.\線線角與線面角一、課前預習1.在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2,E、F分別為AB、CD的中點謝謝閱讀且EF= 3，AD、BC所成的角為 .2.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D與底面所成的精品文檔放心下載角分別為60ο和45ο，則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為感謝閱讀( )6623(A).4(B).3(C).6(D).63.平面與直線a所成的角為3,則直線a與平面內所有直精品文檔放心下載

ADBCA1 D1B1 C1線所成的角的取值范圍是 ．4.如圖,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD,則PA與BD所精品文檔放心下載

PDC成的角的度數為AB(A).30ο(B).45ο(C).60ο(D).90ο5.有一個三角尺ABC,∠A=30ο,∠C=90ο,BC是貼于桌面上,當三角尺與桌面成45ο角時,AB邊與桌面所成角的正弦值是．A二、典型例題BC例1.(96·全國)如圖,正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60ο角,求異面直線AD與BF所成角的余弦值.【備課說明:1.求異面直線所成的角常作出所成角的平DCABFE.\面圖形.作法有:①平移法:在異面直線的一條上選擇“特殊點”,作另一條直線平謝謝閱讀行線或利用中位線.②補形法:把空間圖形補成熟悉的幾何體,其目的感謝閱讀在于容易發現兩條異面直線的關系.2.解立幾計算題要先作出所求的謝謝閱讀角,并要有嚴格的推理論證過程,還要有合理的步驟.】2.如圖在正方體AC1中,(1)求BC1與平面ACC1A1所成的角;(2)感謝閱讀A1B1與平面A1C1B所成的角.備課說明:求直線與平面所成角的關鍵是找直線在D1C1此平面上的射影,為此必須在這條直線上找一點作A1B1平面的垂線.作垂線的方法常采用:①利用平面垂直DCA的性質找平面的垂線.②點的射影在面內的特殊位置.B例3.已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC,F為棱BB1上一點,BF∶FB1=2∶1,BF=BC=2a.(1)若D為BC的中點,E為線段AD謝謝閱讀A上不同于A、D的任意一點,證明：EF⊥FC1; (2)試問: E D精品文檔放心下載B若AB=2a,在線段AD上的E點能否使EF與平面精品文檔放心下載A1 FBB1C1C成60ο角,為什么?證明你的結論.B1備課說明:這是一道探索性命題,也是近年高考熱點問題,解決這類問題,常假設命題成立,再研究是否與已知條件矛盾,從而判斷命題是否成立.感謝閱讀

