2023年高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3,請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知全集。=R,集合A={x|y=lg(l-x)},)

A.(l,4w)B.(0,1)C.(0,+oo)D.[l,+oo)

2.設。、beR+，數列｛4｝滿足4=2,an+,=a-a；t+b,〃eN*，則（）

A.對于任意a,都存在實數使得恒成立

B.對于任意匕，都存在實數M,使得。恒成立

C.對于任意旅（2-4a,+oo）,都存在實數使得％恒成立

D.對于任意he（0,2—4a）,都存在實數M，使得。“＜知恒成立

3.公元263年左右，我國數學家劉徽發現當圓內接正多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并

創立了“割圓術”，利用“割圓術”劉徽得到了圓周率精確到小數點后兩位的近似值3.14,這就是著名的“徽率”。如圖是

利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖，則輸出的〃值為（）（參考數據：

V3?1.732,sinl5°?0.2588,sin75°工0.9659)

4闞/

［結束］

A.48B.36C.24D.12

4.集合中含有的元素個數為（）

A.4B.6C.8D.12

A.iB.1+iC.-iD.1-i

2x+l,x<0_.

6.已知函數/（幻=小由2x〉o，則方程/［/（x）］=3的實數根的個數是（）

A.6B.3C.4D.5

7.已知定義在［L”）上的函數f（x）滿足f（3x）=3/（x）,且當時，/（x）=l-|x-2|,則方程

/（x）=/（2019）的最小實根的值為（）

A.168B.249C.411D.561

I3<］i

8.已知函數/（*）=《'—'x—，若關于上的方程八*）=h一一恰有4個不相等的實數根，則實數M的取值范圍

lnx,x>12

是（）

9.函數/（》）="；二+ln（x+l）的定義域為（）

A.(2,+8)B.(-1,2)<J(2,+8)C.(-1,2)D.(-1,2]

10.已知/（知是定義在［-2,2］上的奇函數,當xw（O,2］時,f(x)=2x-\,貝！|/(一2)+/(0)=()

B.2C.3D.-2

11.已知等差數列｛4｝的公差為2前〃項和為S,,，若％,生，%為某三角形的三邊長,且該三角形有一個內角為120。,

則S”的最大值為（）

A.5B.11C.20D.25

12.已知A45C中，|覺|=2,麗?配=—2.點尸為8c邊上的動點，則定?（可+苑+定）的最小值為（）

325

A.2B.C.—2D.----

412

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數y=4f+」的單調增區間為.

X

14.某校高三年級共有800名學生參加了數學測驗（滿分150分），已知這800名學生的數學成績均不低于90分，將

這800名學生的數學成績分組如下：[90,100),口00,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到的

頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的是（填序號）.

①a=0.045；

②這800名學生中數學成績在110分以下的人數為160；

③這800名學生數學成績的中位數約為121.4；

④這80（）名學生數學成績的平均數為125.

15.曲線“X）=4x—e'在點（0,.”0））處的切線方程為.

2x+y>2

16.若x，y滿足約束條件<y-2W0,則z=x+y的最大值為.

2x-y<2

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）AABC的內角A,5,C所對的邊分別是a,上c,且h=3（acosB+Z?cosA）,b+c=8.

（1）求上c；

7

（2）若8C邊上的中線4。=一，求AABC的面積.

2

18.（12分）隨著改革開放的不斷深入，祖國不斷富強，人民的生活水平逐步提高，為了進一步改善民生，2019年1

月1日起我國實施了個人所得稅的新政策，其政策的主要內容包括：（1）個稅起征點為5000元；（2）每月應納稅所得

額（含稅）=收入一個稅起征點-專項附加扣除；（3）專項附加扣除包括①贍養老人費用②子女教育費用③繼續教育

費用④大病醫療費用?……等.其中前兩項的扣除標準為：①贍養老人費用：每月扣除2000元②子女教育費用：每個

子女每月扣除1000元.新個稅政策的稅率表部分內容如下：

級數一級二級三級四級

超過3000元超過12000元超過25000元

每月應納稅所不超過3000

至12000元的至25000元的至35000元的

得額（含稅）元的部分

部分部分部分

稅率(％)3102025???

