第03講3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握雙曲線的定義，幾何圖形，熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能初步應(yīng)用。②通過對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，提高求動點軌跡方程的能力。③初步會按特定條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握雙曲線的定義（相關(guān)的量的掌握）及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（滿足的條件），會求與雙曲線有關(guān)的幾何量.知識點01：雙曲線的定義1、定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個定點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于SKIPIF1<0)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.2、集合語言表達(dá)式雙曲線就是下列點的集合:SKIPIF1<0.3、說明若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點SKIPIF1<0的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小.(1)若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,點SKIPIF1<0的軌跡是靠近定點SKIPIF1<0的那一支;(2)若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,點SKIPIF1<0的軌跡是靠近定點SKIPIF1<0的那一支.【即學(xué)即練1】（2023秋·高二課時練習(xí)）平面內(nèi)到兩個定點SKIPIF1<0的距離之差的絕對值等于SKIPIF1<0的點的軌跡是（

）A．雙曲線 B．兩條射線 C．一條線段 D．一條直線【答案】B【詳解】如圖：設(shè)動點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到兩個定點SKIPIF1<0的距離之差的絕對值為SKIPIF1<0，則若SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0（不包含兩端點）上，有SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0外，有SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0的延長線上或線段SKIPIF1<0的反向延長線上（均包含兩端點），則有SKIPIF1<0.故選：B知識點02：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在SKIPIF1<0軸上焦點在SKIPIF1<0軸上標(biāo)準(zhǔn)方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）圖象焦點坐標(biāo)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的關(guān)系SKIPIF1<0兩種雙曲線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;不同點是:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點坐標(biāo)也不同.【即學(xué)即練2】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線對稱軸為坐標(biāo)軸，中心在原點，兩焦點為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過雙曲線的一個焦點，P為雙曲線上一點，且SKIPIF1<0，則雙曲線的方程為．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【詳解】由題意，點SKIPIF1<0為雙曲線上一點，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又由直線SKIPIF1<0過雙曲線的一個焦點，當(dāng)SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0；當(dāng)雙曲線的焦點在SKIPIF1<0軸上時，雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時雙曲線的方程為SKIPIF1<0；當(dāng)雙曲線的焦點在SKIPIF1<0軸上時，雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時雙曲線的方程為SKIPIF1<0，所以雙曲線的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0題型01雙曲線定義的理解【典例1】（2023春·安徽滁州·高二校考開學(xué)考試）若雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程得：SKIPIF1<0，由雙曲線定義得:SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去）或SKIPIF1<0，故選：A.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若動點SKIPIF1<0滿足關(guān)系式SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的軌跡是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線一支【答案】D【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.則由已知可得，SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡是雙曲線的左支.故選：D.【變式1】（2023秋·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，一條漸近線方程為SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．7 B．9 C．1或9 D．3或7【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.又因SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0，則由雙曲線定義，有SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故選：B【變式2】（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）雙曲線SKIPIF1<0右支上一點A到右焦點SKIPIF1<0的距離為3，則點A到左焦點SKIPIF1<0的距離為（

）A．5 B．6 C．9 D．11【答案】D【詳解】設(shè)雙曲線的實軸長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由雙曲線的定義知，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：D題型02利用雙曲線定義求方程【典例1】（2023春·四川德陽·高二德陽五中校考階段練習(xí)）已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0滿足條件SKIPIF1<0．則動點SKIPIF1<0的軌跡方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根據(jù)雙曲線的定義，可得點SKIPIF1<0的軌跡表示以SKIPIF1<0為焦點的雙曲線的右支，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0.故選：C.【典例2】（2023秋·山東臨沂·高二臨沂第三中學(xué)校考期末）一動圓P過定點SKIPIF1<0，且與已知圓N：SKIPIF1<0相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是．【答案】SKIPIF1<0【詳解】圓N：SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴點SKIPIF1<0在圓N外，則圓P包含圓N，設(shè)圓P的半徑為SKIPIF1<0，由題意可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故動圓圓心P的軌跡是以SKIPIF1<0為焦點的雙曲線的右半支，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故動圓圓心P的軌跡方程是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式1】（2023·高二課時練習(xí)）到點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離的差的絕對值等于6的點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意可設(shè)雙曲線方程為SKIPIF1<0，焦距設(shè)為SKIPIF1<0，由題意可知所求雙曲線的兩焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又雙曲線上的點到點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離的差的絕對值等于6，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【變式2】2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0、圓SKIPIF1<0外切，求圓心SKIPIF1<0的軌跡方程SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【詳解】因為圓C與圓A、圓B外切，設(shè)C點坐標(biāo)SKIPIF1<0，圓C半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡是雙曲線的一支，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以其軌跡方程為SKIPIF1<0.題型03利用雙曲線定義求點到焦點距離及最值【典例1】（2023·高二課時練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0在左支上一點M到右焦點SKIPIF1<0的距離為18，N是線段SKIPIF1<0的中點，O為坐標(biāo)原點，則SKIPIF1<0等于（

