第第頁第04講拓展一：直線與橢圓的位置關系目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點考查直線與橢圓位置關系 2題型二：重點考查直線與橢圓交點坐標 3題型三：重點考查橢圓的切線 5題型四：重點考查根據直線與橢圓位置關系求參數 9題型五：重點考查根據根與系數關系求參數 13題型六：重點考查求橢圓中弦長 16題型七：重點考查根據橢圓中弦長求參數 21題型八：重點考查橢圓中四邊形面積 26題型九：重點考查橢圓中的中點弦問題 31題型十：重點考查橢圓中參數范圍及最值問題 36題型十一：重點考查橢圓中定點問題 42題型十二：重點考查橢圓中定值問題 45題型十三：重點考查橢圓中定直線問題 50題型十四：重點考查橢圓中向量問題 55題型一：重點考查直線與橢圓位置關系典型例題例題1．（2023秋·高二課時練習）直線與橢圓的公共點的個數是（

）A．0 B．1C．2 D．無數個【答案】C【詳解】由消去y并整理得，顯然，所以直線與橢圓相交，有2個公共點.故選：C例題2．（2023秋·高二課時練習）對不同的實數，討論直線與橢圓的公共點的個數.【答案】答案見解析【詳解】由，消去并整理得③，此方程的實數解的個數由它的判別式決定，，當時，，方程③有兩個不相等的實數根，代入方程①可得到兩個不同的公共點坐標，此時直線與橢圓有兩個公共點，即它們相交.當或時，，方程③有兩個相等的實數根，代入方程①得到一個公共點坐標，此時直線與橢圓有一個公共點，它們在這一點相切.當或時，，方程③沒有實數根，此時直線與橢圓沒有公共點，即它們相離.綜上，可得：當時，直線與橢圓有兩個公共點；當或時，直線與橢圓有一個公共點；當或時，直線與橢圓沒有公共點.精練核心考點1．（2023秋·全國·高二期中）橢圓與直線的位置關系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【答案】B【詳解】直線過定點在橢圓內，故直線與橢圓相交.故選:B.2．（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【詳解】對于直線，整理得，令，解得，故直線過定點.∵，則點在橢圓C的內部，所以直線l與橢圓C相交.故選：A.題型二：重點考查直線與橢圓交點坐標典型例題例題1．（2023·全國·高二專題練習）已知直線，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點，則線段AB的中點的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意知，，消去y，得，則，，所以A、B兩點中點的橫坐標為：，所以中點的縱坐標為：，即線段AB的中點的坐標為.故選：B例題2．（2023秋·北京東城·高二統考期末）已知橢圓的離心率為，一個頂點為.(1)求橢圓的方程；(2)若過點的直線與橢圓的另一個交點為，且，求點的坐標.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題可知；，又因為，解得所以橢圓的方程為（2）設，因為，所以有，則點為橢圓與圓的交點，聯立，解得或（舍去，因為）所以有或，故點的坐標為精練核心考點1．（2023·全國·高二課堂例題）求直線和橢圓的公共點的坐標．【答案】，【詳解】直線和橢圓的公共點的坐標就是方程組的解，消去得，即，解得、，所以解這個方程組得或，因此，所求公共點的坐標為，．2．（2023·江蘇·高二假期作業）已知橢圓，直線，判斷直線l與橢圓公共點個數，并求出公共點的坐標．【答案】公共點有1個，公共點坐標為【詳解】由得，即，解得，所以直線l與橢圓有一個公共點，且公共點坐標為.

