2021年高考數學大題練習（六）

101.某地政府為科技興市，欲將如圖所示的一塊不規則的非農業用地規劃成一

個矩形高科技工業園區.已知8c且AB=BC=2AZ）=4h〃，曲線段

OC是以點。為頂點且開口向右的拋物線的一段.（1）

建立適當的坐標系，求曲線段的方程；（2）如果要使矩

形的相鄰兩邊分別落在AB、BC上,且一個頂點落在DC上,

問如何規劃才能使矩形工業園區的用地面積最大？并求

出最大的用地面積（精確到0.1km?）.

102.某校從參加高一年級期末考試的學生中抽出60名學生，并統計了他們的物

理成績（成績均為整數且滿分為100分）,把其中不低于50分的分成五段[50,60）,

[60,70）…[90,100]后畫出如下鄢分頻率分布直謝.卿察圖形的信息，回答下列問

（I）求出物理成績低于50分的學生人數;0.0

%02

（II）估計這次考試物理學科及格率（60分及

以上為及格）

（III）從物理成績不及格的學生中選兩人，求。。。

他們成績至少有一個不低于50分的概率.

103.如圖所示，在直四棱柱ABC。—AgGA中,DB=BC,點M是棱

上一

點.ks5u(1)求證：B}D,//?BD；ks5u(2)求證：MD±AC；ks5u

(3)試確定點M的位置，使得平面DWGJ?平面

CC\D]D.

104.已知雙曲線的中心為坐標原點0,焦點在x軸上,

過雙曲線右焦點握且斜率為1的

直線交雙曲線于A、B兩點，弦AB的中點為T,0T的斜率為L

3

(1)求雙曲線的離心率;

(2)若M、N是雙曲線上關于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當

直線PN斜率心Ne[g，；，試求直線PM的斜率kpM的范圍。

105.已知函數y=/(x)=53.

X

(I)求函數y=/(x)的圖像在x=1處的切線方程；

e

(II)求丁=/(X)的最大值；

(III)設實數。＞(),求函數E(x)=43在2司上的最小值.

106.已知函數/'(X)=sin2X+2A/3sinxcosx+3cos2x.

(I)求函數的單調增區間；

(II)已知/(a)=3,且ae(O,兀),求a的值.

107.已知數列｛/(〃)｝的前〃項和為S“，且S“=〃2+2〃.

(1)求數列｛/(〃)｝通項公式；

(H)若4=/(1),%=/3)(〃GN*),求證數列｛%+1｝是等比數列,

并求數列｛%｝的前〃項和北.

108.在四棱錐產一力6口中，AABC=AACD=^°，ZBAC=ZCAD=QQ°，PAL

平面/戰，夕為"的中點，必=2/6=2.

(I)求四棱錐一一力筋的體積匕

(II)若尸為尸。的中點，求證尸CL平面/伊

(III)求證"〃平面PAB.

109.經市場調查，某超市的一種小商品在過去的近20天內的銷售量(件)與價

格(元)均為時間t(天)的函數，且銷售量近似滿足g(。=80—2￡(件)，價

格近似滿足/(f)=20|r-10|(元).(I)試寫出該種商品的日銷售額y與時間

“0WZW20)的函數表達式；(II)求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值.

110.為了分析某個高三學生的學習狀態，對其下一階段的學習提供指導性建議。

現對他前7次考試的數學成績X、物理成績y進行分析.下面是該生7次考試的

成績.

數學888311792108100112

物理949110896104101106

(I)他的數學成績與物理成績哪個更穩定？請給出你的證明;

（II）已知該生的物理成績y與數學成績x是線性相關的，若該生的物理成績達

到115分，請你估計他的數學成績大約是多少？并請你根據物理成績與數學成績

的相關性，給出該生在學習數學、物理上的合理建議.

111.在△ABC中，已知,AC=9,sinB=cosAsinC,=6.

（1）求△ABC的三邊的長；（2）設P是△ABC（含邊界）內一點，P到三邊AC、

BC、A8的距離分別為x,y和z,求x+y+z的取值范圍.

