專題3.4單項式的乘法（知識講解）【知識回顧】單項式及相關概念：表示數與字母的式子相乘的式子叫單項式，其中數字叫單項式的系數，字母的指數和叫單項式的次數；同類項：如果兩個單項式，它們所含的字母相同，并且相同字母的指數也分別相同，那么就稱這兩個單項式為同類項。合并同類項就是利用乘法分配律，同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和指數不變。合并同類項實際上就是乘法分配律的逆向運用。【學習目標】1.會進行單項式與單項式的乘法計算；2.掌握整式中單項式與單項式中加、減、乘、乘方中的較簡單的混合運算；3.能計算求單項式乘法運算中求字母的值。【要點梳理】單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數作為積的一個因式.特別說明：（1）單項式的乘法法則的實質是乘法的交換律和同底數冪的乘法法則的綜合應用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數等于各系數的積，是把各單項式的系數交換到一起進行有理數的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數冪的乘法，按照“底數不變，指數相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結果仍為單項式，也是由系數、字母、字母的指數這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.【典型例題】類型一、單項式相乘的運算1．計算：﹣a2b?a2b3?（﹣a2b2）2【答案】【分析】先判斷結果的符號，再計算系數，對于字母，根據同底數冪的乘法，積的乘方，冪的乘方運算進行計算即可．解：﹣a2b?a2b3?（﹣a2b2）2【點撥】本題考查了同底數冪的乘法，積的乘方，冪的乘方，掌握以上運算法則是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】（1）；

（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先計算乘方，然后根據整式的乘法計算法則求解即可；（2）先把變形為，然后利用整式的乘法和積的乘方的計算法則求解即可．解：（1）；（2）【點撥】本題主要考查了整式的乘法，積的乘方，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關計算法則．【變式2】【答案】【分析】先利用積的乘方公式分別計算，再計算單項式乘單項式，最后合并同類項即可．解：原式＝＝＝【點撥】本題主要考查積的乘方公式和單項式乘單項式．熟記相關公式（法則）是解題關鍵．【變式3】計算：【答案】【分析】根據單項式乘以單項式法則、積的乘方分別計算，再合并同類項即可．解：原式【點撥】本題考查單項式乘以單項式法則、積的乘方，計算過程中注意符號的處理．類型二、利用單項式相乘化簡或求參數的值2．有理數x，y滿足條件，求代數式的值．【答案】192【分析】由非負數的性質，得到方程組，然后求出x、y的值，即可求出代數式的值．解：∵，∴，解得：．．當，時，原式．【點撥】本題考查了解二元一次方程組，求代數式的值，絕對值的非負性，解題的關鍵是由非負性求出x、y的值，從而進行解題．舉一反三：【變式1】先化簡，再求值：，其中，．【答案】，-16．【分析】先化簡，再把a=2，b=1代入求解即可．解：原式．當，時，原式．【點撥】本題考查了整式的化簡求值，解題的關鍵是正確的化簡．【變式2】若am＋1bn＋2·a2n－1b2m＝a5b3，則m＋n的值為________．【答案】2【分析】根據單項式的乘法的法則，同底數冪相乘，底數不變，指數相加的性質計算，然后再根據相同字母的次數相同列出方程組，整理即可得到m+n的值．解：am+1bn+2?a2n-1b2m=am+1+2n-1?bn+2+2m=am+2n?bn+2m+2=a5b3，∴，兩式相加，得3m+3n=6，解得m+n=2．故答案為2．【點撥】本題主要考查單項式的乘法的法則和同底數冪的乘法的性質，根據數據的特點兩式相加求解即可，不需要分別求出m、n的值．【變式2】若x=3an，y=-a2n-1，當a=2，n=3時，求anx-ay的值．【答案】224．【分析】先把a=2，n=3帶入x=3an，y=-a2n-1求出x和y，再帶入anx-ay計算即可.解：anx-ay=an×3an-a×（-a2n?1）=3a2n+a2n=a2n∵a=2，n=3，∴a2n=×26=224．【點撥】此題重點考察學生對整式乘法的應用能力，熟練整式乘法法則是解題的關鍵.類型三、3．某公園欲建如圖13-2-3所示形狀的草坪（陰影部分），求需要鋪設草坪多少平方米？若每平方米草坪需120元，則為修建該草坪需投資多少元？（單位：米）【答案】平方米；2520元解：根據題意可得：草坪的長為7a米，寬為3a米則S=7a·3a=21（平方米）21×120=2520（元）舉一反三：【變式1】如圖是某一長方形閑置空地，寬為米，長為b米，為了美化環境，準備在這個長方形空地的四個頂點處分別修建一個半徑為a米的扇形花圃（陰影部分），然后在花圃內種花，中間修一條長b米，寬a米的甬路，剩余部分種草．（提示：取3）（1）甬路的面積為________平方米；種花的面積為_______平方米；（2）當，時，請計算該長方形場地上種草的面積；（3）在（2）的條件下，種花的費用為每平方米30元，種草的費用為每平方米20元，甬路的費用為每平方米10元．那么美化這塊空地共需要資金多少元？【答案】（1）ab；3a2；（2）28平方米；（3）1120元【分析】（1）利用長方形面積公式和圓的面積公式計算即可；（2）用總面積減去甬路和花圃面積即可；（3）表示出甬路、花圃、草地的面積，再求出各自的花費即可．解：（1）甬路的面積：（3a-a-a）?b=ab（平方米），種花的面積：π?a2≈3a2（平方米），故答案為：ab；3a2；（2）種草的面積：3a?b-ab-πa2=2ab-3a2，當a=2，b=10時，原式≈2×2×10-3×22=40-12=28（平方米），答：長方形場地上種草的面積為28平方米；（3）3×22×30+28×20+2×10×10=360+560+200=1120（元）答：美化這塊空地共需要資金1120元．【點撥】此題主要考查了列代數式和代數式求值，關鍵是掌握四個花圃拼在一起組成圓形．【變式2】如圖，長方形長為，寬為，現從四個角割去四個邊長為的小正形，然后折疊成一個無蓋的長方體．（1）求長方體的體積（用含有m的代數式表示）（2）當時，求此時長方體體積．【答案】（1）

（2）2【分析】（1）先求出長方體的長、寬、高，然后由體積公式即可求出答案；（2）把代入計算，即可求出答案．解：（1）根據題意，長方體的長為：，長方體的寬為：，長方體的高為：，∴長方體的體積為：；（2）根據題意，當時，則此時長方體體積為：．【點撥】本題考查了用代數式表示長方體的體積，需熟記公式，且認真觀察圖形，得出等量關系是解題的關鍵．【變式3】如圖是某住宅的平面結構示意圖，準備將地面鋪上地磚，圖中標注了有關尺寸（墻壁厚度忽略不計，單位：）（1）用代數式表示該住宅的總面積是多少？（2）當，時，鋪地磚的平均費用為元，那么鋪地磚的總費用是多少？【答案】(1)15xym2；(2)3600元【分析】（1）根據圖中的數據得出住宅的總面積即可；（2）求出該住宅的所需地磚面積，再乘以30求出即可．解：（1）該住宅的面積為4