古典概型(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2016·新鄉(xiāng)模擬)有兩張卡片,一張的正反面分別寫著數(shù)字0與1,另一張的正反面分別寫著數(shù)字2與3,將兩張卡片排在一起組成一個(gè)兩位數(shù),則所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.能組成的兩位數(shù)有12,13,20,30,21,31,共6個(gè),其中的奇數(shù)有13,21,31,共3個(gè),因此所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是QUOTE=QUOTE.2.(2016·鄭州模擬)設(shè)集合A={1,2},B={1,2,3},分別從集合A和B中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b,確定平面上的一個(gè)點(diǎn)P(a,b),記“點(diǎn)P(a,b)落在直線x+y=n上”為事件Cn(2≤n≤5,n∈N),若事件Cn的概率最大,則n的所有可能值為()A.3 B.4C.2和5 D.3和4【解析】選D.點(diǎn)P的所有可能值為(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3).當(dāng)n=2時(shí),P點(diǎn)可能是(1,1);當(dāng)n=3時(shí),P點(diǎn)可能是(1,2),(2,1);當(dāng)n=4時(shí),P點(diǎn)可能是(1,3),(2,2);當(dāng)n=5時(shí),P點(diǎn)可能是(2,3).即事件C3,C4的概率最大.【加固訓(xùn)練】1.(2016·深圳模擬)甲、乙兩位同學(xué)各拿出六張游戲牌,用作投骰子的獎(jiǎng)品,兩人商定:骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)時(shí)甲得1分,否則乙得1分,先積得3分者獲勝,得所有12張游戲牌,并結(jié)束游戲.比賽開始后,甲積2分,乙積1分,這時(shí)因意外事件中斷游戲,以后他們不想再繼續(xù)這場(chǎng)游戲,下面對(duì)這12張游戲牌的分配合理的是()A.甲得9張,乙得3張 B.甲得6張,乙得6張C.甲得8張,乙得4張 D.甲得10張,乙得2張【解析】選A.由題意,為了決出勝負(fù),最多再賽兩局,用“甲”表示甲勝,用“乙”表示乙勝,于是這兩局有四種可能:(甲,甲),(甲,乙),(乙,甲),(乙,乙).其中甲獲勝有3種,而乙只有1種,所以甲獲勝的概率是QUOTE,乙獲勝的概率是QUOTE.所以甲得到的游戲牌為12×QUOTE=9,乙得到游戲牌為12×QUOTE=3.2.(2016·黃岡模擬)將號(hào)碼分別為1,2,…,9的九個(gè)小球放入一個(gè)袋中,這些小球僅號(hào)碼不同,其余完全相同.甲從袋中摸出一個(gè)球,其號(hào)碼為a,放回后,乙從此袋中再摸出一個(gè)球,其號(hào)碼為b,則使不等式a-2b+10>0成立的事件發(fā)生的概率等于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率,試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是兩次分別從袋中摸球,共有9×9=81種結(jié)果,滿足條件的事件是使不等式a-2b+10>0成立的,即2b-a<10,當(dāng)b=1,2,3,4,5時(shí),a均有9種結(jié)果,共有45種結(jié)果,當(dāng)b=6時(shí),a有7種結(jié)果,當(dāng)b=7時(shí),a有5種結(jié)果,當(dāng)b=8時(shí),a有3種結(jié)果,當(dāng)b=9時(shí),a有1種結(jié)果,所以共有45+7+5+3+1=61種結(jié)果,所以所求的概率是QUOTE.3.(2016·三明模擬)如圖QUOTE,三行三列的方陣中有9個(gè)數(shù)aij(i=1,2,3;j=1,2,3),從中任取三個(gè)數(shù),則至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.從9個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)共有QUOTE=84種取法,三個(gè)數(shù)分別位于三行或三列的情況有6種;所以所求的概率為QUOTE=QUOTE.4.在棱長(zhǎng)分別為1,2,3的長(zhǎng)方體上隨機(jī)選取兩個(gè)相異頂點(diǎn),若每個(gè)頂點(diǎn)被選取的概率相同,則選到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離大于3的概率為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.從8個(gè)頂點(diǎn)中任取兩點(diǎn)有QUOTE=28種取法,其線段長(zhǎng)分別為1,2,3,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE.①其中12條棱長(zhǎng)度都小于等于3;②其中4條,棱長(zhǎng)為1,2的面對(duì)角線長(zhǎng)度為QUOTE<3;故長(zhǎng)度大于3的有28-12-4=12,故兩點(diǎn)距離大于3的概率為QUOTE=QUOTE.5.(2016·長(zhǎng)沙模擬)設(shè)b,c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù),則函數(shù)f(x)=x2+bx+c有零點(diǎn)的概率為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.所有的(b,c)共計(jì)6×6=36(個(gè)),函數(shù)f(x)=x2+bx+c有零點(diǎn)等價(jià)于b2-4c≥0,故滿足條件的(b,c)有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共計(jì)19個(gè).故函數(shù)f(x)=x2+bx+c有零點(diǎn)的概率為QUOTE.