CC1一、知識與方法要點：1．斜線與平面所成的角就是斜線與它在平面內的射影的夾角。感謝閱讀求斜線與平面所成的角關鍵是找到斜線在平面內的射影，即確定過斜謝謝閱讀.\線上一點向平面所作垂線的垂足，這時經常要用面面垂直來確定垂足謝謝閱讀的位置。若垂足的位置難以確定，可考慮用其它方法求出斜線上一點感謝閱讀到平面的距離。2．二面角的大小用它的平面角來度量，求二面角大小的關鍵是謝謝閱讀找到或作出它的平面角(要證明)。作二面角的平面角經常要用三垂線謝謝閱讀定理，關鍵是過二面角的一個面內的一點向另一個面作垂線，并確定謝謝閱讀垂足的位置。若二面角的平面角難以作出，可考慮用射影面積公式求謝謝閱讀二面角的大小。3．判定兩個平面垂直，關鍵是在一個平面內找到一條垂直于另感謝閱讀一個平面的直線。兩個平面垂直的性質定理是：如果兩個平面垂直，那么在一個平精品文檔放心下載面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．二、例題1．正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為C1D1中點．感謝閱讀(1)求證：AC1⊥平面A1BD．(2)求BM與平面A1BD成的角的正切值．解：(1)連AC，∵C1C⊥平面ABCD，∴C1C⊥BD．AC⊥BD，∴AC1⊥BD．同理AC1⊥A1B∵A1B∩BD=B．∴AC1⊥平面A1BD．(2)設正方體的棱長為a，連AD1，AD1交A1D于E，連結ME，精品文檔放心下載在△D1AC1中，ME∥AC1，.\∵AC1⊥平面A1BD．∴ME⊥平面A1BD．連結BE，則∠MBE為BM與平面A1BD成的角．在RtMEB中，感謝閱讀AC3226aME2MEaBE2aa2612，，∴tanMBE．2BE22．如圖，把等腰直角三角形ABC以斜邊AB為軸旋轉，使C點移動的距離等于AC時停止，并記為點P．謝謝閱讀（1）求證：面ABP⊥面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值．謝謝閱讀證明（1）由題設知AP＝CP＝BP．∴點P在面ABC的射影D應是△ABC的外心，即D∈AB．∵PD⊥AB，PD面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP⊥面ABC．感謝閱讀（2）解法1取PB中點E，連結CE、DE、CD．∵△BCP為正三角形，∴CE⊥BD．△BOD為等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED為二面精品文檔放心下載C-BP-A的平面角．又由（1）知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB精品文檔放心下載＝面ABP∩面ABC，由面面垂直性質定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE為直角三角形．精品文檔放心下載13cosCEDDE23設BC1，則CE，DE1CE3322，2．例3．如圖所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，EBB1，截面A1EC側AC1．(1)求證：BEEB1；(2)若AA1A1B1，求平面A1EC與平面A1B1C1感謝閱讀所成二面角(銳角)的度數．證明：在截面A1EC內，過E作EG⊥A1C，G是垂足，如圖，精品文檔放心下載.\∵面A1EC⊥面AC1，∴EG⊥側面AC1．謝謝閱讀AC的中點F，分別連結BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC．感謝閱讀∵面ABC⊥側面AC1，∴BF⊥側面AC1，精品文檔放心下載得BF∥EG．BF和EG確定一個平面，交側面AC1于FG．精品文檔放心下載∵BE∥側面AC1，∴BE∥FG，四邊形BEGF是 ，BE＝FG．謝謝閱讀∴BE∥AA1，∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC．謝謝閱讀解：(2)分別延長CE和C1B1交于點D，連結A1D．精品文檔放心下載∠B1A1C1＝∠B1C1A1＝60°，謝謝閱讀∴∠DA1C1＝∠DA1B1＋∠B1A1C1＝90°，即DA1⊥A1C1．∵CC1⊥面A1C1B1，精品文檔放心下載由三垂線定理得DA1⊥A1C，所以∠CA1C1是所求二面角的平面角．且∠A1C1C＝90°．精品文檔放心下載∵CC1＝AA1＝A1B1＝A1C1，∴∠CA1C1＝45°，即所求二面角為45°．精品文檔放心下載說明：如果改用面積射影定理，則還有另外的解法．三、作業：.\1．已知平面 的一條斜線a與平面成角，直線b ，且a,b精品文檔放心下載異面，則a與b所成的角為 （A） A．有最小值，有最大值2B．無最小值，有最大值2C．有最小值，無最大值D．有最小值，有最大值謝謝閱讀2．下列命題中正確的是 （D）A．過平面外一點作該平面的垂面有且只有一個B．過直線外一點作該直線的平行平面有且只有一個C．過直線外一點作該直線的垂線有且只有一條D．過平面外的一條斜線作該平面的垂面有且只有一個