(D現有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要贍養老人，除此之外，無其它專項附加扣除.請問李某月應繳

納的個稅金額為多少？

(2)為研究月薪為20000元的群體的納稅情況，現收集了某城市500名的公司白領的相關資料，通過整理資料可知，

有一個孩子的有400人，沒有孩子的有100人，有一個孩子的人中有300人需要贍養老人，沒有孩子的人中有50人需

要贍養老人，并且他們均不符合其它專項附加扣除(受統計的500人中，任何兩人均不在一個家庭).若他們的月收入

均為20000元，依據樣本估計總體的思想，試估計在新個稅政策下這類人群繳納個稅金額X的分布列與期望.

3

19.(12分)如圖，在四邊形ABC。中，ZD=2ZB,AD=2￡>C=4,sinZB=-.

(1)求AC的長；

(2)若ZVWC的面積為6,求sinNC4B-sinNACB的值.

20.(12分)已知橢圓。:吞+卓=1(〃>〃>0),左、右焦點為斗鳥，點P為C上任意一點，若歸耳|的最大值為

3,最小值為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)動直線/過點入與。交于P、。兩點，在X軸上是否存在定點A,使/小鳥=/。4尼成立，說明理由.

21.(12分)以直角坐標系xOy的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，且兩坐標系取相同的長度單位.已知曲線。的

參數方程：\C°.八(。為參數)，直線/的極坐標方程：o=a(?€0,7v\p&R)

、y=3+3sm。

(1)求曲線C的極坐標方程；

(2)若直線/與曲線。交于A、3兩點，求|。7+|。8|的最大值.

22.(10分)已知橢圓C:三+==1(。>人>0)的離心率為白，橢圓C的長軸長為4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知直線=-百與橢圓C交于48兩點，是否存在實數A使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點

02若存在，求出A的值；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

根據函數定義域的求解方法可分別求得集合A,B,由補集和交集定義可求得結果.

【詳解】

;A=｛X|1-X>0｝=（7,1）,B=（0,+OO）,.-.^;A=[1,+OO）,

.?他力口6=[1,長0）.

故選：D.

【點睛】

本題考查集合運算中的補集和交集運算問題，涉及到函數定義域的求解，屬于基礎題.

2.D

【解析】

取。=匕=1,可排除AB；由蛛網圖可得數列｛4｝的單調情況，進而得到要使％<M,只需+4"”,由此

2a

可得到答案.

【詳解】

取a=h=l,a,用=d+1,數列｛a.｝恒單調遞增，且不存在最大值，故排除AB選項；

由蛛網圖可知，℃2+o=x存在兩個不動點，且石=上正跡，"J1叱

12a2a

因為當0＜卬＜內時，數列｛/｝單調遞增，則為〈玉；

當王＜4＜&時，數列｛4｝單調遞減，則為＜a,＜q；

所以要使。“＜用，只需要。＜%＜聲，故2＜"」i及,化簡得匕＜2-4。且〃＞0.

故選：D.

【點睛】

本題考查遞推數列的綜合運用，考查邏輯推理能力，屬于難題.

3.C

【解析】

由〃=6開始，按照框圖，依次求出s,進行判斷。

【詳解】

〃=6ns='x6sin60°?2.598,n=12^s=-xl2sin30°=3,

22

n=24=＞s=—x24sinl5°?3.1058?故選C.

2

【點睛】

框圖問題，依據框圖結構，依次準確求出數值，進行判斷，是解題關鍵。

【解析】

解：因為集合中的元素表示的是被12整除的正整數，那么可得為1,2,3,4,6,,12故選B

【解析】

1+2/(l+2z)(2+i)2+Z+4/-2

試題分析:=i,故選A.

2-z(2-i)(2+z)

【考點】復數運算

【名師點睛】復數代數形式的四則運算的法則是進行復數運算的理論依據，加減運算類似于多項式的合并同類項，乘

法法則類似于多項式的乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式，再將分母實數化.

6.D

【解析】

2%+l,X<0,

畫出函數/(*)=|lnx]￥>0，將方程/[/(幻]=3看作，=/(x)，/G)=3交點個數，運用圖象判斷根的個數.