）A．4 B．2 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】因為雙曲線SKIPIF1<0左支上的點M到右焦點SKIPIF1<0的距離為18，所以M到左焦點SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，N是SKIPIF1<0的中點，O是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0.故選：A.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0右支上的一點，點SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的一點，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．5 B．SKIPIF1<0 C．7 D．8【答案】C【詳解】記雙曲線SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的交點時，取到最小值．故選：C．【典例3】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考階段練習(xí)）雙曲線SKIPIF1<0的左?右焦點是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】A【詳解】在雙曲線SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0的右支上，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由雙曲線的定義可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，不合乎題意；若點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0的左支上，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由雙曲線的定義可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，合乎題意.綜上所述，SKIPIF1<0.故選：A.【變式1】（2023秋·北京豐臺·高二北京市第十二中學(xué)校考期末）已知SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的兩個焦點，點SKIPIF1<0在雙曲線上，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1或9 B．3或7 C．9 D．7【答案】C【詳解】解：由題知，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在雙曲線上，且SKIPIF1<0，所以，點SKIPIF1<0在雙曲線靠近SKIPIF1<0的那支上，由雙曲線定義知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；所以，SKIPIF1<0故選：C【變式2】（2023·高二課時練習(xí)）SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0=1的右支上一點，M、N分別是圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0=4上的點，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【詳解】SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0故雙曲線的兩個焦點為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0也分別是兩個圓的圓心,半徑分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：D【變式3】（2023·高二課時練習(xí)）若點SKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】在雙曲線SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知兩圓圓心分別為雙曲線SKIPIF1<0的兩個焦點，記點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0取最大值時，SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0的左支上，所以，SKIPIF1<0.故選：B.題型04利用雙曲線定義求雙曲線中線段和差最值【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0的右支上運動.當(dāng)SKIPIF1<0的周長最小時，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由雙曲線SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，左焦點SKIPIF1<0，設(shè)右焦點SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0的周長最小時，SKIPIF1<0取到最小值，所以只需求出SKIPIF1<0的最小值即可.SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.故選：C.【典例2】（2023春·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)校考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，雙曲線C：SKIPIF1<0的左焦點為F，P是雙曲線C的右支上的動點，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】若C為雙曲線右焦點C(3,0)，則SKIPIF1<0，|AC|=5,而SKIPIF1<0，僅當(dāng)SKIPIF1<0共線且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0之間時等號成立，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0共線且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0之間時等號成立.故選：D【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線SKIPIF1<0的左焦點F作圓SKIPIF1<0的一條切線（切點為T），交雙曲線右支點于P，點M為線段FP的中點，連接MO，則SKIPIF1<0的最大值為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖所示，連接SKIPIF1<0,設(shè)雙曲線的右焦點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．可得函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【變式1】（2023秋·湖北·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0，M為雙曲線C右支上任意一點，D點的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．3 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】設(shè)雙曲線C的實半軸長為SKIPIF1<0，右焦點為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)M為SKIPIF1<0的延長線與雙曲線交點時取等號.故選：C．【變式2】（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知雙曲線SKIPIF1<0，其一條漸近線方程為SKIPIF1<0，右頂點為A，左，右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點P在其右支上，點SKIPIF1<0，三角形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0取得最大值時點P的坐標(biāo)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則由三角形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又雙曲線一條漸近線方程為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0.又由雙曲線的定義可得SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0共線且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中間時取得等號.此時直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中間可得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：B【變式3】（2023·高二課時練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為雙曲線右支上一點，點SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】