題型三：重點考查橢圓的切線典型例題例題1．（2023秋·高二課時練習）已知點是橢圓上任意一點，則點到直線:的最大距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設直線與橢圓相切，由得，∴，，切線方程為和，與距離較規遠的是，∴所求最大距離為．故選：A.例題2．（2022·全國·高一專題練習）已知橢圓C的標準方程為，若過點的直線l與橢圓C在第一象限相切于點M，則點M的坐標為．【答案】/【詳解】解：當切點在第一象限時，斜率存在且不為0，設切線的方程為：，，由于過點可得：，①聯立直線與橢圓的方程，整理可得：，則，可得②，由①②可得：，，所以切線方程為：；可得整理的方程為：，解得，代入切線的方程可得，即切點，所以直線的方程為：，切點的坐標．故答案為：例題3．（2022秋·江蘇泰州·高二校聯考期中）已知橢圓的兩個焦點分別為，，且橢圓經過點．（1）求橢圓方程；（2）若點為橢圓上一動點，則點到直線的最小距離．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：（1）橢圓的焦點為，①又點在上，②，而③聯立①②③得，橢圓方程為（2）設與橢圓相切聯立方程組：，顯然易知當時，與距離最近，.精練核心考點1．（2023·全國·高二課堂例題）已知橢圓C：的焦距為，且過點.(1)求橢圓的方程；(2)在橢圓C上找一點P，使它到直線l：的距離最短，并求出最短距離.【答案】(1)(2)，【詳解】（1）由題意可知，∴，，將點A的坐標代入，解得，則，故橢圓方程為.（2）方法一：設與直線l：平行的直線與橢圓相切，聯立直線與橢圓方程得消去y并整理，得，由其根的判別式，解得.當時，直線l與直線的距離；當時，直線l與直線的距離.由可知，符合題意.將代入可解得，將代入可得，則點P的坐標為，此時距離的最小值為.方法二：設點，，則點P到直線l：的距離，當，即時，d取最小值，最小值為，此時點P的坐標為.2．（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓，直線，橢圓上是否存在一點，到直線的距離最小?最小距離是多少?【答案】存在，【詳解】在橢圓上存在一點，使得它到直線的距離最小；設直線平行于直線，則直線可寫成：，由方程組，消去，整理得，由，得，解得，時直線與橢圓的交點到直線的距離最近，所以.題型四：重點考查根據直線與橢圓位置關系求參數典型例題例題1．（2023秋·高二課時練習）若直線與橢圓恒有公共點，求實數的取值范圍．【答案】【詳解】由題意，直線恒過定點，要使得直線與橢圓恒有公共點，則滿足點在橢圓上或在橢圓的內部，即，解得，又由橢圓的方程，滿足，所以實數的取值范圍為.例題2．（2023·全國·高二課堂例題）如圖，已知直線和橢圓．m為何值時，直線l與橢圓C：

(1)有兩個公共點？(2)有且只有一個公共點？(3)沒有公共點？【答案】(1)(2)，(3)，或【詳解】（1）由方程組消去y，得，．由，得．此時方程①有兩個不相等的實數根，直線l與橢圓C有兩個不同的公共點．（2）由，得，．此時方程①有兩個相等的實數根，直線l與橢圓C有且只有一個公共點．（3）由，得，或．此時方程①沒有實數根，直線l與橢圓C沒有公共點．例題3．（2023秋·高二課時練習）已知直線，橢圓.試問當m取何值時，直線l與橢圓C：(1)相交；(2)相切；(3)相離？【答案】(1)(2)(3)或.【詳解】（1）聯立，得，，當直線與橢圓相交，即，則，解得：；（2）當直線與橢圓相切，即，則，解得：；（3）當直線與橢圓相離，即，則，解得：或.精練核心考點1．（2023·全國·高二課堂例題）已知直線與橢圓，分別求直線l與橢圓C有兩個公共點、只有一個公共點和沒有公共點時m的取值范圍．【答案】答案見解析【詳解】聯立直線l的方程與橢圓C的方程得方程組消去y，整理得，

