自貢一中高2025屆高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題卷I（選擇題（共60分）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的4個選項中只有一項是符合要求的）1.下列命題正確的是（）A.若一個平面中有無數(shù)條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行B.若兩條直線都與第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行C.兩相交直線確定一個平面D.各個面都是三角形的多面體一定是棱錐【答案】C【解析】【分析】ABD選項均可舉出反例，C選項，根據(jù)不在同一條直線上的三點確定一個平面進行證明即可.【詳解】A選項，若一個平面中的無數(shù)條直線均平行，則不能得到這兩個平面平行，A錯誤；B選項，如圖，，，但與不平行，B錯誤；C選項，兩相交直線的交點設(shè)為A點，再分別在兩直線取兩個點（除A點），則三個點不共線，由不在同一條直線的三點確定一個平面，C正確；D選項，如圖所示，該幾何體由兩個三棱錐拼接而成，不棱錐，D錯誤.故選：C2.如圖，已知等腰直角三角形是一個平面圖形的直觀圖，，斜邊，則這個平面圖形的面積是（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法的定義，畫出平面圖形，求得原三角形的直角邊，從而面積可得．【詳解】由題意，利用斜二測畫法的定義，畫出原圖形，∵是等腰直角三角形，，斜邊，∴，∴，∴原平面圖形的面積是.故選：A．3.設(shè)，為不同的平面，，為不同的直線，，，則“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用線面垂直和面面平行的知識即可判斷.【詳解】因為，，所以，若，則；若，則故選：A4.已知一圓錐的側(cè)面展開圖是一個中心角為直角的扇形，若該圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的母線長為（）A.4 B.8 C.6 D.2【答案】A【解析】【分析】由側(cè)面展開圖是一個中心角為直角的扇形知母線長是底面半徑的4倍，代入圓錐的側(cè)面積公式即可解出底面半徑及母線長.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l；則由側(cè)面展開圖是一個中心角為直角的扇形知l＝4r，則圓錐的側(cè)面積，則r＝1，l＝4.故選：A5.在正方體中，是正方形的中心，則直線與直線所成角大小為（）A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A【解析】【分析】如圖，連接，，，利用余弦定理可求的值，從而可得直線與直線所成角大小.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，連接，，，因為，故或其補角為直線與直線所成角.而，，，故，所以，所以，因為為銳角，故，故選：A.6.某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長方體.正四棱錐的高為，，，則該組合體的表面積為（）A.20 B. C.16 D.【答案】A【解析】【分析】該組合體由一個正四棱錐和一個長方體組成，由勾股定理可計算出正四棱錐的斜高，即可運用三角形的面積公式求出正四棱錐的側(cè)面積，再求出長方體的側(cè)面積和底面積，再求和即可.【詳解】由題意，正四棱錐的斜高為，該組合體的表面積為.故選：A【點睛】本題考查了組合體的表面積，求四棱錐的斜高是關(guān)鍵，考查了運算能力和空間想象能力，屬于中檔題.7.在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（）A.1 B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】證明平面，分割三棱錐為共底面兩個小三棱錐，其高之和為AB得解.【詳解】取中點，連接，如圖，是邊長為2的等邊三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故選：A8.在棱長為的正方體中，直線BD到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面平行可得點到面的距離即為線到面的距離，根據(jù)等體積法即可求解.【詳解】因為,平面,平面,因此平面,故直線BD到平面的距離即為點到平面的距離；為邊長為2的等邊三角形，故，,設(shè)點到平面的距離為，由等體積法可得,即,故選:B二、多選題（每小題5分，共20分．漏選得2分，多選或錯選不得分）9.下列結(jié)論正確的有（）A.側(cè)棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱B.等底面積、等高的兩個柱體，體積相等C.有兩個面是平行的相似多邊形，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺D.