【詳解】

2x+l,x<0

畫出函數/(x)=,

|lnx|,x>0

令/=/(力,，/。)=3有兩解4€(0,1),/2€(1,+8),則4=/(x),/(x)=f2分別有3個，2個解，故方程

丹/(切=3的實數根的個數是3+2=5個

本題綜合考查了函數的圖象的運用，分類思想的運用，數學結合的思想判斷方程的根，難度較大，屬于中檔題.

7.C

【解析】

先確定解析式求出/(2019)的函數值，然后判斷出方程/(x)=,”2019)的最小實根的范圍結合此時的

/(x)=x-35,通過計算即可得到答案.

【詳解】

當肉時，〃3力=3/(力，所以/*)=3嗎)=32/令)=…=3"/令)，故當

YX|3w+,_Yy>2.

時，懣e[l,3]，所以/(x)=3"(l-*一2)='，，而

2019

2019G[36,37],所以/(2019)=36(1-v--2)=37-2109=168.又當1WXW3時，

/(x)的極大值為1,所以當3"x43"+i時，f(x)的極大值為3"，設方程/(X)=168

的最小實根為f,168G[3-35],貝he3,三工)，即，e(243,468),此時/(x)=x-35

令，(x)=x—35=168,得1=243+168=411,所以最小實根為411.

故選：C.

【點睛】

本題考查函數與方程的根的最小值問題，涉及函數極大值、函數解析式的求法等知識，本題有一定的難度及高度，是

一道有較好區分度的壓軸選這題.

8.D

【解析】

由已知可將問題轉化為：y=/(x)的圖象和直線有4個交點，作出圖象，由圖可得：點(1,0)必須在直線y=Ax

一!的下方，即可求得：再求得直線》=履一2和y=/〃x相切時，k=立;結合圖象即可得解.

222e

【詳解】

若關于X的方程式制=匕一!恰有4個不相等的實數根，

則y=/(x)的圖象和直線>=區一；有4個交點.作出函數y=/x)的圖象，如圖，

故點(1,0)在直線y=kx-1的下方.

：.kxl-->0,解得A>,.

22

當直線少=履一；和y=/〃x相切時，設切點橫坐標為孫

I11

ml,ln"?+—1.

則攵=2=一，.“n=&r?

m

m

此時，&=_L=?,/U)的圖象和直線>=依一1有3個交點，不滿足條件,

me2

故選D..

【點睛】

本題主要考查了函數與方程思想及轉化能力，還考查了導數的幾何意義及計算能力、觀察能力，屬于難題.

9.C

【解析】

2—x>0

函數的定義域應滿足，c，；.-l<x<2.

l+x>0

故選C.

10.A

【解析】

由奇函數定義求出/(O)和/(-2).

【詳解】

因為/(x)是定義在［-2,2］上的奇函數，/(O)=0.又當xe(0,2］時，

/(%)=r-1,/(-2)=-/(2)=-(22-1)=-3,.??/(—2)+/(0)=—3.

故選：A.

【點睛】

本題考查函數的奇偶性，掌握奇函數的定義是解題關鍵.

11.D

【解析】

由公差d=-2可知數列單調遞減，再由余弦定理結合通項可求得首項，即可求出前n項和，從而得到最值.

【詳解】

等差數列｛4｝的公差為-2,可知數列單調遞減，則%,%，％中％最大，為最小，

又的，%，%為三角形的三邊長，且最大內角為120。,

由余弦定理得a；=a；+a：+a3a4，設首項為由，

2

即—2)2=(a)-4)+(a「6)2+(a「4)(a「6)=0得R—4)(q-9)=0,

所以4=4或4=9,又%=a1-6>0,即a1〉6,q=4舍去，故q=9,d=-2

2

前〃項和Sn=9n+"；7)x(—2)=-(n-5)+25.

故S”的最大值為Ss=25.

故選：D

【點睛】

本題考查等差數列的通項公式和前n項和公式的應用，考查求前n項和的最值問題，同時還考查了余弦定理的應用.

12.D

【解析】

以3c的中點為坐標原點，建立直角坐標系，可得3(-1,0),。(1,0),設P(a,0),A(x,y),運用向量的坐標表示,

求得點A的軌跡，進而得到關于“的二次函數，可得最小值.

