模塊卷（一）

時間：110分鐘分值135分

立體幾何

一、選擇題:本題共11小題,每小題5分，共55分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.某幾何體的正視圖和側視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是（）

答案D由于該幾何體的正視圖和側視圖相同,且上部分是一個矩形，矩形中間無實線和虛線，因此俯視圖

不可能是D.

2.已知正三角形力史的邊長為a,那么△/!比■的平面直觀圖八川夕右的面積為（）

答案D圖①②分別表示正三角形的實際圖形和直觀圖.

由斜二測畫法可知,4夕=48=2。匕'=；。仁=￥2

在圖②中作U'O'14'8于則C'D'^-O'C^a.

二￡4夕(7=豺夕,CD《xax絡a=^#.

方法總結平面圖形與其直觀圖的面積關系如下：

根據水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測畫法規則即可得到平面圖形的面積是其直觀圖面積的2企倍.

3.如圖，長方體力3848￡4的體積是36,點F在棱CG上，且U￡=2fG,則三棱錐&5C。的體積是

)

A.3B.4C.6D.12

答案B因為長方體力的體積是36,

所以BC-CD-UG=36,又點￡在棱UG上，且CE=2EQ,

所以三棱錐后灰7。的體積是gx^xBCCD).EC

=|xgxBC-CD)-^CCi=^BC-CD-CG=1x36=4.

故選A

思路分析由錐體的體積公式可得三棱推的體積為CDUG,結合長方體/8S4&G2的體積是

36可得結果.

4.如圖，在三棱柱中底面ABC.ABVBC,AA^AC^2,^4c與側面員8所成的角

為30：則該三棱柱的側面積為()

刀

A.4+4V2B.4+4V3C.12D.8+4或

答案A連接力18.因為A4il底面/8C所以//1I8C又所以8c平面氏

所以直線4U與側面力4氏8所成的角為/Oh8=30。.又44二月回2,所以A\C=2五,BC二五又ABVBC,

所以二四，貝I」該三棱柱的側面積為2x72x2+2x2=4+472.

方法總結不同類型的幾何體表面積的求法.

求多面

體的表只需將它們沿著棱"剪開"展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積

面積

求旋轉

可以從旋轉體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積,但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應

體的表

側面展開圖中的邊長關系

面積

求不規

則幾何通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求

體的表和或作差,求出所給幾何體的表面積

面積

5.(2020上海普陀一模,15)已知兩個不同的平面劣￡和三條不重合的直線己力卻下列命題中正確的是

()

A.若a4"。”=6則a//b

B.若a,6在平面a內，且c_La,c_Lb,則da

C.若是兩兩互相異面的直線，則只存在有限條直線與a,6,c者阱目交

D.若分別經過兩異面直線a,b,且an￡=c則c必與a或6相交

答案D對于選項A,若aii/an￡=6,則直線a也可能與直線6異面，故錯誤.

對于選項B,只有當直線a和6為相交直線時，若cla,cl8則cla.故錯誤.

對于選項C,若a,6,c是兩兩互相異面的直線，則要么存在一條直線或不存在直線與a,6,c都相交.故錯誤.

對于選項D,若a/分別經過兩異面直線a,6且an￡=c則c必與a或6相交,正確.

故選D

6.(2020黑龍江大慶實驗中學復學考試,5)在正方體/18C24&G。!中，例/V分別是線段ZI8i,3G的中點，

以下結論:①直線8。一直線用2②直線例/V與直線?異面;③直線用平面3。。員;④例/V考44,其

中正確的個數是()

A.lB.2C.3D.4

答案C本題主要考查正方體的性質，線面垂直的判定與性質以及平行公理,考查的核心素養為邏輯推理

和直觀想象.

過用作ME1ABT￡過/V作NFLBC于￡連接￡￡由于例/V分別為的中點故

用田爐G耳眄口??四邊形例/V任為平行四邊形,.??例歷又EF：SAC,

..MN：：4C故結論②錯誤;

??,ACLBD,AC1BBL8DCB;.ACL平面BDDiB^.ACl/EF.EFiiMN,：.ACiiMNr.MN]礴

8。。員，故結論③正確;由例/V」平面BD6區可知例/V」_8。故結論①正確;由正方體的性質可知

〃=04〃.⑨2=4多0當14,故結論④正確.綜上所述，正確結論的個數為3.故選C.

7.在棱長均相等的四面體043C中，例/V分別是棱O48U的中點，則異面直線MN與所成角的大小為

（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案B取03的中點828的中點Q連接松戶/VUQOQ

由中位線定理可知MPHAB.PNiiOC.

則/必例:或其補角）為異面直線MN與48所成的角.