用斜二測畫法作水平放置的平面圖形的直觀圖時，菱形的直觀圖還是菱形【答案】AB【解析】【分析】利用棱柱、棱臺定義，分別進行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】由直棱柱的定義和性質(zhì)可知A正確；由柱體體積公式得B正確；如果側(cè)棱延長線不共頂點，也可能不是棱臺，C錯誤；菱形的直觀圖一定是鄰邊不等的平行四邊形，也可能是矩形，D錯誤．故選：AB10.已知，表示兩條不同的直線，，，表示三個不同的平面，則下列命題不正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】ABD【解析】【分析】對于A，B，D，在長方體中舉出符合條件實例即可判斷；對于C，利用直線與平面垂直的性質(zhì)即可判斷作答.【詳解】對于A，長方體中，如圖，平面為平面，直線為直線m，當(dāng)直線為直線n時，滿足，，而，即A不正確；對于B，長方體中，平面、平面分別為平面、平面，直線為直線m，滿足，，而，即B不正確；對于C，若，則且使得，，又，則，，由線面垂直的判定定理得，C正確；對于D，長方體中，平面、平面、平面分別為平面、平面、平面，滿足，，而，即D不正確，所以不正確的命題有ABD.故選：ABD11.（多選）如圖，在長方體中，，，M、N分別為棱，的中點，則（）A.A，M，N，B四點共面B.平面ADM⊥平面CDD1C1C.直線BN與B1M所成的角為60°D.BN∥平面ADM【答案】BC【解析】【分析】A選項由直線AM，BN平移后相交判斷為異面直線，從而判定A錯誤；B選項由面面垂直的判定證明為正確；C選項由異面直線平移后相交構(gòu)成的角度在三角形中計算得到，從而判定為正確；D選項由已知的線面平行推得矛盾，從而判定為錯誤.【詳解】如圖所示，對于A選項，，，所以直線AM，BN是異面直線，故A，M，N，B四點不共面，A錯誤；對于B選項，在長方體中，可得AD⊥平面CDD1C1，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，B正確；對于C選項，取CD的中點O，連接BO，ON，則，可知，所以三角形BON為等邊三角形，故，即直線BN與B1M所成的角為60°，C正確；對于D選項，因為BN∥平面AA1D1D，顯然BN與平面ADM不平行，C錯誤．故選：BC.12.已知正四棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為4，E為的中點，點與點在同一平面內(nèi)，則點到點的距離可能為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】BCD【解析】【分析】利用等體積法計算點到平面BDE的距離d，則點到點P的距離可能值大于等于d，再結(jié)合選項即可.【詳解】連接，如圖，因為E為的中點，則E也為的中點.由題意，，且，故四邊形為平行四邊形，故，故又，故，設(shè)點到平面BDE的距離為d，則，解得，又點P與點B，D，E在同一平面內(nèi)，則點到點的距離大于等于，選項中BCD滿足.故選：BCD卷II（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知長方體的頂點都在球O的表面上，且，則球O的表面積為___．【答案】【解析】【分析】由題意可得長方體外接球的直徑為長方體的體對角線，所以根據(jù)已知條件求出體對角線的長，從而可求出球的直徑，進而可求出球的表面積【詳解】在長方體中，因為，所以．因為為球O的一條直徑，所以球O的半徑，所以球O的表面積為．故答案為：14.已知三棱錐的體積為1，、、分別為OA、OB、OC的中點，則三棱錐的體積為___.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等體積法結(jié)合三棱錐體積計算作答.【詳解】三棱錐中，令點A到平面的距離為，因為是棱OA的中點，則點到平面的距離為，又、分別為棱OB、OC的中點，則有，因此.故答案為：15.正四面體ABCD棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，則EF的長為__________.【答案】【解析】【分析】先求出||2＝2＝()2，再利用向量的數(shù)量積公式化簡求解.【詳解】||2＝2＝()2＝2＋2＋＋2()＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，所以||＝.所以EF的長為.故答案為【點睛】本題主要考查向量的運算和數(shù)量積，考查向量的模的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.16.如圖，一圓錐形物體的母線長為，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點處.若該小蟲爬行的最短路程為，則圓錐底面圓的半徑等于___________.【答案】【解析】【分析】沿圓錐的一條母線將圓錐剪開，設(shè)小蟲爬行的最短路程為，利用余弦定理結(jié)合的取值范圍求出的大小，再利用側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長可求得圓錐底面圓的半徑，即為所求.