“單位面積點”，求t的取值范圍；（3）已知點，點M在第一象限且M的縱坐標是3，點M，N是線段PF的兩個“單位面積點”，若，且，直接寫出點N的坐標．

參考答案一、選擇題（本題共30分，每小題3分）第1—10題均有四個選項，符合題意的只有一個.1.4的算術平方根是（）A.16 B.±2 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根據算術平方根的定義解答即可.【詳解】∵2的平方為4，∴4的算術平方根為2.故選C．【點睛】本題考查了平方根的意義，如果個一個數x的平方等于a，即x2=a,那么這個數x叫做a的平方根，正數a的平方根記作.正數a有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根.2.在平面直角坐標系中，點M(3，2)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據平面直角坐標系中，點的坐標與點所在的象限的關系，即可得到答案.【詳解】∵3>0，2>0，∴點M(3，2)在第一象限，故選A.【點睛】本題主要考查點的坐標與點所在象限的關系，掌握點的坐標的正負性與所在象限的關系，是解題的關鍵.3.在實數，，3.1415，中，無理數是（）A. B. C.3.1415 D.【答案】A【解析】【分析】根據無理數的定義：無限不循環小數叫無理數，結合算術平方根的性質分析，即可得到答案．【詳解】解：A．是無理數，故選項A符合題意；B．，是整數，屬于有理數，故選項B不合題意；C．3.1415是有限小數，屬于有理數，故選項C不合題意；D．是分數，屬于有理數，故選項D不合題意；故選：A．【點睛】本題考查了實數、算數平方根的知識；解題的關鍵是熟練掌握無理數的定義和算數平方根的性質，從而完成求解．4.下面的四個圖形中，∠1與∠2是對頂角的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據定義判斷即可：有一個公共頂點，且一個角的兩條邊分別是另一個角的兩條邊的反向延長線，那么這兩個角就叫做對頂角．【詳解】解：根據對頂角的定義可知：只有C選項中的∠1與∠2是對頂角，其它都不是；故選：C．【點睛】本題考查了對頂角的定義；掌握定義是解題關鍵．5.在平面直角坐標系中，點B（2，3）到x軸的距離為（）A.3 B.2 C.-3 D.-2【答案】A【解析】【分析】根據點的縱坐標的絕對值是點到x軸的距離即可得答案．【詳解】解：在平面直角坐標系中，點（2，3）到x軸的距離為3．故選：A．【點睛】本題考查了點的坐標，熟練掌握點的縱坐標的絕對值是點到x軸的距離是解題的關鍵．6.在如圖所示的平面直角坐標系內，畫在透明膠片上的平行四邊形ABCD，點A的坐標是，現將這張膠片平移，使點A落在點處，則此平移可以是（）A.向右平移3個單位，再向下平移1個單位B.向右平移3個單位，再向下平移3個單位C.向左平移3個單位，再向下平移1個單位D.向左平移3個單位，再向下平移3個單位【答案】B【解析】【分析】根據坐標的平移變化的規律，左右平移只改變點的橫坐標，左減右加．上下平移只改變點的縱坐標，下減上加，即可得出結果．【詳解】解：∵A的坐標是（0，2），A′（3，﹣1），∴A的橫坐標加3，縱坐標減3得到點A′，故先向右平移3個單位，再向下平移3個單位．故選：B．【點睛】題目主要考查坐標的平移變化的規律，掌握此規律是解題關鍵．7.估算的值在（）A.6和7之間 B.5和6之間 C.4和5之間 D.3和4之間【答案】D【解析】【分析】根據，可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴的值在3和4之間．故選：D【點睛】本題主要考查了無理數的估算，根據題意得到是解題的關鍵．8.已知命題：①如果，那么；②如果，那么；③等角的余角相等；④兩個相等的角是對頂角．其中真命題有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】A【解析】【分析】根據絕對值的性質，平方根的性質，余角的性質，對頂角的性質，逐項判斷即可求解．【詳解】解：①如果，那么，故①是假命題；②如果，那么，故②是假命題；③等角的余角相等，故③是真命題；④兩個相等的角不一定是對頂角，例如兩個30°角相等，故④是假命題．∴真命題有③，共1個．故選：A【點睛】本題主要考查了絕對值的性質，平方根的性質，余角的性質，對頂角的性質，真假命題的判定，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．9.如圖，，，，，…按此規律，點的坐標為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】經觀察分析所有點，除A1外，其它所有點按一定的規律分布在四個象限，且每個象限的點滿足：角標÷4=循環次數+余數，余數0，1，2，3確定相應的象限，由此確定點A2022在第一象限；第一象限的點A2（1，1），A6（2，2），A10（3，3）…觀察易得到點的坐標=．【詳解】解：由題可知第一象限的點：A2，A6，A10…角標除以4余數為2；第二象限的點：A3，A7，A11…角標除以4余數為3；第三象限的點：A4，A8，A12…角標除以4余數為0；第四象限的點：A5，A9，A13…角標除以4余數為1；由上規律可知：2022÷4=505…2∴點A2022在第一象限．