第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年貴州省貴陽市部分學校高二（下）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若集合A={x|6?2x<x}，B={?1,1,3,5}，則A∩B=(

)A.? B.{?1,1} C.{3,5} D.{?1,1,3,5}2.某同學測得連續7天的最低氣溫(單位：℃)分別為18，19，18，15，15，17，13，則該組數據的第70百分位數為(

)A.15 B.17 C.17.5 D.183.設a=log52，b=log253A.c>b>a B.c>a>b C.b>a>c D.a>c>b4.設等比數列{an}的前n項和為Sn，a2+aA.632 B.63 C.312 5.已知直線x=5π12和x=17π12都是函數y=f(x)圖象的對稱軸，則f(x)A.f(x)=sin(2x?π3) B.f(x)=sin6.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為A1BA.OA1 B.D1B C.7.已知點P在拋物線M：y2=8x上，過點P作圓C：(x?4)2+y2=1的切線，若切線長為2A.7 B.6 C.5 D.48.若直線l是曲線y=ex?1與y=ex?1的公切線，則直線A.y=x?1 B.y=x C.y=x+1 D.y=ex二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.復數z滿足z2+4=0，則(

)A.z為純虛數

B.|z|=2

C.z的實部不存在

D.復數z+z10.已知函數f(x)的定義域為R，對所有的x，y∈R，都有xf(y)?yf(x)=xy(y2?xA.f(x)為奇函數 B.f(x)為偶函數

C.f(x)在R上可能單調遞增 D.f(x)在R上可能單調遞減11.已知橢圓C：x28+y2m=1(0<m<8)的離心率為3A.C的短軸長為4

B.C上存在點P，使得PF1⊥PF2

C.C上存在點P，使得PF三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量AB=(2,1),AC=(1,m),CD=(3,6).若A，B，D三點共線，則13.設Sn是等差數列{an}的前n項和，a1=2且S14.甲、乙、丙等7名學生準備利用暑假時間從A，B，C三個社區中選一個參加義務勞動，若甲、乙、丙恰好去三個不同的社區，則所有不同的選擇種數為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3bcosC?csinB=3a．

(1)求角B；

(2)已知16.(本小題15分)

某種專業技能資格考核分A，B，C三個項目考核，三個項目考核全部通過即可獲得資格證書，無需費用，否則需要對未通過的項目進行較長時間的學習培訓后才能獲得資格證書，且每個項目的培訓費用為1000元.已知每個參加考核的人通過A，B，C三個項目考核的概率分別為34，23，12，且每個項目考核是否通過相互獨立.現有甲、乙、丙三人參與這種專業技能資格考核．

(1)求甲獲得資格證書所花費用不超過1000元的概率；

(2)記甲、乙、丙中不需要培訓就獲得資格證書的人數為X，求X17.(本小題15分)

如圖，在正三棱柱ABC?A′B′C′中，E，F分別為棱AC，BB′的中點，AB=BB′=2．

(1)證明：BE//平面AFC′．

(2)求平面ABC與平面AFC′夾角的余弦值．18.(本小題17分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的實軸長是虛軸長的2倍，且焦點到漸近線的距離為2．

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若動直線l與雙曲線C恰有1個公共點，且與雙曲線19.(本小題17分)

若定義在區間D上的函數f(x)滿足對任意x1，x2∈D，且x1>x2，都有f(x1)?f(x2)2>x1?x2x1+x2，則稱f(x)是D上的“好函數”．參考答案1.C

2.D

3.B

4.A

5.A

6.D

7.C

8.B

9.AB

10.AC

11.BCD

12.?4

13.2

14.486

15.解：(1)因為3bcosC?csinB=3a，所以由正弦定理可得3sinBcosC?sinCsinB=3sinA，

又A=π?(B+C)，所以3sinBcosC=3sin(B+C)+sinCsinB，

所以3sinBcosC=3sinBcosC+3cosBsinC+sinCsinB，

即3sinCcosB+sinCsinB=0.因為C∈(0,π)，所以sinC≠0，

所以cosB+33sinB=0，即tanB=?3，又16.解：(1)甲三個項目全部通過，所花費用為0，概率P1=34×23×12=14，

甲三個項目有一個沒有通過，需要參加一次學習培訓，所花費用為1000元，

概率P2=14×23×12+34×13×12+34×23×12=11X0123P272791期望E(X)=3×1417.解：(1)證明：取G為AC′的中點，連接EG，GF，

因為E為棱AC的中點，所以EG//CC，且EG=12CC′，

又F為棱BB的中點，所以BF=12BB′，

因為BB′//CC′且BB′=CC′，

所以EG//BF且EG=BF，

所以四邊形EGFB為平行四邊形，

所以EB//GF，

又EB?平面AFC′，GF?平面AFC′，

所以BE//平面AFC′；

(2)取O為BC的中點，H為B′C′的中點，連接AO，OH，

因為ABC?A′B′C′為正三棱柱，

所以OC，OA，OH兩兩垂直，

以O為坐標原點，OC，OH、OA所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,0,3)，F(?1,1,0)，C′(1,2,0)，

AC′=(1,2,?3)，FC′=(2,1,0)，

設平面AFC′的法向量為m=(x,y,z)，

則m?AC′=x+2y?3z=0,m?FC′=2x+y=0．

令x=1，則y=?2，z=?18.(1)解：雙曲線中，設一個焦點F(c,0)，一條漸近線方程為bx?ay=0．

∴焦點F到漸近線的距離為bca2+b2=b=2．

∵實軸長是虛軸長的2倍，所以a=2b=2，

∴雙曲線的標準方程為x24?y22=1；

(2)證明：當直線l的斜率不存在時，直線l與雙曲線C恰有1個公共點，

則l的方程為x=±2，∴|PQ|=22，S△OPQ=12×2×22=22．

當直線l的斜率存在時，設直線l：y=kx+m，且k≠±22．

由y=kx+m,x24?y22=1,得(1?2k2)x2?4mkx?2m219