【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)易將事件函數(shù)f(x)=x2+bx+c有零點(diǎn)的個(gè)數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤而誤選.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2016·廣州模擬)在集合{x|x=QUOTE,n=1,2,3,…,10}中任取一個(gè)元素,所取元素恰好滿足方程cosx=QUOTE的概率是.【解析】基本事件總數(shù)為10,滿足方程cosx=QUOTE的基本事件數(shù)為3,故所求概率P=QUOTE.答案:QUOTE7.如圖,沿田字型的路線從A往N走,且只能向右或向下走,隨機(jī)地選一種走法,則經(jīng)過點(diǎn)C的概率是.【解析】按規(guī)定要求從A往N走只能向右或向下,所有可能走法有:A→D→S→J→N,A→D→C→J→N,A→D→C→M→N,A→B→C→J→N,A→B→C→M→N,A→B→F→M→N共6種,其中經(jīng)過C點(diǎn)的走法有4種,所以所求概率P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【一題多解】本題還可以用如下方法解決:由于從A點(diǎn)出發(fā)后只允許向右或向下走,記向右走為1,向下走為2,欲到達(dá)N點(diǎn)必須兩次向右,兩次向下即有兩個(gè)2兩個(gè)1.所以基本事件空間Ω={(1122),(1212),(1221),(2112),(2121),(2211)}共6種不同結(jié)果,而只有先右再下或先下再右兩類情形經(jīng)過C點(diǎn),即前兩個(gè)數(shù)字必須一個(gè)1一個(gè)2,所以事件“經(jīng)過C點(diǎn)”含有的基本事件為(1212),(1221),(2112),(2121)共4個(gè),所以P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.(2016·懷化模擬)拋擲一枚骰子,當(dāng)它每次落地時(shí),向上一面的點(diǎn)數(shù)稱為該次拋擲的點(diǎn)數(shù),可隨機(jī)出現(xiàn)1到6點(diǎn)中的任一個(gè)結(jié)果.連續(xù)拋擲兩次,第一次拋擲的點(diǎn)數(shù)記為a,第二次拋擲的點(diǎn)數(shù)記為b,則:(1)直線ax+by=0與直線x+2y+1=0平行的概率為.(2)長(zhǎng)度依次為a,b,2的三條線段能構(gòu)成三角形的概率為.【解析】(1)由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率,試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是連續(xù)擲兩次骰子,有6×6=36種結(jié)果,滿足條件的事件是1,2;2,4;3,6;三種結(jié)果,所以所求的概率是P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE(2)由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率,試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)是36,根據(jù)題意可以知道a+b>2且|a-b|<2,符合要求的a,b共有1,2;2,1;2,2;2,3;3,2;3,3;3,4;4,3;4,4;4,5;5,4;5,5;5,6;6,5;6,6共有15種結(jié)果,所以所求的概率是QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE(15分鐘30分)1.(5分)(2016·武漢模擬)“序數(shù)”指每個(gè)數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的自然數(shù)(如1246),在兩位的“序數(shù)”中任取一個(gè)數(shù)比36大的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.十位是1的兩位的“序數(shù)”:8個(gè);十位是2的:7個(gè),依此類推:十位分別是3,4,5,6,7,8的各有6,5,4,3,2,1個(gè),故兩位的“序數(shù)”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36個(gè),比36大的有:十位是3的:3個(gè);十位是4的:5個(gè),依次類推:十位分別是5,6,7,8的各有4,3,2,1個(gè),所以比36大的兩位的“序數(shù)”有3+5+4+3+2+1=18(個(gè)),所以所求概率P=QUOTE=QUOTE.2.(5分)(2016·張家界模擬)將正整數(shù)1,2,3,4,5,6,7隨機(jī)分成兩組,使得每組至少有一個(gè)數(shù),則兩組中各數(shù)之和相等的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.將正整數(shù)1,2,3,4,5,6,7隨機(jī)分成兩組,使得每組至少有一個(gè)數(shù),則有QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=27-2=126種,因?yàn)?+2+3+4+5+6+7=28,所以要使兩組中各數(shù)之和相等,則有各組數(shù)字之和為14,則有7+6+1=5+4+3+2;7+5+2=6+4+3+1;7+4+3=6+5+2+1;7+4+2+1=6+5+3;5+4+3+2=7+6+1;6+4+3+1=7+5+2;6+5+2+1=7+4+3;6+5+3=7+4+2+1共8種,所以兩組中各數(shù)之和相等的概率是QUOTE=QUOTE.3.(5分)(2016·廈門模擬)已知|p|≤3,|q|≤3,當(dāng)p,q∈Z時(shí),則方程x2+2px-q2+1=0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根的概率是.【解析】由方程x2+2px-q2+1=0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根,可得Δ=(2p)2-4(-q2+1)>0,即p2+q2>1.