觀察圖形，可知：點A2的坐標為（1，1），點A6的坐標為（2，2），點A10的坐標為（3，3），…，∴第一象限點的橫縱坐標數字隱含規律：點的坐標=（n為角標）∴點A4n-2的坐標為（，）（n為正整數），∴點A2022的坐標為（506，506）．故選C．【點睛】本題考查了點的坐標正方形為單位格點變化規律，反應出點的坐標變化從特殊到一般再到特殊規律計算方法，同時也體現出第一象限點的橫縱坐標數字隱含規律：點的坐標=（n為角標）求解．10.在數軸上有三個互不重合的點A，B，C，它們代表的實數分別為a，b，c，下列結論中①若abc0，則A，B，C三點中，至少有一個點在原點右側；②若a+b+c＝0，則A，B，C三點中，至少有一個點在原點右側；③若a+c＝2b，則點B為線段AC的中點；④O為坐標原點且A，B，C均不與O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，則bc0，所有正確結論的序號是（）A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④【答案】D【解析】【分析】①根據乘法法則判定a，b，c至少有一個大于0，據此可解；②根據加法法則判定a，b，c至少有一個大于0，據此可解；③根據兩點距離公式可判斷；④分情況討論：B、C都在點O的右側；B、C都在點O的左側；B、C在點O的兩側且點A在點C的右側；B、C在點O的兩側且點A在O、C之間（不與O重合）；B、C在點O的兩側且點A在O、B之間（不與O重合）；B、C在點O的兩側且點A在B右側時；逐一畫出圖形進行判斷，據此可解．【詳解】解：①若abc0，則a，b，c不可能都小于0，至少有一個大于0，所以A，B，C三點中，至少有一個點在原點右側，故①正確；②若a+b+c＝0，因為a，b，c不能都為0，則a，b，c中至少有一個大于0，所以A，B，C三點中，至少有一個點在原點右側，故②正確；③若a+c＝2b，則a-b＝b-c，點B為線段AC的中點，故③正確；④如圖1,B、C都在點O的右側,∵OB﹣OC＝BC，AB﹣AC=BC，∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此時bc0，如圖2,B、C都在點O的左側,∵OB﹣OC＝BC，AB﹣AC=BC，∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此時bc0，如圖3,B、C在點O的兩側時，若點A在點C的右側，顯然OB﹣OC≠AB﹣AC，如圖4,B、C在點O的兩側時，若點A在O、C之間（不與O重合），顯然OB﹣OC≠AB﹣AC，如圖5,B、C在點O的兩側時，若點A在O、B之間（不與O重合），顯然OB﹣OC≠AB﹣AC，如圖6,B、C在點O的兩側時，若點A在B右側時，顯然OB﹣OC≠AB﹣AC，綜上所述，若OB﹣OC＝AB﹣AC，則B、C在點O的同一側，所以b和c同號，即bc0，故④正確；故選：D．【點睛】本題考查了數軸的有關知識及實數的運算法則，掌握運算法則及數形結合思想是解題關鍵．二、填空題（本題共15分，11—16每小題2分，17題3分）11.的相反數是__________，絕對值是_________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據相反數及絕對值的概念即可解答．【詳解】解：根據相反數及絕對值的概念可知，的相反數是；絕對值是.【點睛】此題考查了相反數：只有符號不同的兩個數互為相反數；絕對值：一個數在數軸上所對應點到原點的距離.熟練掌握相反數、絕對值的性質及其定義是解題的關鍵．12.已知，則______，______．【答案】①.1②.0【解析】【分析】根據平方和算術平方根的非負性求解即可．【詳解】∵∴∴故答案為：1，0．【點睛】本題考查平方和算術平方根的非負性，注意幾個非負數的和為0時每一個都是0是解題的關鍵．13.比大?。篲_____0.5．（填“＞”、“＝”、“＜”）【答案】【解析】【分析】由，得，故，那么可得與0.5的大小關系．【詳解】解：，，即，，即，，故答案為：．【點睛】本題主要考查算術平方根的性質以及不等式的性質，熟練掌握算術平方根的性質以及不等式的性質是解題的關鍵．14.把命題“內錯角相等，兩直線平行”改寫成“如果，那么”的形式：如果______，那么______．【答案】①.兩條直線被第三條直線所截，截得的內錯角相等；②.這兩條直線平行【解析】【分析】命題中的條件是兩條直線被第三條直線所截的內錯角相等，放在“如果”的后面，結論是兩直線平行，應放在“那么”的后面．【詳解】解：題設為：內錯角相等，結論為：兩直線平行，故寫成“如果…那么…”的形式是：如果兩條直線被第三條直線所截，截得的內錯角相等，那么這兩條直線平行故答案為：兩條直線被第三條直線所截，截得的內錯角相等；這兩條直線平行．【點睛】本題考查了命題與定理的知識，將原命題寫成條件與結論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結論，解決本題的關鍵是找到相應的條件和結論，比較簡單．15.如圖，已知線段上有兩點C，D，且，E，F分刟為，的中點，，則______．【答案】3.6【解析】【分析】首先設AC=2xcm，則線段CD=3xcm，DB=4xcm，然后根據E、F分別是線段AC、DB的中點，分別用x表示出EC、DF，根據EF=2.4cm，求出x的值，即可求出線段AB的長是多少．【詳解】設AC=2x，則線段CD=3x，DB=4x，