①因為①的判別式為，所以：當即時，方程①有兩個不同的實數解，此時原方程組的實數解集中有兩個元素，直線l與橢圓C有兩個公共點；當即時，方程①有兩個相等的實數解，此時原方程組的實數解集中只有一個元素，直線l與橢圓C有且只有一個公共點；當即或時，方程①無實數解，此時原方程組的實數解集為空集，直線l與橢圓C沒有公共點．2．（2023秋·高二課時練習）求橢圓上的點到直線的最短距離，并求出此時橢圓上的點的坐標.【答案】最短距離為，對應的點的坐標為.【詳解】設直線與橢圓相切，則只有一組解，即，所以，解得，依題意，需求最短距離，所以取，則最短距離為兩平行線與的距離，即，此時點的橫坐標為，代入可得，所以對應的點的坐標為.3．（2023秋·高二課時練習）設直線與橢圓的方程分別為與，問為何值時，(1)直線與橢圓有一個公共點；(2)直線與橢圓有兩個公共點；(3)直線與橢圓沒有公共點．【答案】(1)(2)(3)或【詳解】（1）由直線方程得，代入橢圓方程后整理得．上述方程的判別式．由此可知：當時，，直線與橢圓只有一個公共點．（2）當時，，直線與橢圓有兩個公共點．（3）當或時，，直線與橢圓無公共點．

題型五：重點考查根據根與系數關系求參數典型例題例題1．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學?？奸_學考試）經過橢圓的右焦點作傾斜角為的直線，交橢圓于兩點，則．【答案】/【詳解】由橢圓方程得：右焦點，則直線方程為：，由得：，則，，，.故答案為：.例題2．（2023秋·高二課時練習）直線被橢圓所截得的弦長為，求實數的值．【答案】或.【詳解】解：聯立方程組，整理得，設直線與橢圓的交點為，可得，解得，且，由弦長公式可得，因為直線截橢圓所得的弦長為，所以，解得，即實數的值為或.例題3．（2023秋·甘肅蘭州·高二?？计谀┮阎獮闄E圓內一定點，經過P引一條弦AB，使弦AB被P點平分，求弦AB所在的直線方程及弦長．【答案】；弦長為.【詳解】設弦所在的直線與橢圓相交于、兩點，由于點為弦的中點，則，得，由題意得，兩式相減得，所以，直線的斜率為，所以，弦所在的直線方程為，即；由，可得，所以，所以.精練核心考點1．（2023秋·廣東深圳·高二校考期末）已知橢圓的左?右焦點分別為，過點作斜率為的直線與橢圓交于兩點，若，且，則.【答案】/0.5【詳解】由題意得：，因為，所以為的中點，因為，所以點在線段的垂直平分線上，即上，即點橫坐標為，設，與聯立得：，設，則，故，解得：，因為，所以.故答案為：2．（2023·全國·高三對口高考）在平面直角坐標系中，曲線C上的點P到兩定點的距離之和等于定值4，直線與C交于A、B兩點，若以為直徑的圓過原點O，求k的值．【答案】【詳解】由題設，故曲線C為橢圓且，焦點在y軸上，所以，聯立，整理得：恒成立，由題意，，則，而以為直徑的圓過原點O，所以，故，可得.3．（2023·全國·高三專題練習）已知，若，求的值．【答案】【詳解】由，得，恒成立，則，，則，整理得，即，所以或（舍），即.題型六：重點考查求橢圓中弦長典型例題例題1．（2023·全國·高二專題練習）橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓經過點且短軸長為2.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點且傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點，求線段的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意設橢圓的方?為，因為橢圓經過點且短軸長為2，所以，所以橢圓的標準方程為.（2）由已知得直線的方程為，設，將直線代入，得，易得，所以，，所以.

例題2．（2023·全國·高二專題練習）橢圓C的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，橢圓C經過點且長軸長為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點且斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求弦長|AB|．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意設橢圓C的方程為，因為橢圓經過點且長軸長為，所以，所以橢圓C的標準方程為.（2）由已知設直線l的方程為，設，.將直線代入，得，所以，，.例題3．（2023秋·陜西商洛·高二?？计谀┮阎獧E圓的離心率為，焦距為，斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點，.(1)求橢圓的方程；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得,解得,，，∴橢圓的方程為.（2）因為，所以設直線的方程為，，.聯立得得，又直線與橢圓有兩個不同的交點，所以，∴∴，∴故當，即直線過原點時，最大，最大值為.精練核心考點1．（2023·江蘇·高二假期作業）如圖，已知斜率為－2的直線經過橢圓C：的左焦點，與橢圓相交于A，B兩點，求：