因為MPiiAB.PNiiOCQQ[AB,CQ1_AB,

且CQr\。小Q所以481平面OCQ,

貝IJ48LOC所以"以，也

因為四面體O/3C的棱長均相等，所以PM=PN,

所以△MPN為等腰直角三角形，

所以/PMN=45°,

故選8

名師點睛本題考查了異面直線所成角的求法，以及線面垂直的判定.

8.（2020四川遂寧三診,7）用六個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫正六面體.已知正六面體

ABa>A\B\C\6的棱長為4,則平面ABM與平面3G。間的距離為（）

A.V3B.當C.竽D.2V3

答案C由題意知正六面體48s481G2是棱長為4的正方體，

'AB\IIDCi,BiDiiiBD,AB\nBiDi=Bi,QDCBD=-D,

二平面ABiDi/I平面BCiD,

連接4c可得4cl平面4&44G平面BQD.

設垂足分別為￡￡則平面與平面8G。間的距離為樂的長.

正方體的體對角線4c的長為V42+42+42=46.

在三棱錐A^-ABXDY中，由等體積法求得抖/”代嘩

興今X4J2X4/2X竽$

二平面四功與平面陷。間的距離為46-竽=孚

故選C.

9.(2020北京石景山一模,10)點例/V分別是棱長為2的正方體45S4員G2中棱5CCG的中點，動點

戶在正方形員工員(包括邊界)內運動.若外1I平面力仞V則以1的長度范圍是()

A.[2,V5]

B悸網

q挈,3]

D.[2,3]

答案B本題考查線面平行與空間向量的應用，考查學生運用數形結合的思想方法解決幾何問題的能力,

滲透直觀想象與數學運算的核心素養.

如圖所示，以。為坐標原點建系，則。(0,0,0),42,0,0),例：120),乂0,2,1),4(2,0,2).設f\m,2,欣ivmw2,0

<n<2).

故箱=(-120),麗=(-1,0,1),北=("2,2,"-2),

設平面/A4/V的法向量為n=(x,y,R.

y

:27no'令42則y^l,z=2.

所以77=(2,1,2),

因為PAX平面4用/V所以審"=0.

故罰-n=(m-2,2,n-2)-(2,1,2)=0,S^m+n-3,

設線段&8、81G的中點分別為E、斤因而點P在線段用上，根據圖形對稱性(當點戶與點￡或尸重合

時,|〃h|max=點當點P為線段爐的中點時,|外1隔=挈，故選B.

解題關鍵建立空間直角坐標系，通過計算確定點。的軌跡是解題的關鍵.

10.(2020湖北省部分重點中學聯考二,12)如圖，已知四面體48。的各條棱長均等于4,￡尸分別是棱AD、

8c的中點.若用一個與直線用垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面a去截該四面體，由此得到一個多

邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為()

A.3V2B.4C.4V2D.6

答案B將正四面體補成正方體如圖,

可得平面BG且正方形C"8G的邊長為2企，

由于EF\_a故截面為平行四邊形MNKL,且KL+KN=4,

又KLIIBC,KN!i4。且ADLBC,:.KN^KL,

.SMNKL=KN-心?”產了=4,當且僅當KL=KN=2時取等號,所以該多邊形截面面積的最大值為4.

故選A

思路分析

不等式即可求出答案.

11.（2020湖南衡陽八中適應性考試,12）如圖所示，在△力員7中/8=BC=2Z>156=120=若平面/8C外的點

戶和線段上的點。滿足陽ZM戶8=班,則四面體"BCO的體積的最大值為（

A.1B.|C.|D.l

答案B因為/8=8U=2,NXI5U=120：

所以AC=V22+22-2x2x2cosl20°=2V3,

NACB=/S8=30：

設O%則DP=x,DC-2\l3-x,

設P到平面8。的距離為力則h&PD=x,

貝!I5"=?80<"><5話/0=?2乂（2屈渴匚磬

貝！IV四面體PBCD=\^S\BCDX力蕓XXxx="i（X-V3）2+1,

33ZOL

所以當mV5時,四面體夕8。的體積取得最大值，為今

故選8

思路分析根據題意，設力慶％表示出△8。的面積，進而表示出四面體外。的體積根據二次函數的性質

即可求得戶8。的體積的最大值.

二、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

12.將圓錐的側面展開后得到一個半徑為2的半圓，則此圓錐的體積為.

答案骨

解+析設圓錐的底面半徑為，母線長為/高為方,則/=2,

由題意可知刀/=如由勾股定理得力=廬/=①

因此，該圓錐的體積為彳（西亭,12x75=乳

思路分析設圓推的底面半徑為/;母線長為/高為九由題意得出/=2,根據圓錐底面圓周長等于展開后半圓

的弧長得出。再由勾股定理得出力的值，最后利用推體的體積公式計算出圓錐的體積.