112.已知圓O:d+y2=8交X軸于A,8兩點，曲線C是以AB為長軸，直線

/:x=T為準線的橢圓.（I）求橢圓的標準方程；（II）若

M是直線/上的任意一點，以。河為直徑的圓K與圓。相

交于P,Q兩點，求證：直線PQ必過定點E,并求出點E的

坐標；

（III）如圖所示，若直線PQ與橢圓。交于G,a兩點，且

EG=?＞HE,試求此時弦PQ的長.

113.已知函數/（力=111%+2%，8（幻=0（為2+%）.

（I）若a,求尸（x）=/（x）-g（x）的單調區間;

（II）若〃x）Vg（x）恒成立,求。的取值范圍.

114.由于衛生的要求游泳池要經常換水（進一些干凈的水同時放掉一些臟水），

游泳池的水深經常變化，已知泰州某浴場的水深y（米）是時間《0＜，＜24）,（單

位小時）的函數，記作y=/（r）,下表是某日各時的水深數據

t（時）03691215182124

y（米）252015202421511925

99

經長期觀測的曲線y=/（/）可近似地看成函數y=Acosm+人

（I）根據以上數據，求出函數丁=4根5a+）的最小正周期T,振幅力及

函數表達式；（II）依據規定，當水深大于2米時才對游泳愛好者開放，請依據

（1）的結論，

判斷一天內的上午800至晚上2000之間，有多少時間可供游泳愛好者進行

運動

115.已知函數/（幻=。國—工（其中。>0月。為實數常數）.

ax

（1）若/（x）=2,求x的值（用a表示）；（2）若a>1,且⑵）+時（f）20對于

/€[1,2]恒成立，求實數R的取值范圍（用〃表示）.

116.如圖所示，在棱長為2的正方體ABC。-48c2中，E、尸分別為OR、

DB的

中點.（1）求證：￡/〃平面43。12；（2）求證：EF1BtC;

（3）求三棱錐力-EFC的體積?

117.已知數列上｝是公差為d(dNO)的等差數列，數列｛2,｝是公比為q的(q￡

R)的等比數列，若函數=且％=/("一1),%=/(2d—l),

仇=/(4一2),/=/(q),⑴求數列｛%｝和也,｝的通項公式；(2)設數列上｝的前

〃項和為S”，對一■切〃cN*,都有￡+寸^_|--1■—j=a〃+i成立，求S“

118.如圖，公園有一塊邊長為2的等邊AABC的邊角地，現修成草坪，圖中DE

把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上.

(1)設AD=x(xNO),ED=y,求用x表示y的函數關系式；

(2)如果DE是灌溉水管，為節約成本，希望它最短，DE的位置應在哪里？

如果DE是參觀線路，則希望它最長，DE的位置又應在哪里？請予證明A

xE

D」y

B

119.已知等腰梯形HO中(如圖1),PB=3,DC=1,PB=BC=41,A為PB邊上一

點，且必=1,將〃必〃沿/〃折起，使面

為〃上面ABCD(如圖2)。

(1)證明：平面PAD1PCD；

(2)試在棱加上確定一點也使截面4加'

把幾何體分成的兩部分匕心“工”,=2」；

(3)在"滿足(II)的情況下，判斷直線4V

是否平行面PCD.

120.已知數列｛2,｝中，=tit>0_@.rl),a2=r,且尤=JF是函數

=-⑷-%+Jx的一個極值點.(1)求數列｛*｝的通項公

式；

(2)若點P”的坐標為(1,a)(〃eN"),過函數g(x)=ln(l+/)圖像上的點

(a“,g(a”))的切線始終與OP”平行(0為原點)，

1111」

求證：當上<f<2,且時，不等式」+-!-+...+-!-<2"-22對任意〃GN*都

24b2b?

成立.

參考答案

101.解(I)以。為原點，處所在直線為y軸建立直角坐標系如圖，依題意可

1

22-4-

設拋物線方程為V=2px(p>0),且。(4,2).2P2-

故曲線段〃。的方程為V=x(ovx44,y>0).(II)設2(;/,y)(04y<2)是

曲線段少上的任意一點，則在矩形/W『中，|PQ=2+y,|PN|=4-...工

業區面積S=1PQ|-PNb(2+y)(4-y2)=_y3_2y2+4y+8.又'=爾-4y+4,令

S=o得y=；,y=—2.?.?0<y<2,.?.y=(.當ye(O,；)時，S，>0,S是y的增函數;

當”(§,2)時，S'<0,S是y的減函數.；?)=；時，S取到極大值，此時

Q32

|P2l=2+y=,PN|=4-y2=§

故S=gx￡=**9.5.?.?丁=0時5=8,,51^=95(初？).答：當矩形的長為

—km,寬為號6時，園區面積最大，約為95ZM.

