2023-2024學年上海市楊浦區九年級（上）期中數學試卷一、選擇題：（本大題共6題，每題3分，滿分18分）1．如果、均不為零），那么下列四個結論中，正確的是A． B． C． D．2．在中，，，那么下列結論正確的是A． B． C． D．3．下列兩個三角形不一定相似的是A．有一個內角是的兩個等腰三角形 B．有一個內角是的兩個等腰三角形 C．有一個內角是的兩個等腰三角形 D．有一個內角是的兩個等腰三角形4．下列說法中，正確的是A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么 C．如果，那么 D．如果為非零向量），那么5．如圖，已知點、分別在的邊、的延長線上，下列給出的條件中，不能判定的是A． B． C． D．6．如圖，在中，點、分別在邊、上，四邊形是平行四邊形，點、在邊上，交于點．甲、乙兩位同學在研究這個圖形時，分別產生了以下兩個結論：①；②．那么下列說法中，正確的是A．①正確②錯誤 B．①錯誤②正確 C．①、②皆正確 D．①、②皆錯誤二、填空題：（本大題共12題，每題3分，滿分36分）7．已知，那么．8．已知點是線段的黃金分割點，，如果，那么．9．已知向量與單位向量方向相反，且，那么（用向量的式子表示）．10．如果兩個相似三角形對應邊之比是，且較小的三角形的周長是12，那么較大三角形的周長是．11．在中，，，，那么．12．如圖，已知，，，，那么．13．如圖，是洞孔成像原理的示意圖，物體物像，根據圖中標注的尺寸，如果物體長，那么物像的長度是．14．已知如圖，點是的重心，過點作，分別交、于點、，那么．15．已知在與中，，，，且，那么度．16．如圖，已知在中，點在邊上，，，那么的值是．17．在中，，點是邊上的一點，線段將分成兩個小三角形，如果這兩個小三角形是相似三角形，且相似系數等于2，那么線段的長是．18．如圖，已知在中，，，，點是邊上一點，將沿著翻折，點落在點處，連接，如果，設與邊交于點，那么的值是．三、解答題：（本大題共7題，滿分46分）19．（5分）計算：．20．（5分）如圖，在平行四邊形中，點是邊的中點，與對角線交于點，設，．（1）用向量、表示向量；（2）在圖中求作向量分別在、方向上的分向量．（不寫作法）21．（5分）如圖，在中，點是邊上一點，分別交延長線、邊于點、，，交于點，，求證：．22．（5分）如圖，已知在中，，，點是邊的中點，連接，求的正弦值．23．（8分）已知：如圖，在中，點、分別在邊、上，，平分．（1）求證：；（2）如果，求證：．24．（8分）已知：如圖，在中，點是邊上的一點，連接，．（1）求證：；（2）過點作，垂足為點，，點在邊上，，求的值．25．如圖，已知在中，，，點、在邊上（點在點右側，點不與點重合），，過點作，交的延長線于點．（1）當時，求線段的長；（2）設，，求關于的函數解析式，并寫出的取值范圍；（3）連接，如果與相似，求的長．

2023-2024學年上海市楊浦區九年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題3分，滿分18分）1．如果、均不為零），那么下列四個結論中，正確的是A． B． C． D．解：，，所以、、選項不符合題意，選項符合題意．故選：．2．在中，，，那么下列結論正確的是A． B． C． D．解：，令，，，，，，，．故選：．3．下列兩個三角形不一定相似的是A．有一個內角是的兩個等腰三角形 B．有一個內角是的兩個等腰三角形 C．有一個內角是的兩個等腰三角形 D．有一個內角是的兩個等腰三角形解：、有一個內角是的兩個等腰三角形，因為是等腰三角形的頂角與底角不能確定，則兩個三角形不一定相似，故此選項符合題意；、有一個內角是的兩個等腰三角形都是等邊三角形，兩個等邊三角形相似，故此選項不合題意；、有一個內角為的兩個等腰三角形，一定相似，故此選項不合題意；、有一個內角是的兩個等腰三角形，一定相似，故此選項不合題意．故選：．4．下列說法中，正確的是A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么 C．