(1)線段的中點M的坐標；(2)的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知橢圓的左焦點的坐標為,直線的方程為,聯立,消去,得,設,,得,,設線段的中點M的坐標為，,點M的坐標為.（2）.2．（2023春·內蒙古阿拉善盟·高二阿拉善盟第一中學?？计谥校┮阎獧E圓中，，離心率.(1)求橢圓的方程；(2)設直線與橢圓交于、兩點，求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題知，，即，又，解得，所以橢圓方程為.（2）設，，聯立直線與橢圓方程得，整理得，則，，.所民認.3．（2023春·四川內江·高二四川省內江市第六中學?？茧A段練習）已知橢圓E：的離心率為，且過點.(1)求橢圓E的方程；(2)若直線m過橢圓E的右焦點和上頂點，直線l過點且與直線m平行.設直線l與橢圓E交于A，B兩點，求AB的長度.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知，，所以，，設橢圓E的方程為.將點的坐標代入得：，，所以橢圓E的方程為.（2）由（1）知，橢圓E的右焦點為，上頂點為，所以直線m斜率為，由因為直線l與直線m平行，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即，聯立，可得，，，，所以.題型七：重點考查根據橢圓中弦長求參數典型例題例題1．（多選）（2023秋·高二課時練習）已知橢圓與直線交于兩點，且，則實數＝（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】由消去并整理，得設，則.由題意得，即，解得．故選：AD.例題2．（2023春·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學校?？茧A段練習）如圖，直線與橢圓交于、兩點，記的面積為.(1)若線段的中點為，求此時直線的方程；(2)當，時，求直線的方程.【答案】(1)(2)或或或【詳解】（1）解：設點、，若直線與坐標軸垂直，則線段的中點在坐標軸上，不合乎題意，所以，，，由，兩個等式作差可得，即，所以，，故直線的方程為，即.（2）解：設點、，聯立可得，，可得，由韋達定理可得，，所以，，①原點到直線的距離為，由，②聯立①②可得，因此，直線的方程為或或或.例題3．（2023春·廣東深圳·高二?？茧A段練習）點到定點的距離和它到定直線的距離之比為.(1)求點的軌跡方程.(2)記點的軌跡為曲線,若過點的動直線與的另一個交點為,并且滿足:原點到的距離為,弦長,求直線的方程.【答案】(1).(2).【詳解】（1）設,點到定直線的距離為.由題意可得:,即,整理化簡得:.即點的軌跡方程為.（2）設.當直線的斜率不存在時,由原點到的距離為,由對稱性不妨設直線:.所以滿足,解得:,所以（舍去）.當直線的斜率存在時,可設.