【詳解】

以5c的中點為坐標原點，建立如圖的直角坐標系，

可得B(-l,o),c(l,o),設P(a,0),A(x,y),

由麗?元=-2，

可得(x+1，y),(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,ywO,

貝|J定?(而+而+叼=(l-Q,0).(x-a-l-a+l-a,y+0+0)

=(1_Q)(X_3Q)=(1—G(—2—3Q)=3片_Q_2

當°=:時，定.(中+方+無)的最小值為—11.

故選D.

y

【點睛】

本題考查向量數量積的坐標表示，考查轉化思想和二次函數的值域解法，考查運算能力，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.

【解析】

先求出導數，再在定義域上考慮導數的符號為正時對應的x的集合，從而可得函數的單調增區間.

【詳解】

函數的定義域為(—,())=((),”).

1(1A

令y>o,則故函數的單調增區間為：5,+8.

2121

故答案為：

【點睛】

本題考查導數在函數單調性中的應用，注意先考慮函數的定義域，再考慮導數在定義域上的符號，本題屬于基礎題.

14.(2XW

【解析】

由頻率分布直方圖可知(0.010x2+0.025+4+0.015+0.005)x10=1,解得。=0.035,故①不正確；這800名學生中數

學成績在11()分以下的人數為800x(0.010+0.010)x10=160,故②正確；設這8()()名學生數學成績的中位數為x,則

0.0l0xl0+0.010xl0+0.025xl0+(x-120)x0.035=0.5,解得x，⑵.4,故③正確；④這80()名學生數學成績的平均

數為95x0.010x10+105x0.010*10+115x

0.025x10+125x0.035x10+135x0.015x10+145x0.005x10=120,故④不正確.綜上，說法正確的序號是②(⑨.

15.3x-y-l=0

【解析】

求導，得到r(o)和/(o),利用點斜式即可求得結果.

【詳解】

由于/(O)=T，r(x)=4—"，所以/''(0)=4—1=3,

由點斜式可得切線方程為3x-y-I=0.

故答案為：3》7-1=0.

【點睛】

本題考查利用導數的幾何意義求切線方程，屬基礎題.

16.4

【解析】

作出可行域如圖所示：

目標函數2=》+丫，即為y=-x+z,平移斜率為-1的直線，經過點4(2,2)時，z“3=2+2=4.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)6=6,c=2(2)S4

【解析】

(1)先由正弦定理，得到sinB=3sinC,進而可得力=3c,再由匕+c=8,即可得出結果；

(2)先由余弦定理得C?=4￡>2+8。2一2AD5Z>COSZA￡)B,b2=AD2+CD2-2AD-CD-cosZADC.再根據

題中數據，可得標=3i,從而可求出cos/BAC,得到sin/BAC,進而可求出結果.

【詳解】

(1)由正弦定理得sinB=3(sinAcos8+sinBcosA),

所以sinB=3sin(A+B),

因為A+3+C=4,所以sin(A+8)=sin(乃一C)=sinC,

即sinB=3sinC,所以b=3c,

又因為Z?+c=8,所以8=6,c=2.

(2)在AABZ)和AACD中，由余弦定理得

C2=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB，b2=AD2+CD1-2ADCD-cosZADC.

因為匕=6,c=2,BD=DC*,AD=~,

22

又因為NAD3+NADC="，BPcosZADB=-cosZADC?

所以a2=319

所以―史薩4

又因為NB4Ce(O,?),所以sin/B4C=Y15

所以的面積SA“=L〃csinN5AC=^羽.

△rint,24

【點睛】

本題主要考查解三角形，靈活運用正弦定理和余弦定理即可，屬于常考題型.

18.（1）李某月應繳納的個稅金額為291（）元，（2）分布列詳見解析，期望為1150元

【解析】

（1）分段計算個人所得稅額；

（2）隨機變量X的所有可能的取值為990,1190,1390,1590,分別求出各值對應的概率，列出分布列，求期望即可.

