第二十一章一元二次21.2.1配方法

學習目標-新課導入-新知探究-課堂小結-課堂訓練第2課時用配方法解一元二次方程1.了解配方的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解決有關問題.(重點）3.探索直接開平方法和配方法之間的區別和聯系.（難點）

學習目標復習引入(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.2.下列方程能用直接開平方法來解嗎?1.用直接開平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把兩題轉化成(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用開平方法

新課導入問題1.你還記得嗎？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=(

)2；(2)a2-2ab+b2=(

)2.a+ba-b探究交流

新課導入問題2.填上適當的數或式,使下列各等式成立.（1）x2+4x+

=(x+

)2（2）x2-6x+

=(x-

)2（3）x2+8x+

=(x+

)2（4）x2-x+

=(x-

)2你發現了什么規律？222323424

新課導入二次項系數為1的完全平方式：

常數項等于一次項系數一半的平方.歸納總結：配方的方法想一想：x2+px+(

)2=(x+

)2

新知探究用配方法解方程怎樣解方程:x2+6x+4=0(1)問題1

方程(1)怎樣變成（x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0

x2+6x=-4移項

x2+6x+9=-4+9兩邊都加上9二次項系數為1的完全平方式：

常數項等于一次項系數一半的平方.

新知探究利用上節課的知識，剩下的過程自己完成吧！方程配方的方法歸納：在方程兩邊都加上一次項系數一半的平方.注意是在二次項系數為1的前提下進行的.問題2

為什么在方程x2+6x=-4的兩邊加上9？加其他數行嗎？不行，只有在方程兩邊加上一次項系數一半的平方，方程左邊才能變成完成平方x2+2bx+b2的形式.

新知探究要點歸納：

像上面這樣通過配成完全平方式來解一元二次方程，叫做配方法.1.配方法的定義2.配方法解方程的基本思路：把方程化為（x+n)2=p的形式，將一元二次方程降次，轉化為一元一次方程求解．

新知探究例1

解下列方程：解：（1）移項，得x2－8x=－1,配方，得x2－8x+42=－1+42,(x－4)2=15由此可得即

新知探究方程的兩根為配方，得由此可得二次項系數化為1，得解：移項，得2x2－3x=－1,即移項和二次項系數化為1這兩個步驟能不能交換一下呢?

新知探究方程的兩根為配方，得

因為實數的平方不會是負數，所以x取任何實數時，上式都不成立，所以原方程無實數根．解：移項，得二次項系數化為1，得即

新知探究思考1：用配方法解一元二次方程時，移項時要

注意些什么？思考2：用配方法解一元二次方程的一般步驟.移項時需注意改變符號.①移項，二次項系數化為1；②左邊配成完全平方式；③左邊寫成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.

新知探究一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉化成

(x+n)2=p.①當p>0時,則,方程的兩個根為②當p=0時,則(x+n)2=0,x+n=0,開平方得方程的兩個根為

x1=x2=-n.③當p<0時,則方程(x+n)2=p無實數根.歸納總結：

新知探究例2.試用配方法說明：不論k取何實數，多項式k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因為（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.配方法的應用

新知探究例3.若a,b,c為△ABC的三邊長，且

試判斷△ABC的形狀.解：對原式配方，得

由代數式的性質可知所以，△ABC為直角三角形.

新知探究

大江東去浪淘盡，

千古風流數人物。

而立之年督東吳，

早逝英年兩位數。

十位恰小個位三，

個位平方與壽符。

哪位學子算得快，

多少年華屬周瑜？通過列方程，算出周瑜去世時的年齡.例4.讀詩詞解題：

新知探究解：設個位數字為x，十位數字為(x-3)x1=6,x2=5x2-11x=-30x2-11x+5.52=-30+5.52(x-5.5)2=0.25x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5

x2=10(x-3)+x∴這個兩位數為36或25，∴周瑜去世的年齡為36歲.∵周瑜30歲還攻打過東吳，

新知探究配方法定義通過配成完全平方形式解一元二次方程的方法.步驟一移常數項；二配方[配上]；三寫成（x+n)2=p(p≥0);

四直接開平方法解方程.特別提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化為x2+px+q=0的形式.應用求代數式的最值或證明

課堂小結1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程無解；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2；解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.

課堂訓練

課堂訓練解：原式=2(x-

1)2+3當x=1時有最小值3解：原式=

-3(x-2)2-4當x=2時有最大值-42.應用配方法求最值.(1)2x2

-4x+5的最小值；(2)-3x2

+5x+1的最大值.3.已知a,b,c為△ABC的三邊長，且

試判斷△ABC的形狀.解：對原式配方，得由代數式的性質可知所以，△ABC為等邊三角形.