因為原點到的距離為,所以,即,則滿足,消去可得:,,因為,所以恒成立.則.所以.因為,所以.化簡得:,解得:,所以,直線的方程為:.綜上所述:直線的方程為:.精練核心考點1．（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學校考期末）已知橢圓C：的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為2.（1）橢圓C的方程；（2）設直線l：交橢圓C于A，B兩點，且，求m的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）由題意可得，解得：，，橢圓C的方程為；（2）設，聯立，得，，，，解得.2．（2023·全國·高二專題練習）橢圓E的方程為，短軸長為2，若斜率為的直線與橢圓E交于兩點，且線段的中點為.(1)求橢圓E的方程；(2)若直線l：與圓相切，且與橢圓E交于M，N兩點，且，求直線l的方程.【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）由題意得：，所以，設，因過點且斜率為-1的直線與相交于兩點，且恰好是的中點，則，所以.又A，B兩點在橢圓上，則.兩式相減得：，所以，所以，又，得，所以，故橢圓方程為；（2）直線l：與圓相切，故，即，聯立與得：，設，則，，則，將代入上式得：，解得：，因為，所以，故，則，所以直線l的方程為或.3．（2023春·上?！じ叨ｎ}練習）已知焦點在y軸上的橢圓C，過點，離心率直線l:被橢圓C所截得的弦長為，(1)求橢圓C的標準方程；(2)求實數的值.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因為橢圓C的焦點在y軸上，且過點，則橢圓C的短半軸長為2，設其長半軸長為，由離心率得：，解得，所以橢圓C的標準方程是.（2）由消去y并整理得：，有，即，設直線l被橢圓C所截弦的端點，于是，，解得，滿足條件，所以.題型八：重點考查橢圓中四邊形面積典型例題例題1．（2023秋·廣東深圳·高二統考期末）已知橢圓與雙曲線的交點分別為，則四邊形的面積為．【答案】【詳解】由橢圓和雙曲線的對稱性可得四邊形為矩形，聯立，解得，所以，故答案為：例題2．（2023·高二課時練習）已知橢圓：的長軸長為4，左、右頂點分別為，，經過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點，（不與點，重合）．(1)求橢圓的方程及離心率；(2)求四邊形面積的最大值；【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由題意，得，解得，所以橢圓方程為，，，，則離心率為.（2）當直線的斜率不存在時，由題意，得的方程為，代入橢圓的方程，得，，又因為，，所以四邊形的面積,當直線的斜率存在時，設的方程為，設，聯立方程，消去，得，由題意，可知恒成立，則，，四邊形的面積令，則四邊形的面積，，所以，綜上所述，四邊形面積的最大值.例題3．（2023·全國·高二專題練習）已知圓，圓，動圓與圓相外切，與圓相內切.(1)求動圓的圓心的軌跡方程；(2)過點的兩直線，分別交動圓圓心的軌跡于、和、，.求四邊形的面積.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設動圓的半徑為，，∴，，∴，∴是以，為焦點，以為長軸長的橢圓，可設方程為，則，，∴的軌跡方程是；（2）

設，（為0時不符合題意），，，聯立與橢圓的方程得：，，∴，同理設，不為0，可得，∴，∴，不妨取，，此時，∴而，同理，∴.精練核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）垂直于y軸的直線與橢圓C：交于左右A、B兩點，垂直于x軸的直線與橢圓C：交于上下C、D兩點，則四邊形ACBD面積的最大值為（

）A．15 B．60 C．30 D．不是一個定值【答案】C【詳解】，故.故選：C2．（2023·高二課時練習）已知橢圓上有點，關于軸對稱點為，關于軸對稱點為，關于原點對稱點為，求四邊形面積最大值．【答案】【詳解】解：設橢圓上一點，則，由題可得均在橢圓上，且四邊形為矩形，所以矩形的面積為又，即，所以，當且僅當，即時等號成立，所以矩形的面積最大值為.3．（2023春·四川自貢·高二?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，過橢圓M：的右焦點的直線交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為.(1)求橢圓M的方程;(2)C，D為M上兩點，若四邊形ACBD的對角線，求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設，，，則有，又，，兩式相減可得因為，，，所以，又由題意知，橢圓M的右焦點為，故因此，，所以橢圓M的方程為.

（2）由，解得或，因此由，可設直線的方程為，設，，由，得于是，即，，.因為直線CD的斜率為1，所以，由已知，四邊形的面積當時，取得最大值，最大值為.所以四邊形面積的最大值為.題型九：重點考查橢圓中的中點弦問題典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習）已知橢圓方程為，其右焦點為F（4，0），過點F的直線交橢圓與A，B兩點．若AB的中點坐標為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設，代入橢圓的方程可得，．兩式相減可得：．由，，代入上式可得：＝0，化為．又，，聯立解得．∴橢圓的方程為：．故選：C．例題2．（2023·全國·高二專題練習）已知過點的直線，與橢圓相交于A，B兩點，且線段AB以點M為中點，則直線AB的方程是.【答案】【詳解】設，，根據中點坐標公式，，，且，，兩式相減，化簡可得，所以，即直線的斜率為，根據點斜式，得到直線的方程為，即.故答案為：例題3．（2023春·湖北恩施·高二校考期末）已知橢圓：的長軸長為，且短軸長是長軸長的一半．(1)求的方程；(2)已知直線：與橢圓相交于兩點，，求線段的長度；(3)經過點作直線，交橢圓于、兩點如果恰好是線段的中點，求直線的方程．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由題意可得，可得，，所以橢圓的的方程為：；（2）設，，聯立，整理可得，可得，，所以；