13.（2020山東濰坊臨胸一模,16）三棱推的4個頂點在半徑為近的球面上,24―平面ABC,ABC

邊長為V5的正三角形，則點4到平面的距離為

答案I

解+析將三棱錐2/I8C補成三棱柱，如圖.上、下底面中心Q、Q所連線段的中點。為外接球的球心,

易知/W=?8=|〃./Q=|z/V=|xM=l,「.OQ=y5^57=VFT=L，%=2Oa=2,

設力到平面國U的距離為a

則由VA-PBC=16M8c得:/SKPB.3PA-S匕ABG

.弓竭8cxPN*PAgBCxAN,

?'^4/xix^/3xj=ix2xix^/3x2.-.（y=5/

故點力到平面外u的距離為名

思路分析補成三棱柱后找到外接球的球心，計算外，再利用等體積法可得.

14.（2020湖北襄陽五中、夷陵中學4月聯考,16）三棱錐S-/8U中，點。是RtZ\4&7斜邊上一點，給出下

列四個命題：

①若91上平面則三棱錐548U的四個面都是直角三角形；

②若AC=BC=SC=2,SC_平面則三棱錐S-4"的外接球表面積為12n;

③若/C=3,5C=4,SC=V5,Sffi￥0上的射影是△/紀內心廁三棱錐3c的體積為2;

④若AC^,BC=A,SA^3,SALW^4力則直線"S與平面S5C所成的最大角為45：

其中正確命題的序號是.（把你認為正確命題的序號都填上）

答案①②④

解+析對于①，因為以一平面Z8C所以SALAC,SAVAB.SALBC,5i8cLzc所以平面夕I。所以

BQSC故四個面都是直角三角形〃?.①正確；

對于②，若ZU=8U=5C=2,5cl平面/8G?.三棱錐S-Z8U的外接球可以看作棱長為2的正方體的外接

球」2/?=2百"?.外接球表面積為12n〃?.②正確；

對于③，設△/§右的內心是。連接5。則5。一平面/sc連接。。則有sa+OC=SG又內切圓半徑

々匏3+4-5）=1，所以"=四則S0=SC-Oe=5-2=3,故SO島.三棱錐的體積匕阻

ABC-SO；x：x3x4xg=2W.③不正確;

對于④二91=3,平面48C則直線0S與平面S8U所成的角最大時〃點與Z點重合，在RtA5C4中,tan

/ZSC4=L」"/ISU=45:即直線AS與平面55c所成的最大角為45。二④正確.

15.（2020山西太原4月模擬（一）,15）在如圖所示的實驗裝置中，正方形框架的邊長都是1,且平面ABCDLW-

面歷活動彈子例/V分別在正方形對角線ZC8尸上移動，若。儂8V則例/V長度的最小值為.

答案烏

解+析本題主要考查面面垂直的性質,平行線分線段成比例的應用，求二次函數的最值等基礎知識,考查學

生的邏輯思維能力和運算求解能力，考查的核心素養為邏輯推理、數學運算.

過例作MQL項于Q連接QM..平面平面48歷且交線為/瓦.?.例Q,平面ABEF,又QNu平面

ABEF,:.MQLQN設3=82=疑＜a〈?廁AM=NF=&-a;:MQlAB,：.MQ*%嚶=管=怒又知

CM=BN,AM=NF,AC=BF,:黑=空=槳,:.QN§且Q/V=魘同理,Q例=1摹在Rt4MQN

nD/ICDrZZ

中,M/V=,QN2+QM2=］照a）+（1-孝a）=Ja2-Ha+l=j（a-苧）+去3=竽時,例/V

取得最小值孝.即用2長度的最小值為手.

解后反思解決本題的關鍵是把求最小值問題轉化為求二次函數的最值.

三、解答題:共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.（12分）如圖所示，已知P是。48C。所在平面外一點,M、/V分別是48/很中點平面PAD^平面PBC=Z

Q）求證:///BC.

（2）例/V與平面4"是否平行?試證明你的結論.

解+析Q）證明:因為BCAD,BQ平面PAD.ADc平面PAD,

所以8G平面PAD.

又因為平面戶平面PAg,

所以BCH/.

⑵平行證明如下:取戶。的中點￡連接力￡“￡可以證得NE/例且NE=AM.

可知四邊形為例/VE為平行四邊形.

所以MN：：力￡又因為MN^平面APD.AEc平面力也所以MN；平面APD.

17.（12分）（2020福建南平質檢一,19）如圖，在幾何體/8L431G中,四邊形為矩形,44#UG且

44=2CG,￡為力員的中點.