。。3．一條長為60的線段夾在互相垂直的兩個平面之間，它和這兩謝謝閱讀個平面所成的角分別為45°和30°，這條線段的兩個端點向平面的交線引垂線，則精品文檔放心下載垂足間的距離是（A）A．30B．20C．15D．124．設正四棱錐S—ABCD的側棱長為2，底面邊長為3，E是精品文檔放心下載SA的中點，則異面直線BE與SC所成的角是 （C）精品文檔放心下載A．30°B．45° C．60° D．90°5．正三棱錐的側面與底面所成的二面角為arctan22，則它的側感謝閱讀棱與底面所成的角為 26．A是△BCD所在平面外的點，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，感謝閱讀AB=3，AC=AD=2.（Ⅰ）求證：AB⊥CD； （Ⅱ）求AB與平面BCD所成角的余弦值.謝謝閱讀.\7．正四面體ABCD中，E是AD邊的中點，求：CE與底面BCD精品文檔放心下載所成角的正弦值．解過A，E分別作AH⊥面BCD，EO⊥面BCD，H，O為垂足，感謝閱讀∴AH 2OE，AH，OE確定平面AHD，連結OC，謝謝閱讀∠ECO即為所求．∵AB=AC=AD，∴HB=HC=HD精品文檔放心下載∵△BCD是正三角形，∴H是△BCD的中心，連結DH并延長交BC于F，F為BC的中點，謝謝閱讀DH23DF2323a33a，在Rt△ADH中，謝謝閱讀8．在四面體ABCD中，DA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥CD，AF⊥DB．精品文檔放心下載求證：（1）EF⊥DC；（2）平面DBC⊥平面AEF．謝謝閱讀證明如圖1-83．（1）∵AD⊥面ABC．∴AD⊥BC．又感謝閱讀∵∠ABC＝90°．∴BC⊥AB．∴BC⊥面DAB．∴DB是DC在面ABD內的射影．∵AF⊥DB．∴AF⊥CD（三垂線定理）．感謝閱讀.\∵AE⊥CD．∴CD⊥平面AEF．∴CD⊥EF．（2）∵CD⊥AE，CD⊥EF．∴CD⊥面AEF．∵CD 面BCD．∴謝謝閱讀面AEF⊥面BCD．（3）由EF⊥CD，AE⊥CD∴AEF為二面角B-DC-A的平面感謝閱讀又∵AF⊥DB，AF⊥CD，BD∩CD＝D∴AF⊥平面DBC，謝謝閱讀二面角題目：如圖所示，已知PA面ABC，SPBCS,SABCS，二面角謝謝閱讀PBCA的平面角為，求證：ScosS感謝閱讀2．如圖，在空間四邊形ABCD中，BCD是正三角形，ABD精品文檔放心下載是等腰直角三角形，且BAD90，又二面角ABDC為直二謝謝閱讀

PA CDB面角，求二面角ACDB的大小。AB H DFCE.\3．設A在平面BCD內的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中謝謝閱讀O，ACBC1,CD2，求（1）AC與平面BCD所成角的大??；（2）二面角ABCD的大小；（3）異面直線AB和CD所成角的大小。4.在正方體ABCDABCD中，M為AA的中點，求截面DMB與謝謝閱讀底面ABCD所成較小的二面角的大小。選用：如圖，正方體的棱長為1，BCBC'O，D'C'求：B'A'（1）AO與AC所成角；O（2）AO與平面ABCD所成角的正切值；DCE（3）平面AOB與平面AOC所成角AB解：（1）∵AC//AC∴AO與AC所成角就是OAC∵OCOB,AB平面BC∴OCOA（三垂線定理）在RtAOC中，OC2,AC2∴OAC302OE平面ABCD，OAE為OA與平面ABCD所成角謝謝閱讀在RtOAE中，OE115∴tanOAEOE52,AE12(2)22AE5.\（3）∵OCOA,OCOB∴OC平面AOB又∵OC平面AOC∴平面AOB平面AOC即平面AOB與平面AOC所成角為90二面角大小的求法二面角的類型和求法可用框圖展現如下：一、定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內作感謝閱讀棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性；謝謝閱讀例、如圖,已知二面角α-а-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β.求∠APB的大小.精品文檔放心下載PA例、在四棱錐P-ABCD中，ABCDO方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B角B-PC-D的大小。