93

102.解：(I)因為各組的頻率和等于1,故低于50分的頻率為：

/,=1—(0.015x2+0.03+0.025+0.005)x10=0.1..............................................3分

所以低于50分的人數為60x0.1=6(人)................................5

分

(II)依題意，成績60及以上的分數所在的第三、四、五、六組(低于50分的

為第一組)，

頻率和為(0.015+0.03+0.025+0.005)*10=0.75

所以，抽樣學生成績的合格率是

75%..............................................................................8分.

于是，可以估計這次考試物理學科及格率約為

75%.......................................................9分.

(III)“成績低于50分”及“[50,60)”的人數分別是6,9。所以從成績不及格

的學生中選兩人，他們成績至少有一個不低于50分的概率為：

103.（1）證明：由直四棱柱，得BBJ/DR,且BB]=DD）,

所以BBQQ是平行四邊形，所以⑸A〃BO.............（3分）

而8。（=平面AB。，B"a平面4BD,所以4Q〃面.....（4分）

（2）證明：因為J.面ABCD,ACu面ABCD,所以B旦_LAC...（6分）

又因為BDJ_AC,且BOcBg=5,所以AC1.面BBR.......(8分)

而MDu面BBp,所以MDLAC...................(9分)

（3）當點/為棱的中點時，平面DMG，平面CG。。..............（10

分）

取DC的中點N,RG的中點風，連結NN1交D3于O,連結

OM.

因為N是DC中點,BD=BC,所以8NLOC；又因為DC是

面ABCD與面DCCR的交線,而面ABCDL面OCCQi，

所以BN_L面。CGA.........（12分）

又可證得，。是NN】的中點，所以BM/70N且BM=0N,即

BM0N是平行四邊形,所以BN〃0M,所以0卜1，平面82,口，

因為0M面DMC”所以平面0MGJ■平面CC|D|D.................（14分）

22

104.解：（1）根據題意設雙曲線方程為J=l（a>0,8>0）

a1b-

點A為（x”y）B點為（/，%）T點為（%,%）

22

之一七=1

則a1L(x2-x1)(x2+%))-—(y2-^)(>'2+y,)=0

/月］夕

--------------------I

,a2b2

c2V3

:.c=2b——.........................?????????（10分）

a3

(2)設”(和必),「為(x,y),則N(_x“f)

(22

乂-冬=1

則b.,.與(％_2)(％+須)一4(y_y)(y+y)=O

一,2a-b-

b-F=1

?手,即+

abx-x}x+Xj3bb3KPN

又kpN€(§，/]

：?kpMe[1,1].............................(16分)

105.解(I)???/(x)定義域為(0,+00)

.??/代)=上學2分

X

f(-)=-e

e

又vk-/z(-)=2e24分

e

??.函數y=f\x)的在x=」處的切線方程為：

e

y+e=2e2(x--),BPy=2e2x-3e5分

e

(II)令/(x)=0得x=e6分

?.?當x￡(O,e)時，/z(x)>0,/(x)在(0,e)上為增函數

當xe(e,+8)時，/z(x)<0,在3+8)上為減函數8分

，￡皿(幻=/3)=,10分

e

(III)a>0,由(2)矢口：

尸。)在(0,e)上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減.

尸(x)在[以,2a]上的最小值/mmCO=min{F(a),F(2a)}

vF(?)-F(2a)=-ln-12分

22

.?.當0<aW2時，1F(a)-F(2a)<0,/皿,。)=E(a)=lna14分

當2〈。時P(a)-E(2a)>0,.7mhi(x)=E(2a)=gin2a16分

106.解：(I)/(x)=>/§sin2x+cos2x+2=2sin(2x+—)+2................4分

6

由一汽+22兀W2x+至W3+2々兀,得一工+左兀Wx〈巴+攵兀.