由雙曲線方程知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由雙曲線定義知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上時取等號），又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題型05判斷方程是否表示雙曲線【典例1】（多選）（2023秋·山西晉中·高二統(tǒng)考期末）關(guān)于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0表示的軌跡可以是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．直線 D．拋物線【答案】BC【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時，該方程表示的軌跡是直線SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，該方程表示的軌跡是直線SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，原方程可化為SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，該方程表示的軌跡是雙曲線；當(dāng)SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時方程為SKIPIF1<0，該方程表示圓；綜上所述，方程所表示的曲線不可能是橢圓或拋物線.故選：BC.【典例2】（多選）（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）對于曲線C：SKIPIF1<0，則下列說法正確的有（

）A．曲線C可能為圓 B．曲線C不可能為焦點在y軸上的雙曲線C．若SKIPIF1<0，則曲線C為橢圓 D．若SKIPIF1<0，則曲線C為雙曲線【答案】BCD【詳解】當(dāng)曲線C為圓時，則SKIPIF1<0，無解，故SKIPIF1<0錯誤；當(dāng)曲線C為焦點在y軸上的雙曲線時，則SKIPIF1<0，無解，故SKIPIF1<0正確；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時曲線C是橢圓，故SKIPIF1<0正確；若曲線C為雙曲線，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正確．故選SKIPIF1<0．【變式1】（多選）（2023秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）已知曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則（

）A．曲線SKIPIF1<0可以表示圓B．曲線SKIPIF1<0可以表示焦點在SKIPIF1<0軸上的橢圓C．曲線SKIPIF1<0可以表示焦點在SKIPIF1<0軸上的橢圓D．曲線SKIPIF1<0可以表示焦點在SKIPIF1<0軸上的雙曲線【答案】CD【詳解】對A，若曲線表示圓，則有SKIPIF1<0，無解，A錯；對BC，若曲線表示橢圓，則有SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，則曲線SKIPIF1<0表示焦點在SKIPIF1<0軸上的橢圓，C對B錯；對D，若曲線表示雙曲線，則有SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，此時曲線SKIPIF1<0表示焦點在SKIPIF1<0軸上的雙曲線，D對.故選：CD.【變式2】（多選）（2023春·安徽安慶·高二安徽省宿松中學(xué)校考開學(xué)考試）方程SKIPIF1<0表示的曲線可以是（