當(dāng)p,q∈Z時(shí),設(shè)點(diǎn)M(p,q),如圖,直線p=-3,-2,-1,0,1,2,3和直線q=-3,-2,-1,0,1,2,3的交點(diǎn),即為點(diǎn)M,共有49個(gè),其中在圓上和圓內(nèi)的點(diǎn)共有5個(gè)(圖中黑點(diǎn)).當(dāng)點(diǎn)M(p,q)落在圓p2+q2=1外時(shí),方程x2+2px-q2+1=0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根,所以方程x2+2px-q2+1=0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根的概率P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【加固訓(xùn)練】(2016·廣安模擬)投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子兩次,第一次出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)為a,第二次出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)為b,直線l1的方程為ax-by-3=0,直線l2的方程為x-2y-2=0,則直線l1與直線l2有交點(diǎn)的概率為.【解析】投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子兩次,向上的點(diǎn)數(shù)的結(jié)果有36種情況:(1,1),(1,2),…,(6,6),直線l1與直線l2有交點(diǎn)即兩直線斜率不相等,b≠2a,所以除(1,2),(2,4),(3,6)這3種情況外,其余都符合題意,即直線l1與直線l2有交點(diǎn)的情況有33種,故所求概率為QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE4.(15分)(2016·滄州模擬)在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中,被記為a,b,c,d,e,f的6人有獲獎(jiǎng)機(jī)會(huì),抽獎(jiǎng)規(guī)則如下:主辦方先從這6人中隨機(jī)抽取2人均獲一等獎(jiǎng),再?gòu)挠嘞碌?人中隨機(jī)抽取1人獲二等獎(jiǎng),最后還從這余下的4人中隨機(jī)抽取1人獲三等獎(jiǎng),如果在每次抽取中,參與當(dāng)次抽獎(jiǎng)的人被抽到的機(jī)會(huì)相等.(1)求a獲一等獎(jiǎng)的概率.(2)若a,b已獲一等獎(jiǎng),求c能獲獎(jiǎng)的概率.【解析】(1)記“a獲一等獎(jiǎng)”為事件A,從這6人中隨機(jī)抽取兩人,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{a,f},{b,c},{b,d},{b,e},{b,f},{c,d},{c,e},{c,f},{d,e},{d,f},{e,f},共15個(gè).事件A包含的基本事件有:{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{a,f},共5個(gè).所以P(A)=QUOTE=QUOTE,故a獲一等獎(jiǎng)的概率為QUOTE.(2)記“若a,b已獲一等獎(jiǎng),c能獲獎(jiǎng)”為事件B,a,b已獲一等獎(jiǎng),余下的四個(gè)人中獲二、三等獎(jiǎng),其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有:{c,c},{c,d},{c,e},{c,f},{d,c},{d,d},{d,e},{d,f},{e,c},{e,d},{e,e},{e,f},{f,c},{f,d},{f,e},{f,f}共16個(gè),事件B包含的基本事件有{c,c},{c,d},{c,e},{c,f},{d,c},{e,c},{f,c},共7個(gè),所以P(B)=QUOTE,故若a,b已獲一等獎(jiǎng),c能獲獎(jiǎng)的概率為QUOTE.【加固訓(xùn)練】1.(2016·荊門模擬)為了解某市的交通狀況,現(xiàn)對(duì)其6條道路進(jìn)行評(píng)估,得分分別為:5,6,7,8,9,10.規(guī)定評(píng)估的平均得分與全市的總體交通狀況等級(jí)如表評(píng)估的平均得分(0,6](6,8](8,10]全市的總體交通狀況等級(jí)不合格合格優(yōu)秀(1)求本次評(píng)估的平均得分,并參照上表估計(jì)該市的總體交通狀況等級(jí).(2)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從這6條道路中抽取2條,它們的得分組成一個(gè)樣本,求該樣本的平均數(shù)與總體的平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超0.5的概率.【解題提示】(1)由已知中對(duì)其6條道路進(jìn)行評(píng)估,得分分別為:5,6,7,8,9,10,計(jì)算出得分的平均分,然后將所得答案與表中數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,即可得到答案.(2)我們列出從這6條道路中抽取2條的所有情況,及滿足樣本的平均數(shù)與總體的平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超0.5的情況,然后代入古典概型公式即可得到答案.【解析】(1)6條道路的平均得分為QUOTE=7.5,所以該市的總體交通狀況等級(jí)為合格.(2)設(shè)A表示事件“樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5”.從6條道路中抽取2條的得分組成的所有基本事件為:(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共15個(gè)基本事件.事件A包括(5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9)共7個(gè)基本事件,所以P(A)=QUOTE.2.(2016·宜城模擬)某廠家