26236

.??函數/(X)的單調增區間為[--+kn,-+kn](Jlez)................7分

36

(II)由/(&)=3,得2sin(2a+工)+2=3.

兀1

sin(2tzH——)=一?................................10

62

分

TTTT,JTrTT

/.2aH——=——卜2k.7i,或2aH——=----1-2kn(kkGZ),

661662?vl927

、7C

即</=匕兀或a=§+%2兀(勺，％2eZ).

V?e(O,K),a=y.....................................................................14

分

107.解：(I)時，/(/?)==2n+l............................4分

A=1時，/⑴=&=3,適合上式，

/.f(n)=S?-S?_1=2n+1(neN*)............................5分

(II)q="1)=3,an+]=2alt+1(neN*)............................8分

即a.M+l=2(a.+l).

數列｛《,+1｝是首項為4、公比為2的等比數列............10

分

%+l=(q+l)?2"T=2""，a“=2"+Jl(〃eN*)........................12分

T=(22+23+■■■+2n+')~n=2n+2-4-n............................14分

108.解：(I)在中，AB=1,

N的。=60°,:.BC=6，AC=2.

在Rt△/切中，47=2,ZCA/)=QO°，

:?CD=26，力〃=4.

/.S=-ABBC+-ACCD

ABa22

=-xlxV3+-x2x2>/3=->/3............3分

222

則——*員2=*6...........5分

323

(II)'：PA=CA,￡為用的中點,

：.AFVPC........

分

?.?用，平面力比〃:.PALCD.

,：ACLCD,PAC\AC=A,

二口小平面用C.C.CDLPC.

???￡為如中點，一為尸。中點,

：.EF//CD.則跖J_/T......9分

,：AFHEF=F,.?.花工平面［吹.......10分

(III)證法一：

取助中點亂連EM,CM.則勿〃必.

*.*EM(Z平面PAB,為u平面PAB,

.?.￡%平面為8.....12分

在口△/切中，ZCAD=6Q°,AC=AM=2,

：.￡ACM=^°.而/歷1仁60°,：.MC//AB.

'：MC<Z平面PAB,/8u平面PAB,p

.Il笈〃平面用B.....14分/V、

?：EMCMC=M,/\

平面酸〃平面為A//

?..￡Cu平面9/A\/

平面為A.15分/人、\/

證法二：//

延長DC、AB,設它們交于點N,連

N

PN.

VZNAC=ZDAC=&0°,ACLCD,

為/V。的中點.……12分

?.?少為勿中點，：.EC//PN........14分

'：EC<Z平面PAB,PNu平面PAB,

，況〃平面為A...........15分

109.解：(I)y=：g(0./(z)=(80-2r)-(20-1|r-10|)=(40-0(40-1r-101).......4分

J[(30+f)(40-f),(0Wf<10),????????????????????????

[(40-r)(50-z),(1OWW20).

8分

(II)當0W1V10時,y的取值范圍是[1200,1225],

在t=5時，y取得最大值為1225；11

分

當10W6W20時，y的取值范圍是[600,1200],

在1=20時，y取得最小值為600.14

分

(答)總之，第5天，日銷售額y取得最大為1225元;

第20天，日銷售額y取得最小為600元.15

分

—

-n々刀/T、一八八12—17+17—8+8+12

110.解：(I)x=100+-----------------------------=100；

7

—6—9+8—4+4+1+6

y=100+---------------------------=100；4分

7

SQ若=142,理普

從而典律＞Sj理，所以物理成績更穩定。8

分

(II)由于x與y之間具有線性相關關系,

?497

=--=0.5,a=100-0.5x100=50,11分

994

.?.線性回歸方程為y=0.5x+50。當y=115時，*=130。13分

111、解：設AB=c,AC=b,BC=a

,、hccosA=9443

(1)，=>tanA=—,sinA=—,cosA=-,be=15

besinA=123559

^=cosA=>-=-,由為二fnf=3,用余弦定理得a

sinCc5——二c=5

c5i

121

(2)2s△4sc=3x+4y+5z—12=>%+y+z=+—(2x+y)