如果，那么 D．如果為非零向量），那么解：如果和是相反向量，那么，故選項錯誤；如果和是平行向量，那么和方向相同或相反，模不一定相等，故選錯誤；由無法得到，因為方向不一定相同，故選項錯誤；如果為非零向量），那么，正確，故選：．5．如圖，已知點、分別在的邊、的延長線上，下列給出的條件中，不能判定的是A． B． C． D．解：，，選項正確；不能判定，選項不正確；，，選項正確；，，選項正確．故選：．6．如圖，在中，點、分別在邊、上，四邊形是平行四邊形，點、在邊上，交于點．甲、乙兩位同學在研究這個圖形時，分別產生了以下兩個結論：①；②．那么下列說法中，正確的是A．①正確②錯誤 B．①錯誤②正確 C．①、②皆正確 D．①、②皆錯誤解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，故①正確，，，，，，，故②正確，故選：．二、填空題：（本大題共12題，每題3分，滿分36分）7．已知，那么．解：，．故答案為：．8．已知點是線段的黃金分割點，，如果，那么．解：設，根據題意得：，解得：，則．故答案為：．9．已知向量與單位向量方向相反，且，那么（用向量的式子表示）．解：向量與單位向量方向相反，且，．故答案為：．10．如果兩個相似三角形對應邊之比是，且較小的三角形的周長是12，那么較大三角形的周長是18．解：兩個相似三角形對應邊之比是，相似比為：，周長比為：，較小三角形的周長為12，較大三角形的周長為：．故答案為：18．11．在中，，，，那么10．解：，令，，，，，．故答案為：10．12．如圖，已知，，，，那么．解：，，即，解得：，．故答案為：．13．如圖，是洞孔成像原理的示意圖，物體物像，根據圖中標注的尺寸，如果物體長，那么物像的長度是．解：，，，，．故答案為：．14．已知如圖，點是的重心，過點作，分別交、于點、，那么．解：連接并延長交于一點，點是的重心，，，，，，，．故答案為：．15．已知在與中，，，，且，那么90度．解：，，，，又，，，故答案為：90．16．如圖，已知在中，點在邊上，，，那么的值是．解：過作于，如圖：設，，，，，，，，即，解得，，，，，在中，，；故答案為：．17．在中，，點是邊上的一點，線段將分成兩個小三角形，如果這兩個小三角形是相似三角形，且相似系數等于2，那么線段的長是．解：如圖，不可能等于或，與相似時，，當時，，不合題意，舍去；當時，或，當時，，，，解得，當時，，，，解得，綜上所述，的長為．故答案為：．18．如圖，已知在中，，，，點是邊上一點，將沿著翻折，點落在點處，連接，如果，設與邊交于點，那么的值是．解：如圖，將沿著翻折，點落在點處，，，，，，，，，，，，連接交于，，，，，，，，，，，故答案為：．三、解答題：（本大題共7題，滿分46分）19．（5分）計算：．解：原式．20．（5分）如圖，在平行四邊形中，點是邊的中點，與對角線交于點，設，．（1）用向量、表示向量；（2）在圖中求作向量分別在、方向上的分向量．（不寫作法）解：（1）四邊形是平行線四邊形，，，，，點是邊的中點，，，，，，，，；（2）如圖所示，．21．（5分）如圖，在中，點是邊上一點，分別交延長線、邊于點、，，交于點，，求證：．【解答】證明：，，，，，，，，．22．（5分）如圖，已知在中，，，點是邊的中點，連接，求的正弦值．解：過作于，過作于，如圖：，，，，，點是邊的中點，，，是的中位線，，，，在中，，，即．23．（8分）已知：如圖，在中，點、分別在邊、上，，平分．（1）求證：；（2）如果，求證：．【解答】證明：（1），，，，，平分，，，，，，，，，；（2），，，，，又，，，即，又，．24．（8分）已知：如圖，在中，點是邊上的一點，連接，．（1）求證：；（2）過點作，垂足為點，，點在邊上，，求的值．【解答】（1）證明：如圖，過點作于點，，，；（2）解：，，，，，，，，（負值舍去），，，，，，．25．如圖，已知在中，，，點、在邊上（點在點右側，點不與點重合），，過點作，交的延長線于點．（1）當時，求線段的長；（2）設，，求關于的函數解析式，并寫出的取值范圍；