∵E、F分別是線段AC、DB的中點，

∴EC=AC=x，DF=DB=2x，

∵EF=EC+CD+DF=x+3x+2x=2.4，

∴x=0.4，

∴AB=9x=9×0.4=3.6（cm），

故答案為：3.6．【點睛】此題主要考查了兩點間的距離的求法，以及線段的中點的特征和應用，要熟練掌握．16.小明將一張正方形紙片按如圖所示順序折疊成紙飛機，當機翼展開在同一平面時(機翼間無縫隙)，的度數是________.【答案】45°【解析】【分析】根據折疊過程可知，在折疊過程中角一直是軸對稱的折疊.【詳解】在折疊過程中角一直是軸對稱折疊，故答案為45°【點睛】考核知識點：軸對稱.理解折疊的本質是關鍵.17.已知整點（橫縱坐標都是整數）P在平面直角坐標系內做“跳馬運動”（即中國象棋“日”字型跳躍）．例如：如圖，從點A做一次“跳馬運動”，可以到點B，但是到達不了點C．設做一次跳馬運動到點，做第二次跳馬運動到點，做第三次跳馬運動到點，…，如此依次進行．（1）若，則可能是下列的點______．；；（2）已知點，，則點的所有可能坐標為______．【答案】①.F②.（3，4）或（2，1）【解析】【分析】（1）由題意可知，跳馬運動一次，有2種情況：第一種情況為橫坐標變化2個單位，縱坐標變化1個單位；第一種情況為橫坐標變化1個單位，縱坐標變化2個單位；根據規律求解即可；（2）點（4，2）到點（1，3）經過兩次運動，則有2種情況：①橫坐標變化2個單位，縱坐標變化1個單位；②橫坐標變化1個單位，縱坐標變化2個單位；分類討論即可得出結果．【詳解】解：由題意可知，跳馬運動一次，有2種情況：第一種情況橫坐標變化2個單位，縱坐標變化1個單位；第一種情況為橫坐標變化1個單位，縱坐標變化2個單位；

如圖所示為點P1所有可能的點，∴可能的點為F（0，2），（2）由題意可知，點（4，2）到點（1，3）經過兩次運動，則有2種情況：①橫坐標變化2個單位，縱坐標變化1個單位；②橫坐標變化1個單位，縱坐標變化2個單位；