）A．圓B．焦點在y軸上的雙曲線C．焦點在y軸上的橢圓D．焦點在x軸上的雙曲線【答案】ABC【詳解】對于A，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，方程可化為SKIPIF1<0，該方程表示圓，故A正確；對于B，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，方程可化為SKIPIF1<0，該方程表示焦點在y軸上的雙曲線，故B正確；對于C，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，方程可化為SKIPIF1<0，該方程表示焦點在y軸上的橢圓，故C正確；對于D，因為由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0無解，所以當(dāng)方程化為SKIPIF1<0時，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以該方程無法表示焦點在x軸上的雙曲線，故D錯誤.故選：ABC.題型06根據(jù)方程表示雙曲線求參數(shù)【典例1】（2023春·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】若方程SKIPIF1<0表示雙曲線，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0能推出SKIPIF1<0，必要性成立，由SKIPIF1<0不能推出SKIPIF1<0，充分性不成立，故“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0表示雙曲線”的必要不充分條件.故選：B.【典例2】（2023春·內(nèi)蒙古興安盟·高二烏蘭浩特市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）已知曲線SKIPIF1<0是雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】因為曲線SKIPIF1<0是雙曲線，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國·高三對口高考）若曲線SKIPIF1<0表示雙曲線，那么實數(shù)k的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】曲線SKIPIF1<0表示雙曲線，所以SKIPIF1<0即可.解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以實數(shù)k的取值范圍是：SKIPIF1<0.故選：B.【變式2】（2023秋·高二課時練習(xí)）“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】因為方程SKIPIF1<0表示雙曲線，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因為由SKIPIF1<0可推出SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，，但是由SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，不能推出SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0表示雙曲線”的充分不必要條件，故選：A.題型07求雙曲線方程【典例1】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線過點SKIPIF1<0，且與橢圓SKIPIF1<0有公共焦點，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由橢圓SKIPIF1<0，可化為標(biāo)準(zhǔn)方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因為雙曲線與橢圓有公共的焦點，所以SKIPIF1<0，又因為雙曲線過點SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.故選：B.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽火爆開賽，被網(wǎng)友稱為“村BA”.從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，SKIPIF1<0，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】解：依題意，設(shè)雙曲線方程為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，顯然圓O的半徑為3，又因為坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，雙曲線與圓O交于第一象限內(nèi)的點為SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以雙曲線的方程為SKIPIF1<0.故選：A【典例3】（2023秋·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)以橢圓SKIPIF1<0短軸的兩個端點為焦點，且過點SKIPIF1<0；(2)經(jīng)過點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）易知橢圓SKIPIF1<0短軸的兩個端點坐標(biāo)為SKIPIF1<0；所以雙曲線焦點在SKIPIF1<0軸上，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在雙曲線上，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.（2）設(shè)雙曲線方程為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0兩點代入可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0.【變式1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的左支相交于SKIPIF1<0兩點，過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的右支相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，若四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，以SKIPIF1<0為直徑的圓過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由雙曲線的對稱性和平行四邊形的對稱性可知：SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的圓周上，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以雙曲線的方程為SKIPIF1<0.故選:D.【變式2】（2023春·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點P在雙曲線的右支上，若SKIPIF1<0，則雙曲線C的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由雙曲線定義可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0故選：D.【變式3】（2023·上海·高三專題練習(xí)）過原點的直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的左、右兩支分別交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的右焦點，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的方程為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖所示：設(shè)雙曲線的左焦點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0題型08雙曲線中的軌跡方程問題【典例1】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知雙曲線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0有唯一的公共點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0垂直的直線分別交SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0兩點．當(dāng)點SKIPIF1<0運動時，點SKIPIF1<0的軌跡方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因為雙曲線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0有唯一的公共點SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與雙曲線相切，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，所以過點SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0垂直的直線為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選：D【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動點SKIPIF1<0與定點SKIPIF1<0的距離和SKIPIF1<0到定直線SKIPIF1<0的距離的比是常數(shù)SKIPIF1<0，設(shè)動點SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0.求曲線SKIPIF1<0的方程；【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題設(shè)得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.所以曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.【典例3】（2023·高二課時練習(xí)）已知SKIPIF1<0中的兩個頂點是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊與SKIPIF1<0邊所在直線的斜率之積是SKIPIF1<0，求頂點SKIPIF1<0的軌跡．【答案】去掉頂點的雙曲線SKIPIF1<0【詳解】解：設(shè)點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0中的兩個頂點是SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0邊與SKIPIF1<0邊所在直線的斜率之積是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0所以，頂點SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0，所以，頂點SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為焦點，實軸為SKIPIF1<0，且去掉頂點的雙曲線SKIPIF1<0.【變式1】（2023秋·廣東·高二統(tǒng)考期末）動圓P過定點M(0，2)，且與圓N：SKIPIF1<0相內(nèi)切，則動圓圓心P的軌跡方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】圓N：SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0設(shè)動圓SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.即點SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為焦點，焦距長為SKIPIF1<0，實軸長為SKIPIF1<0，虛軸長為SKIPIF1<0的雙曲線上，且點SKIPIF1<0在靠近于點SKIPIF1<0這一支上，故動圓圓心P的軌跡方程是SKIPIF1<0故選：A【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的方程；【答案】SKIPIF1<0；【詳解】因為SKIPIF1<0，由雙曲線的定義可知，軌跡SKIPIF1<0是以點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為左、右焦點的雙曲線的右支，設(shè)軌跡SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以軌跡SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.【變式3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，動點SKIPIF1<0與兩定點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0構(gòu)成SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0，設(shè)動點SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0．求軌跡SKIPIF1<0的方程；【答案】SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）【分析】設(shè)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0的斜率不存在；當(dāng)SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0的斜率不存在．于是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.此時，SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0.由題意，有SKIPIF1<0，化簡可得，SKIPIF1<0故動點SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）題型09雙曲線中的焦點三角形問題【典例1】（2023春·四川資陽·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0的右支相交于A，B兩點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【詳解】雙曲線SKIPIF1<0的實半軸長SKIPIF1<0，由雙曲線的定義，可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，則三角形SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0.故選：B【典例2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考階段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是雙曲線SKIPIF1<0的左右焦點，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0為正三角形，則SKIPIF1<0的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】A【詳解】∵SKIPIF1<0為正三角形，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又雙曲線SKIPIF1<0，則根據(jù)雙曲線定義得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即等邊