人教B版高一暑假作業2：函數及其基本性質一、單選題（本大題共8小題，共分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知函數的定義域為，則函數的定義域為(

)A. B. C. D.2.下列選項中是同一個函數的為

(

)A.， B.，

C.， D.，3.下列四個函數中，在上為增函數的是

(

)A. B. C. D.4.函數的圖象大致為(

)A. B.

C. D.5.已知函數，且，則(

)A. B. C. D.6.在用二分法求方程在內近似根的過程中，已經得到，，，則方程的根落在區間(

)A. B. C. D.不能確定7.已知函數為定義在上的偶函數，在上單調遞減，并且，則實數的取值范圍是(

)A. B.

C. D.8.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節流，現要從這些邊角料上截取矩形鐵片如圖中陰影部分備用，當截取的矩形面積最大時，矩形相鄰兩邊長，應為

(

)

A.， B.，

C.， D.，二、多選題（本大題共4小題，共分。在每小題有多項符合題目要求）9.已知函數關于函數的結論正確的是(

)A.的定義域為 B.的值域為

C.若，則的值是 D.的解集為10.已知函數的定義域是，且在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，則以下說法一定正確的是(

)A.

B.

C.在定義域上有最大值，最大值是

D.與的大小不確定11.已知函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，若，則在區間上(

)A.方程沒有實數根

B.若函數單調，則必有唯一的實數根

C.方程至多有一個實數根

D.若函數不單調，則至少有一個實數根12.德國數學家狄里克雷在年時提出：“如果對于的每一個值，總有一個完全確定的值與之對應，那么是的函數．”這個定義較清楚地說明了函數的內涵．只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個，有一個確定的和它對應就行了，不管這個法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示，例如狄里克雷函數，即：當自變量取有理數時，函數值為；當自變量取無理數時，函數值為下列關于狄里克雷函數的性質表述正確的是(

)A. B.的值域為

C.為奇函數 D.三、填空題（本大題共4小題，共分）13.已知是奇函數，當時，，則的值是

．14.若函數的定義域是，則函數的定義域為

．15.已知是定義域為的奇函數，在上的圖象如圖所示，則的單調遞增區間為

．

16.某城市出租車按如下方法收費：起步價元，可行含，到含每走加價元，后每走加價元，某人坐該城市的出租車走了，他應交費

元四、解答題（本大題共6小題，共分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.本小題分若函數滿足，求．18.本小題分

求函數的定義域；

已知，求的解析式．19.本小題分已知冪函數為偶函數．求的解析式；若

在上不是單調函數，求實數的取值范圍．20.本小題分

已知函數是定義在上的偶函數，當時，．

當時，求函數的解析式；

用定義證明函數在區間上是單調增函數．21.本小題分

近年來，霧霾日趨嚴重，我們的工作、生活受到了嚴重的影響，如何改善空氣質量已成為當今的熱點問題．某空氣凈化器制造廠，決定投入生產某型號的空氣凈化器，根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統計規律：每生產該型號空氣凈化器百臺，其總成本為萬元，其中固定成本為萬元，并且每生產百臺的生產成本為萬元總成本固定成本生產成本銷售收入萬元滿足，假定該產品產銷平衡即生產的產品都能賣掉，根據以述統計規律，請完成下列問題：

求利潤函數的解析式利潤銷售收入總成本；

工廠生產多少百臺產品時，可使利潤最多？22.本小題分

已知關于的方程有兩個不等實根．

Ⅰ求實數的取值范圍；

Ⅱ設方程的兩個實根為，，且，求實數的值；

Ⅲ請寫出一個整數的值，使得方程有兩個正整數的根結論不需要證明

答案和解析1.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查抽象函數的定義域，屬于基礎題．

直接利用函數的定義域，解不等式即可．【解答】解：由函數的定義域為，知，所以在函數中，，解得：，所以函數的定義域為，故選：2.【答案】

【解析】【分析】本題考查了判斷兩個函數是否為同一函數的問題，屬于基礎題．

判斷兩個函數是否為同一函數，應判定它們的定義域、值域以及對應關系是否相同，由于值域由定義域和對應法則確定，所以對選項中各組函數的定義域和對應法則進行比較即可得解

【解答】解：對于選項，的定義域為，的定義域為，不是同一個函數；

對于選項，，定義域、值域和對應關系均相同，是同一個函數；

對于選項，的定義域為，的定義域為，不是同一個函數；

對于選項，的定義域為，的定義域為，不是同一個函數．

故選B．3.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查常見的函數單調性的基本判斷，考查單調性的定義，屬于簡單題．

對選項逐一分析函數在上的單調性，由此選出正確選項．【解答】解：對于選項，在上單調遞減，不符合題意．

對于選項，在上單調遞減，在上單調遞增，不符合題意．

對于選項，在上為增函數，符合題意．

對于選項，在上單調遞減，不符合題意．

故選：．4.【答案】

【解析】【分析】本題考查了函數圖象的應用，以及函數的奇偶性，屬于基礎題．

根據函數的奇偶性和時函數值的正負即可判斷．【解答】解：函數，定義域為，關于原點對稱，

由，則函數為奇函數，故排除，；

當時，，故排除．

故本題選A．5.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查函數的單調性，函數的奇偶性，整體的思想和構造函數的方法等知識．