∴可能的點為：（3，4）或（2，1）故答案為：①F；②（3，4）或（2，1）．【點睛】題目主要考查點的坐標規律，找準點的坐標變化規律是解題關鍵．三、解答題（本題共55分，第18，19每小題各6分，20，21，22，23，26每小題4分，第24，25題，每小題5分，第27題6分，28題7分）18.計算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據算術平方根和立方根化簡后計算即可；（2）去括號和絕對值后計算即可；【小問1詳解】原式=【小問2詳解】原式=【點睛】本題考查實數的加減運算，先化簡和去括號是解題的關鍵.19.求出下列等式中x的值：（1）（2）．【答案】（1）（2）x=2【解析】【分析】（1）利用平方根求方程的解即可得；（2）利用立方根解方程即可得．【小問1詳解】解：，，；【小問2詳解】解：，x=2．【點睛】題目主要考查平方根與立方根的性質，一元一次方程的解法，熟練掌握平方根及立方根的性質是解題關鍵．20.下圖是一零一校園內一些地點的分布示意圖，在圖中，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系．當表示禮堂的點的坐標為，表示第三教學樓的點的坐標為時，圖中畫出平面直角坐標系，并寫出田徑場、圖書館和第一教學樓的坐標．

【答案】坐標系見解析；田徑場的坐標為（1，5），圖書館的坐標為（-1，3），第一教學樓的坐標為（-3，-2）．【解析】【分析】根據題意建立直角坐標系，然后讀出坐標即可．【詳解】解：根據題意建立直角坐標系如下：

則田徑場的坐標為（1，5），圖書館的坐標為（-1，3），第一教學樓的坐標為（-3，-2）．【點睛】題目主要考查直角坐標系的應用，理解題意建立合適的直角坐標系是解題關鍵．21.如圖，在方格紙中有一條線段和一格點，僅用直尺完成下列問題：（1）過點畫直線；（2）在方格紙中，有不同于點的格點，使的面積等于的面積，格點共有_______個；（3）在線段上找一點，使得距離和最小．【答案】（1）作圖見解析（2）5（3）作圖見解析【解析】【分析】（1）如圖，點P向下平移3格，再向右平移3格到點C，作直線PC即為所求；（2）使△ABM的面積等于△ABP的面積的不同于點P的格點M，Ｍ在與直線AB平行且過點P的直線與方格的交點上，查點個數即可；（3）由題意知，最小時，PN為AB的垂線，N為垂足，過點P向下平移3格，再向左平移3格到點D，連接PD與AB交點即為N；【小問1詳解】解：如圖，點P向下平移3格，再向右平移3格到點C，作直線PC即為所求．【小問2詳解】解：如圖∵∴在PC線上的點到直線AB的距離都相等∵不同于點P的格點M，使△ABM的面積等于△ABP的面積∴M點為PC與方格的交點中除去P點的5個故答案為：5．【小問3詳解】解：如圖∵，為定值∴PN最小時最小，即PN為AB的垂線，N為垂足∴過點P向下平移3格，再向左平移3格到點D，連接PD與AB交點即為N．【點睛】本題考查了平行線，平行的性質，垂線，平移等．解題的關鍵在于熟練掌握平行與垂直的位置關系．22.若實數的一個平方根是-5，的立方根是-2，求的值．【答案】6【解析】【分析】先根據平方根的定義得到a+9=25，解得a=16，再利用立方根的定義得到2b-a=-8，則可求出b=4，接著計算求解即可．【詳解】解：∵的一個平方根為，∴，，又∵立方根為，∴，∴，∴，，∴．【點睛】本題考查了立方根及平方根，算術平方根，解一元一次方程，熟練掌握各個定義及計算方法是解題關鍵．23.完成下面的證明過程：已知：如圖，，，，求證：證明：∵，（已知）∴∴（）又∵（已知）”．___（內錯角相等，兩直線平行）∴（）∴（）【答案】同旁內角互補，兩直線平行；AD；平行于同一條直線的兩直線平行；兩直線平行，同位角相等【解析】【分析】求出∠D+∠EFD=180°，根據平行線的判定得出AD∥EF和AD∥BC，即可得出EF∥BC，根據平行線的性質得出即可．【詳解】∵∠D=120°，∠EFD=60°（已知），∴∠D+∠EFD=180°，∴AD∥EF（同旁內角互補，兩直線平行），又∵∠1=∠2（已知），∴AD∥BC（內錯角相等，兩直線平行），∴EF∥BC（平行于同一條直線的兩直線平行），∴∠3=∠B（兩直線平行，同位角相等）．故答案為：同旁內角互補，兩直線平行；AD；平行于同一條直線的兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．【點睛】本題考查了平行線的性質和判定的應用，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵．24.如圖，AB和CD交于點O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于點O，∠AOC＝40°，求∠EOF的度數．【答案】∠EOF＝130°.【解析】【詳解】∵AB、CD相交于點O，∴∠BOD=∠AOC=40°．∵OD平分∠BOF，∴∠DOF=∠BOD=40°，∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，∴∠EOF=∠EOD+∠DOF=130°．25.如圖①，已知直線，且和，分別相交于A，B兩點，和，分別相交于C，D兩點，記，，，點P在線段AB上．（1）用等式表示，，之間的等量關系，并證明；（2）如果點P在直線上且在A，B兩點外側運動時，其他條件不變，試探究，，之間的等量關系（點P和A，B兩點不重合），直接寫出結論，【答案】（1）∠1+∠2=∠3；（2）當P點在A的外側時，∠3=∠2-∠1；當P點在B的外側時，∠3=∠1-∠2；當P點在A的外側如圖4所示時，∠1=∠2+∠3．【解析】【分析】（1）根據l1∥l2，可得∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，再根據在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，即可得到∠1+∠2=∠3；