（1）求證:8平面4氏G;

⑵若平面力8814人平面ABC.ABLBC,AB=BC=CG=2,求三棱錐E-ACC1的體積.

解+析⑴證明:如圖，取的中點￡連接EFFQ,

:E為ABT的中點,.ifF,*4/且EF^AxA,

CCiS.AAi=2CCi,

??.EFNUG且仔三CG,即四邊形"GC為平行四邊形,

:gCiF.

.?UR平面4仇G,G丘平面48iG,

:.CEn平面48iG.

(2).?平面2%41平面28c交線為加且AAxlAB,

..44_L平面ABC,

:AA1；；CG,.?.y!_!_平面ABC,

:BBi1/CCi,BBid平面AiCiC,CCici平面4GC

%平面4GC

"^E-ACCi=2%「4CC]=2^B-ACCi^CfABC

111cc今2

=2X3X2X2X2X2=3-

思路分析(1)取48i的中點￡連接￡7/G,證明CEnG￡即可證明線面平行；

(2)根據二棱推的等積法得％-4CC[=4%]-4CCi=3%-4CCI即可求解.

18.(12分)(2020北京東城二模,16)如圖①，四邊形ABCD電AD*BC,CDLBC,BC=CA\,AA2,E為AD

中點.將△48F沿跳折起到△48F的位置，如圖②.

(1)求證:平面4￡81平面Ag

⑵若/4￡。=90:求4c與平面48。所成角的正弦值.

A

解+析(1)證明:因為四邊形中/。'BC,CD[BC,BC=1,A82,E為4。中點，所以BELAD.

故題圖②中,8￡上4￡8￡1DE.

又因為4FADE=EAEDEc平面AXED,

所以8F1平面4。￡

又因為BEc平面AiEB,

所以平面平面A、ED.

(2)由/41￡。=90得

又A\EIBE,BE1DE,

因此，建立如圖所示的空間直角坐標系E-xyz.

由A、E=CD=DE=\,

得A(0,0,l),5(l,0,0),qi,l,0),2X0,1,0),

則曜=(1,0,-1),砧=(0,L-l).

設平面45。的法向量為"=(%yZ,

則『史=0,即匕-;：,

{n-A1D=0,(y-z—0,

令介1,得ml,片L

所以〃=(LL1)是平面48〃的一個法向量.

易知砧=(1,1,-1),

設直線4c與平面45。所成角為a

所以sin比|cos<〃,碇>|=解=最

思路分析(1)在題圖①中證明b￡L/l。可得在題圖②中,8￡L4￡3￡L。￡然后證明8￡1平面即可

證明平面AXEB__平面AiED.

(2)建立以F為原點,￡氏￡41所在直線分別為x軸/軸,z軸的空間直角坐標系求出平面43。的一

個法向量,結合卡=Q,L-1),利用空間向量的數量積即可求解直線4c與平面45。所成角的正弦值.

19.(12分)(2020貴州貴陽一中月考一,17)如圖,多面體力8。斤中,四邊形48。是平行四邊形為

鈍角,四邊形力尸E。為直角梯形/￡)且AF=2,DE=4BF=2?AB=2,BC=2.

(1)求證4cL

(2)若點尸到平面。上的距離為國,求直線尾與平面所成角的正弦值.

解+析(1)證明:在△48尸中/F=43=2,BF=2V2,

所以2尸+4所=8尸,所以48」一ZE

又因為AF\_AD,ABr\AD=A,

所以平面力因為AFiiDE,

所以OEL平面所以DEVAC,

在平行四邊形ABCD中/5=3c=2,所以平行四邊形力8。為菱形，

所以ACl8。又BDCDE=D,

所以4G平面BDE,又BEc平面5。￡所以AC1BE.

(2)如圖，設ZU與8。交于點O,

因為力。￡平面8DE且垂足為。所以/CEO為直線紇與平面8DF所成角.

因為AFiiDE.AF1平面CDE.DEc平面。￡所以AFii平面CDE,

所以點尸到平面。立的距離等于點力到平面。上的距離.

由Q)知。一平面ABCD5L直紀平面ECD.

所以平面ABCD\平面37。且交線為CD.

過/作AHV則AHV平面ECD,

所以44=舊廁/4。”哼

易知ZBD*QC聾C加痘,

DEC中,EC^y/DC2+DE2=2低

所以sin/OEC=^=^^-.

所以直線尾?與平面坑?￡所成角的正弦值為嗜.

名師點睛本題考查了空間線線垂直的證法，考查線面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中

檔題.

思路分析（1）利用勾股定理的逆定理證得力8上結合/尸1_4。證得平面根據線線平行證得

。。平面43。由此證得OE1ZC判斷出四邊形4