首先確定函數的單調性和函數的奇偶性，然后考查題中的不等式是否成立即可．【解答】解：令，

由函數的解析式結合復合函數的單調性可知函數是定義在上的單調遞增函數，

題中的不等式即，

函數，

，

故函數為奇函數，

從而，

結合函數的單調性可得，．

故選：．6.【答案】

【解析】【分析】本題考查利用二分法求方程的近似解的應用，根據二分法求區間根的方法只須找到滿足，又，可得結論．【解答】解：，

由零點存在定理，可得方程的根落在區間

故選B．7.【答案】

【解析】【分析】根據函數奇偶性和單調性之間的關系，即可得到結論．

本題主要考查不等式的解法，利用函數的奇偶性和單調性之間的關系是解決本題的關鍵，綜合考查函數性質的應用．【解答】解：由題意得，即，

因為偶函數在上單調遞減，根據偶函數對稱區間上單調性相反可知，

函數在上單調遞增，

因為，

所以且，

解得或，

故選：．8.【答案】

【解析】【分析】本題考查了函數的應用意識，屬于基礎題．

利用相似三角形的性質，得到與的關系，面積的表達式，再利用配方法，得到二次函數取最值的條件．【解答】解：當時，易得，得，

所以矩形面積，所以當時，有最大值，此時．

故選A．9.【答案】

【解析】【分析】求解分段函數的定義域及值域判斷與由函數值求解值判斷求解函數不等式判斷．

本題考查分段函數的定義域、值域的求法，考查不等式的解法，是中檔題．【解答】【解析】函數

定義域是，故A錯誤當時，，

，當時，，，故的值域為，故B正確易知在時無解，故當時，，解得舍去，故C正確當時，令，解得，當時，令，解得，故的解集為，故D錯誤故選BC．10.【答案】

【解析】【分析】結合函數的單調性及函數是否在處連續分別檢驗各選項即可判斷．

本題主要考查了函數的單調性與最值關系的判斷，屬于基礎題．【解答】解：因為在區間上是減函數，故成立，A正確；

因為在區間上是增函數，在區間上是減函數，但在處不一定連續，故無法比較與的大小，不正確，D正確，

當函數在處連續時，處函數的最大值，當函數在處不連續時，時，函數不一定能取得最大值，C錯誤；

故選：．11.【答案】

【解析】【分析】本題考查了函數的零點存在性定理，屬于基礎題．

根據函數的零點存在性定理可得答案．【解答】解：由函數的零點存在性定理知：

函數在區間上至少有一個零點，所以若函數不單調，則至少有一個實數根；若函數單調，則函數有唯一的零點，即必有唯一的實數根．

故選BD．12.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查函數的定義及函數的性質的應用，解題的關鍵是正確理解已知定義．

結合已知定義可寫出函數解析式，然后結合函數的性質逐一判斷四個選項得答案．【解答】解：由題意可得，

由于為無理數，則，故A正確；

結合函數的定義及分段函數的性質可知，函數的值域為，故B正確；

由的圖象不關于原點對稱，可知不是奇函數，故C錯誤；

由函數解析式及周期函數的概念，可得任意一個有理數都是函數的周期，則，故D正確．

故選：．13.【答案】

【解析】【分析】本題考查函數的奇偶性的定義和運用：求函數值，屬于基礎題．

由奇函數的定義可得，由已知可得，進而得到．【解答】解：是奇函數，可得，

當時，，可得，

則，

故答案為：．14.【答案】

【解析】【分析】本題考查了求抽象函數的定義域問題，考查轉化思想，屬于基礎題．

根據函數的定義域以及復合函數的定義域即可．【解答】解：由函數的定義域是，

即，，

可得函數的定義域是，

由題意得：

解得：，

故函數的定義域是，

故答案為：．15.【答案】也可寫成

【解析】【分析】本題考查求函數的單調區間，奇偶函數圖象特征的應用，是較易題．

根據是奇函數定義域關于原點對稱，求得，結合圖象求得的單調遞增區間．【解答】解：由題意得，得，所以是定義域為的奇函數，畫出的圖象如下圖所示，由圖可知的單調遞增區間為．故答案為：也可寫成16.【答案】

【解析】【分析】本題考查利用分段函數模型解決實際問題，屬于基礎題．

根據題意求出收費錢數關于行車路程的解析式，即可求解．【解答】解：設為行車路程，為收費錢數，則當時，．故答案為．17.【答案】【解】，令，得，令，得．聯立，解得．【解析】本題考查方程組法求函數值，屬于基礎題．

注意合理賦值．

18.【答案】解：

要使函數有意義，則有，

解得且且，

所以函數的定義域為設，則，，

又，即，，，

且．【解析】本題主要考查函數的定義域，屬于基礎題．

由題意，得，解之即可．

本題主要考查函數解析式的求法，屬于基礎題．

由題意，根據換元法求解可得．

19.【答案】解：由題意，為冪函數，

所以，

解得：或，

當時，，為奇函數，不合題意舍去，

當時，，為偶函數，

所以；

，

的對稱軸是，

若在上不是單調函數，

則，

解得：，

故實數的取值范圍是．

【解析】本題考查冪函數的解析式、函數的奇偶性，考查二次函數的性質，屬于基礎題．

根據冪函數的定義求出的值，再根據函數為偶函數，即可求出函數的解析式；

若函數在上不是單調函數，則，即可求出實數的取值范圍．

20.【答案】解：根據題意，設時，則，

由題意得：，

又因為是上的偶函數，

所以，

所以當時，；

證明：在上任取兩個變量，，令，

則，

因為，

所以，，

所以，即，

所以函數在區間上是單調增函數．

【解析】本題考查函數奇偶性和單調性的判斷以及應用，涉及函數單調性的證明，屬于基礎題．

設時，則，由函數的解析式可得的表達式，結合函數的奇偶性分析可得答案；

根據題意，利用作差法分析可得結論．

21.【答案】解：由題意得，

則

，

即；

當時，函數遞減，

即有，

當時，函數，

當時，有最大值，

綜上可知，當工廠生產百臺產品時，可使利潤最大為萬元．

【解析】