（2）分三種情況進行討論：P點在A的外側時，有兩種情況，如圖2，圖4；P點在B的外側，如圖3，分別根據平行線的性質進行求解即可．【小問1詳解】∠1+∠2=∠3，理由：∵l1∥l2，∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，∴∠1+∠2=∠3；【小問2詳解】當P點在A的外側時，如圖2，過P作PF∥l1，交l4于F，∴∠1=∠FPC，∵l1∥l4，∴PF∥l2，∴∠2=∠FPD，∵∠3=∠FPD-∠FPC，∴∠3=∠2-∠1，當P點在B的外側時，如圖3，過P作PG∥l2，交l4于G，∴∠2=∠GPD，∵l1∥l2，∴PG∥l1，∴∠1=∠CPG，∵∠3=∠CPG-∠GPD，∴∠3=∠1-∠2；當P點位置如圖4所示時，∵l1∥l2，∠CPE=∠1，∴∠PEC=∠2，∴∠1=∠PEC+∠3=∠2+∠3．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，解題時注意：兩直線平行，內錯角相等．解決問題的關鍵是作平行線，構造內錯角．26.材料1：兩數和的完全平方公式：兩個數的和的平方，等于它們的平方和，加上它們的積的2倍，即，比如．材料2：學習了無理數后，某數學興趣小組開展了一次探究活動：估算的近似值．小明的方法：∵，設，∴，∴，∴，解得，∴（1）請你結合材料1和材料2，估算的值（寫過程，結果保留兩位小數）．（2）請結合上述具體實例，概括出估算的公式：已知非負整數a，b，m，若，___．（用含a，b的代數式表示），【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據材料中的方法估算無理數的大小即可；（2）根據材料中的方法計算即可．【小問1詳解】解：∵，即設，∴，∴，∴，解得：，∴；【小問2詳解】∵，設，∴，∴，∵∴，解得：，∴；∴，故答案為：．【點睛】題目主要考查估算無理數的大小，理解材料中的估算方法是解題關鍵．27.我們學習過角的定義，有公共頂點的兩條射線組成的圖形叫做角．如圖所示，我們把區域I（不包括射線OA和射線）叫做角的內部．對于一個角（且），定義它的“內補角”滿足以下兩個條件：①大小是；②與這個角有一條公共邊且與這個角的內部有公共部分．定義它的“內余角”滿足以下兩個條件：①大小是：②與這個角有一條公共邊且與這個角的內部有公共部分．（1）如圖①，已知，利用直尺和量角器，通過計算和測量，作出的所有的內補角；（2）設，射線OM平分的內補角，射線ON平分的內余角，①當時，如圖②，計算的大小為______；（直接寫答案）②當時，大小為______，（用含的代數式表示，直接寫答案）【