（3）設，，由題意可得，，將，的坐標代入可得：，作差整理可得：，即直線的斜率為，所以直線的方程為，即

精練核心考點1．（2023秋·高二課時練習）若橢圓的弦被點平分，則所在直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】若直線軸，則點、關于軸對稱，則直線的中點在軸，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設點、，則，所以，，兩式作差可得，即，即，可得直線的斜率為，所以，直線的方程為，即.故選：B.2．（2023秋·高二課時練習）求所有斜率為1的直線被橢圓所截得線段的中點的軌跡．【答案】點的軌跡是直線在橢圓內的部分達定理得到，消去參數，即可得到軌跡方程.【詳解】

如圖，設直線被橢圓所截得的線段的兩個端點、的橫坐標為、，線段中點為．聯立直線方程和橢圓方程得方程組，消去，并整理得．當判別式，即時，上述方程有兩個不同的實數解，即直線與橢圓的相交線段存在．因為，，從而，這就是中點的軌跡的參數方程（其中）．消去得，，由，及，可得，點的軌跡方程為，，即點的軌跡是直線在橢圓內的部分．3．（2023春·甘肅白銀·高二統考開學考試）已知橢圓的離心率為，是上一點．(1)求的方程；(2)設，是上兩點，若線段的中點坐標為，求直線的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題可知，解得，，，故的方程為．（2）設，，則則，即．因為線段的中點坐標為，所以，，則．故直線的方程為，即．

題型十：重點考查橢圓中參數范圍及最值問題典型例題例題1．（2023春·江蘇南京·高二校聯考階段練習）已知橢圓的長軸長為，且與軸的一個交點是，過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，且滿足，若M為直線AB上任意一點，O為坐標原點，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【詳解】由題意得，則，，所以橢圓方程為，因為，所以在橢圓內，所以直線與橢圓總有兩個交點，因為，所以點為線段的中點，設，則，，所以，所以，所以，即，所以，所以直線為，即，因為M為直線上任意一點，所以的最小值為點到直線的距離，故選：B例題2．（2023秋·河南駐馬店·高二統考期末）已知橢圓的左右頂點分別為A，，橢圓的離心率為，動點在曲線上，且的面積的取值范圍是，過點的直線與橢圓交于，兩點．

(1)求橢圓的方程；(2)若點在第一象限，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由條件，即，，也即，解得，，從而橢圓的方程（2）當直線的斜率不存在時，，，，當直線的斜率存在時，不妨設，，，聯立方程得則，．從而也即恒有．因為點在第一象限，從而從而在內的取值范圍是，綜上，的取值范圍為．

例題3．（2023秋·浙江·高三浙江省春暉中學校聯考階段練習）已知是橢圓的左焦點，過作直線交橢圓于兩點，則的最小值為．【答案】【詳解】如圖，

由橢圓方程可知，，當直線斜率不為0時，設直線，，聯立，得：，，弦長，，，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為；當直線斜率為0時，.綜上，的最小值為.故答案為：精練核心考點1．（2023秋·湖北·高三校聯考階段練習）已知橢圓的左右焦點分別為，則在橢圓C上存在點P使得成立的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設橢圓上一點，設，且，由橢圓的定義知，在中，由余弦定理得又由，當且僅當時，即點為橢圓的短軸的端點時，取得最小值，此時取得最大值，如圖所示，要使得橢圓上存在點使得，根據橢圓的對稱性，可得，在直角中，可得，即，解得又因為，所以，結合選項，可得使得成立的一個充分不必要條件是.故選：A.