【詳解】由題意，沿圓錐的一條母線將圓錐剪開，其側(cè)面如圖所示，設(shè)小蟲爬行的最短路程為，在中，，，由余弦定理可得，，故，設(shè)圓錐底面圓半徑為，則，解得.故答案為：.四、解答題：（本大題共6小題70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）．17.如圖，在正方體中，點E，F(xiàn)分別為棱，AB的中點．（1）求證：E、F、C、四點共面：（2）求異面直線與BC所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明，即可得四點共面；（2）由平行關(guān)系將異面直線所成角轉(zhuǎn)化為相交直線所成角，在平面內(nèi)解三角形即可.【小問1詳解】連接.在中，點E，F(xiàn)分別為棱，AB的中點，則，在正方體中，，，且，四邊形是平行四邊形，，則，故、、、四點共面.【小問2詳解】由（1）知，，則即為所求異面直線與BC所成的角，設(shè)正方體的棱長為，在中，，則，所以.故所求異面直線與BC所成角的余弦值為．18.（1）已知正四棱錐的底而邊長是6，側(cè)棱長為5，求該正四棱錐的表面積．（2）在中，．在三角形內(nèi)挖去半圓（圓心O在邊上，半圓與分別相切于點C、M，與交于N），求圖中陰影部分繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體體積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出等腰的高，再計算幾何體的表面積即可.（2）幾何體是圖中陰影部分繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體，是一個圓錐內(nèi)挖去一個球后剩余部分，求出圓錐的體積減去球的體積，可得幾何體的體積．【詳解】（1）正四棱錐中，底面正方形的面積，在等腰中，，則邊上的高，因此該正四棱錐的側(cè)面積，所以，該正四棱錐的側(cè)面積.（2）幾何體是圖中陰影部分繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體，是一個圓錐內(nèi)挖去一個球后剩余部分，球是圓錐的內(nèi)切球，所以圓錐的底面半徑是1，高為，球的半徑為，，所以圓錐的體積：，球的體積：，陰影部分繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為：.19.如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，E為的中點．（1）證明：平面；（2）設(shè)，，四棱錐體積為1，求證：平面平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)與的交點為，連接，通過直線與平面平行的判定定理證明平面；（2）通過體積得到底面為正方形，再由線面垂直得到面面垂直即可.【詳解】（1）連接交于點O，連結(jié),因為為矩形，所以O(shè)為的中點,又E為的中點，所以,平面，平面，所以平面.（2）因為,所以，所以底面為正方形，所以，因為，所以，且，所以平面，又平面，所以平面平面.【點睛】本題主要考查了立體幾何及其運算，要證明線面平行先證明線線平行，要證明面面垂直，先證明線面垂直，考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識、空間想象力.20.如圖，四邊形ABCD為長方形，平面ABCD，，點E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點．（1）證明：∥平面PBE；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，證明四邊形為平行四邊形，則可得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化為，即可求解.【小問1詳解】證明：取的中點，連接，因為點分別為的中點，所以且，又因為四邊形為長方形，所以且，則且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.【小問2詳解】由平面，則點到平面的距離等于到平面的距離，因為平面，所以為三棱錐的高，由，所以三棱錐的體積為.21.如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，平面平面PCD，，（1）求證：平面PCD；（2）求直線AD與平面PAC所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，則，由平面平面，推出平面，得，再由線面垂直的判定定理，得證；（2）連接，易知即為直線與平面所成的角，再在中，由，即可得解.【小問1詳解】取的中點，連接，∵為等邊三角形，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，，平面，平面，∴平面.【小問2詳解】連接，由（1）知，平面，即為斜線在平面上的射影，∴為直線與平