【詳解】

解：（1）李某月應納稅所得額（含稅）為：29600-5000-1000-2000=21600元

不超過3000的部分稅額為3000x3%=90元

超過3000元至12000元的部分稅額為9000x10%=900元，

超過12000元至25000元的部分稅額為9600x20%=1920元

所以李某月應繳納的個稅金額為90+900+1920=2910元,

（2）有一個孩子需要贍養老人應納稅所得額（含稅）為：20000-5000-1000-2000=12000元,

月應繳納的個稅金額為：90+900=990元

有一個孩子不需要贍養老人應納稅所得額（含稅）為：20000-5000-1000=14000元，

月應繳納的個稅金額為：90+900+400=1390元；

沒有孩子需要贍養老人應納稅所得額（含稅）為：20000-5000-2000=13000元，

月應繳納的個稅金額為：90+900+200=1190元；

沒有孩子不需要贍養老人應納稅所得額（含稅）為：20000-5000=15000元，

月應繳納的個稅金額為：90+900+600=159（）元；

3

P(X=990)=-,

P(X=1190)=$,

P(X=1390)

產(X=1590)='

所以隨機變量X的分布列為:

X990H9013901590

3121

p

5Io510

3111

E(x)=990x-+1190x—+1390xl+1590x—=1150.

510510

【點睛】

本題考查了分段函數的應用與函數值計算，考查了隨機變量的概率分布列與數學期望，屬于中檔題.

9

19.（1）AC-^22（2）sinZCAB-sinZACB=—

22

【解析】

（1）利用余弦定理可得AC的長；（2）利用面積得出結合正弦定理可得.

【詳解】

1

解：（1）由題可知cosN￡）=cos2N8=l-2sin2N6=8-

在AACD中，AC2=AD2+CD2-2AC-CDcosZD=22,

所以AC=，五.

(2)SMBC=^ABBCsinB=6,則AB3C=16.

BCABAC4722

71^________-?________,

sinZCABsinZACBsinZB3

9

所以sinNC48-sin/AC8=16x

22

【點睛】

本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角較多時一般選用正弦定理，已知邊較多時一般選用余弦定理.

22

20.（1）—+^=1（2）存在；詳見解析

43

【解析】

（1）由橢圓的性質得〃+c=3,a—c=l,解得a,c后可得6,從而得橢圓方程;

（2）設P（0y）,Q（w，%），A（〃,O）,當直線/斜率存在時，設為丁=人（》一1）,代入橢圓方程，整理后應用韋達定

理得西+毛,%1%2,代入心戶+心o=0由恒成立問題可求得〃.驗證/斜率不存在時也適合即得.

【詳解】

=Q+C=3a=2

解：（1）由題易知〈“c=l解得

c=1

22

所以橢圓C方程為土+二=1

43

（2）設尸（天,乂）,。（馬,y2）,4（〃,0）

當直線/斜率存在時，設為y=A（x-l）與橢圓方程聯立得

（4K+3）x?—8Kx+4K—12=0,顯然/>0

8k2_4尸-12

所以％+九24左2+3'".士―4/+3

因為NPAg=ZQAF2,:,kAP+kAQ=0

XI%=%(X|T)(尤2-〃)+%(%一1)(不一")

=0

%,-nx2-n(x,-n)(x2-H)

8公—248(/T)公6〃+8成2

化簡2%%2_(〃+1)(玉+W)+2〃=0,二

4公+3止+34k2+3

解得6〃-24=0即〃=4

所以此時存在定點A(4,0)滿足題意

當直線/斜率不存在時，4(4,0)顯然也滿足

綜上所述，存在定點A(4,0),使成立

【點睛】

本題考查求橢圓的標準方程，考查直線與橢圓相交問題中的定點問題，解題方法是設而不求的思想方法.設而不求思

想方法是直線與圓錐曲線相交問題中常用方法，只要涉及交點坐標，一般就用此法.

21.(1)p2-8pcos^-6/?sin^+16=0；(2)10

【解析】

(1)消去參數，可得曲線C的普通方程，再根據極坐標與直角坐標的互化公式，代入即可求得曲線C的極坐標方程;

(2)將，=。代入曲線C的極坐標方程，利用根與系數的關系，求得外+「2，月夕2,進而得到

\OA\+\OB\=|p,I+|p2|=10|sin(cr+^)|,結合三角函數的性質，即可求解.

【詳解】

(1)由題意，曲線C的參數方程為〈°°.八(。為參數)，

y=3+3sm(9

消去參數，可得曲線C的普通方程為(X—4尸+(>—3)2=9,即/+尸一8x—6y+16=0,

又由x=pcos0,y=psin0,x2+y2=p2,

代入可得曲線C的極坐標方程為p2-8pcos6—6。sin。+16=0.

(2)將。=