2．（2023·全國·高三專題練習）若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上任意一點，則·的取值范圍為.【答案】【詳解】點為橢圓上的任意一點，設，依題意得左焦點，，，，，，，．則．故答案為：．3．（2023春·廣西·高二校聯考期中）已知橢圓C:，過右焦點的直線交橢圓于A，B，若原點O在以AB為直徑的圓上，則a的取值范圍為．【答案】【詳解】已知橢圓，則其右焦點坐標為，則，且，過右焦點的直線交橢圓于A，B，滿足原點O在以AB為直徑的圓上，所以，則設直線AB方程為，則，所以，顯然恒成立，所以，則整理得，所以，又，在單調遞增，所以，所以，解得．故答案為：題型十一：重點考查橢圓中定點問題典型例題例題1．（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓的右焦點為，A、B分別是橢圓的左、右頂點，為橢圓的上頂點，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)設直線與橢圓交于不同的兩點，，點，若直線的斜率與直線的斜率互為相反數，求證：直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題知，，，，由的面積為，得，又，代入可得，，∴橢圓的方程為.（2）聯立得，設，，可得，，由題知，即，即，解得，∴直線的方程為，故直線恒過定點.例題2．（2023·高二課時練習）已知橢圓的左?右焦點分別為?，M是橢圓的上頂點，且是面積為1的等腰直角三角形.(1)求橢圓E的方程；(2)已知直線與橢圓E交于A，B兩點，判斷橢圓E上是否存在點P，使得四邊形OAPB恰好為平行四邊形，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，點P的坐標為【詳解】（1）由已知得，設.是面積為1的等腰直角三角形，∴橢圓E的方程為（2）由題意可設，.聯立整理得，則.根據韋達定理得假設存在點滿足四邊形恰好為平行四邊形，所以.所以，，點P代入橢圓C方程，所以，所以點P在橢圓C上.所以點P的坐標為.精練核心考點1．（2023秋·全國·高二隨堂練習）已知，是過點的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點，與橢圓相交于C，D兩點．(1)求直線的斜率k的取值范圍；(2)若線段，的中點分別為M，N，證明直線經過一個定點，并求出此定點的坐標．【答案】(1)；(2)證明見解析；定點.【詳解】（1）根據題意直線，的斜率均存在且不為0直線，分別為，，聯立得，由得，則或，同理，則，所以k的取值范圍為．（2）設，，由（1）得，所以，則，所以，則，同理，則直線的方程為，化簡整理得因此直線經過一個定點．2．（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓的焦距為，連接其四個頂點構成的四邊形的面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設，是上關于原點對稱的兩點，且，不在軸上，則在軸上是否存在一點，使得直線與直線的斜率積為定值？若存在，求出點的坐標及定值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，，.【詳解】（1）根據題意可得，，而∴，，∴橢圓的方程為；（2）設，，，則根據題意可得，，∴，又，∴，∴當時，，此時點的坐標為.題型十二：重點考查橢圓中定值問題典型例題例題1．（2023秋·高二單元測試）已知橢圓，離心率，過點．(1)求的方程；(2)直線過點，交橢圓與兩點，記，證明．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題得，解得，于是；（2）由題意知直線斜率存在，設直線，聯立方程即，消可得，由，設，韋達定理可得；綜上所述：.例題2．（2023·全國·高二專題練習）已知分別為橢圓的左，右頂點，為其右焦點，，且點在橢圓上．(1)求橢圓的標準方程；(2)若過的直線與橢圓交于兩點，且與以為直徑的圓交于兩點，證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由，可得，解得，又因為，所以，因為點在橢圓上，所以，解得，，，所以橢圓的標準方程為．（2）證明：當與軸重合時，，所以當不與軸重合時，設，直線的方程為，由整理得，則，故圓心到直線的距離為，則，所以，即為定值．精練核心考點1．（2023春·貴州貴陽·高二統考期末）已知橢圓的離心率為為的右焦點，過點作與軸不重合的直線，交于兩點，當與軸平行時，.(1)求的方程；(2)為的左頂點，直線分別交直線于兩點，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）設，當與軸平行時，直線的方程為，則在橢圓上，代入橢圓方程得，又因為離心率，解得.所以的方程為.（2）設，由橢圓的方程得，