是正二面PHAj DB C.\二、三垂線定理法：已知二面角其中一個面內一點到一個面的垂線，用三垂線定理或精品文檔放心下載逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱錐P-ABCD中，ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，謝謝閱讀PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。 Lp謝謝閱讀A例、(2003北京春)如圖,ABCD-ABCD是長方體,BHC1111側棱AA長為1,底面為正方體且邊長為2,E是棱BC的中點,求面CDE與1D11C1面CDE所成二面角的正切值.A1B1DC例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面OABC外一點PE在平面ABC內的射影是AB中點M，二面A角P—AC—B的大小為B45°。求（1）二面角P—BC—A的大??；（2）二面角C—PB謝謝閱讀P—A的大小BMD

DAC.\例、(2006年陜西試題)如圖4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，點A在直線l上的射影為A1，點B在l的射影為B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小.感謝閱讀AEFLB1A1B三、垂面法：圖4已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；感謝閱讀例、空間的點P到二面角l的面、及棱l 的距離分別為精品文檔放心下載4、3、2 39，求二面角l的大小.謝謝閱讀3PABCl四、射影法：（面積法）利用面積射影公式S ＝S cos,其中為平面角的大小，此謝謝閱讀射 原方法不必在圖形中畫出平面角；.\例、在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA感謝閱讀＝AB＝a，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。謝謝閱讀PA DB Cl.\例、如圖，設M為正方體ABCD-ABCD的棱CC的中點，求平面感謝閱讀1 1 1 1 1BMD與底面ABCD所成的二面角的大小。1D1

C1B1A1 MHD CAB五、平移或延長（展）線（面）法對于一類沒有給出棱的二面角，應先延伸兩個半平面，使之相交精品文檔放心下載出現棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。例、在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，感謝閱讀PA＝AB＝a，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。精品文檔放心下載P C1PA1 B1D DC CA B A B.\課前預習61.60ο2.A3.[3,2]4.C5.4典型例題1解:∵CB∥AD∴∠CBF為異面直線AD與BF所成的角.連接CF、CE設正方形ABCD的邊長為,則BF=2a∵CB⊥AB,EB⊥AB∴∠CEB為平面ABCD與平面ABEF所成的角感謝閱讀2∴∠CBE=∠60ο∴CE=a FC= 2a ∴cos∠CBF=4謝謝閱讀2解:(1)設所求的角為,先證BD⊥平面ACC1A1,則sin=sin∠精品文檔放心下載OB 1OC1B=BC1=2.故=30o.(2)△A1BC1是正三角形,且A1B1=B1C1=BB1.∴棱錐B1-A1BC1是正三棱錐.過B1作B1H⊥平面A1BC1,連A1H,∠感謝閱讀B1A1H是直線A1B1與平面A1C1B所成的角.設A1B1=a則A1B=2a得6a.故cos∠B1A1H=AH6613解:(1)連接OF,容易證明AD⊥面BB1C1C,DF是EF在面謝謝閱讀B1C1CB的射影,且DF⊥FC1,∴FC1⊥EF.(2)∵AD⊥面BB1C1C,∠EFD是EF與平面BB1C1C所成的角.在△EDF中,若∠EFD=60ο,則ED=DF·tan60ο=3·5=15a,∵AB=BC=AC=2a,∴AD=3a.∵15a>3a.∴E在DA的延長線上,而不在線段AD上;故線段AD上的E點不可能使EF與平面BB1C1C成60ο角.感謝閱讀.\反饋練習4 51.D

2.D

3.

9

4.3

5.[60ο,90ο]

6.45ο7.解:(1)作

DD＇⊥于

D＇,連接

AD＇,BD＇.CA⊥

,∴CA∥DD＇.四邊形DD＇.又

CAD＇D是直角梯形,∠CAD＇=∠DD＇A=90ο,AB,AB⊥AB⊥BD,∴AB⊥平面BDD＇,BD＇平面BDD＇.∴AB⊥BD＇.感謝閱讀b∵∠DBD＇是B