當直線斜率不存在時，，直線的方程為，令得，同理.若直線斜率存在時，設直線，聯立得，即，，直線的方程為，令得，同理，則.綜上，得的值為2．（2023秋·四川涼山·高二統考期末）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若，為橢圓的左右頂點，直線交橢圓于，兩點，設直線，的斜率分別為，，求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題意得：且，得，所以橢圓的方程為.（2）證明：由橢圓方程可知，，，設，則且；則，，則，所以為定值.題型十三：重點考查橢圓中定直線問題典型例題例題1．（2023·全國·高二專題練習）已知A，B為橢圓左右兩個頂點，動點D是橢圓上異于A，B的一點，點F是右焦點．當點D的坐標為時，．(1)求橢圓的方程．(2)已知點C的坐標為，直線CD與橢圓交于另一點E，判斷直線AD與直線BE的交點P是否在一定直線上，如果是，求出該直線方程；如果不是，請說明理由．【答案】(1)(2)直線AD與直線BE的交點在定直線上【詳解】（1）設橢圓的右焦點為，左焦點為，，，解得，∴，∴，，，∴橢圓的方程為．（2）由題設，直線DE斜率一定存在，設的直線方程為．聯立橢圓方程，消去得．設，，則，．∴，又，，∴直線AD的方程為，直線BE的方程為．聯立得，∴．又∵，∴．∴直線AD與直線BE的交點在定直線上．例題2．（2023·全國·高二專題練習）已知橢圓的離心率為，且過點，．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于不同的，兩點，且直線，，的斜率依次成等比數列．橢圓上是否存在一點，使得四邊形為平行四邊形？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，或．【詳解】（1）由離心率，可得，所以橢圓的方程為：，將點，代入橢圓的方程可得：，解得，所以橢圓的方程為；（2）由題意可得直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為：，設，，，，聯立，整理可得：，，即，且，，，因為四邊形為平行四邊，與互相平分，所以，因為在橢圓上，則，整理可得：，①又因為直線，，的斜率依次成等比數列，即，即，而，可得，②由①②可得：，，符合△，可得，，所以直線的方程為：或．精練核心考點1．（2023秋·北京·高三東直門中學?？奸_學考試）已知橢圓的離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)當橢圓的焦點在x軸上時，直線與橢圓的一個交點為P（點P不在坐標軸上），點P關于x軸的對稱點為Q，經過點Q且斜率為的直線與l交于點M，點N滿足軸，軸，求證：點N在直線上．【答案】(1)或(2)證明見解析【詳解】（1）當橢圓的焦點在軸上時，，解得，，所以此時橢圓方程為；當橢圓的焦點在軸上時，，所以，解得，所以此時橢圓方程為.（2）

由題意得，橢圓方程為，聯立得，設點，則，所以，故，，所以經過點且斜率為的直線方程為，聯立得，所以，，,又，所以點在直線上.2．（2023·四川成都·校聯考二模）已知和是橢圓的左、右頂點，直線與橢圓相交于M，N兩點，直線不經過坐標原點，且不與坐標軸平行，直線與直線的斜率之積為．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線OM與橢圓的另外一個交點為，直線與直線相交于點，直線PO與直線相交于點，證明：點在一條定直線上，并求出該定直線的方程．【答案】(1)(2)證明見解析，定直線為【詳解】（1）設，，所以，即，由題意知，所以，所以，則橢圓的標準方程為．（2）證明：設直線的方程為：，聯立橢圓的方程，得，所以，則，由根與系數的關系，得，，設，由P，S，三點共線，得，由P，N，三點共線，得，則．所以直線OP的斜率為，則直線OP的方程為，聯立直線OP與直線的方程，可得，解得，