3x+4y<12,

設f=2x+y,<x>0,由線性規劃得04區8

y>0,

/.—<x+y+z<4

Y22

112.解：（I）設橢圓的標準方程為點+/V=l（a＞人＞0）,則:

a—2>/2

”20,故匕=2,所以橢圓的標準方程為工

〃2,從而：<104

-=4c-284

、c

分

(II)設M(-4,⑼，則圓K方程為(x+2)?+y-￡i=h6分

與圓0:/+;/=8聯立消去公,＞2得丹2的方程為4X一加），+8=0,

過定點E（-2,0）。9分

%：+2yf=8

（III）解法一：設G（%,%）,//（/,%），則，①

x；+2y；=8'

%!=-8—3%

,.1EG-3HE,;.(玉+2,y)=3(-2—%,一%)，即：,

J=-3%

_8

3

代入①解得：（舍去正值）,12分

+2

%

-3

:=1,所以PQ:x-y+2=0,

從而圓心0(0,0)到直線PQ的距離d過3

從而PQ=2j&一屋=6。15

分

解法二：過點G,”分別作直線/的垂線，垂足分別為G',”'，設PQ的傾斜角為

a,則：

?=e=,-EH-=e=,從而GG'=?GE,HH'=?HE,11分

GG'2HH'2

由的=3近得：EG=3HE,/.cosa=故二二工，

GE+EH24

由此直線PQ的方程為x-y+2=0,以下同解法一。15分

V2V2

解法三：將PQ:4x-/ny+8=0與橢圓方程3+譽=1聯立成方程組消去x得:

(4+32)/一16%，-64=0,設6(%方),“[2，%)，則~11

分

-.■FG=3HF,(x,+2,=3(-2-x,,-y2),所以y=-3乂代入韋達定理得：

8m.264

%=7，o9

2/〃2+323%,2=機2+32

消去力得：m2=16,m=+4,由圖得：m-4,13分

所以PQ:x-y+2=0,以下同解法一。15分

113.解：(I)F(x)=lnx+2x--x2--x,其定義域是(0,+8)

22

/⑸」+27」=一(2x+l)(D

x22x

令F'(x)=0,得x=2,x=—！(舍去)。3

2

分

當0<x<2時，F'(x)>0,函數單調遞增；

當x〉2時，尸(x)<0,函數單調遞減；

即函數尸(x)的單調區間為(0,2)(2,+8)

6分

(II)設尸(x)=/(x)-g(x)，貝舊(x)=-烏巴必a,8

2x

分

當aWO時，F\x)>Q,F(x)單調遞增，E(x)40不可能恒成立，10

分

當a>()時，令尸(x)=0,得％=,，x=-~(舍去)。

a2

當0<x<，時，尸(x)>0,函數單調遞增；

a

當x>-時，F\x)<0,函數單調遞減；

a

13分

故尸(x)在(0,+8)上的最大值是F(-),依題意F(3V0恒成立，

aa

即

aa

又g(a)=In——1單調遞減，且g(l)=0，

aa

故ln'+4-1<0成立的充要條件是aNl,

aa

所以。的取值范圍是[l,+oo)o

16分

114.解⑴由表中數據，知丁=12,/=竿=專由，=0,y=2.5得A+8=2.5

由，=3,y=2,得力=2

11,rr

所以,A=0.5,/?=2振幅4二一,.??尸一cos—r+2..............8分

226

(2)由題意知，當y>2時，才可對沖浪者開放AlCos-r+2>2,

26

cos-r>0

6

?C7乃乃C7兀

??一2k兀v—tv2k兀~\—,

26l2

即有一12攵萬一3<，<12攵不+3,

由0KY24,故可令人=0,1,2,得0W/<3或9</<15或21WY24....1.4

分

...在規定時間內有6個小時可供游泳愛好者運動即上午900至下午15

00............15分115.解(1)當x<Q時〃x)=O,當x>0

時,/(%)=?'-p-.....................2分

由條件可知，-!-=2,即。2，一2.優一1=0解得優=1±四.......6分

ax

x

'：a>0,.-.x=logfl(l+V2).................8

分

(2)當/■€[1,2]時，a'(a21——^-)+m{a'——y)>0...................10分

a"

即m(a2z-1)>-(?4/-1)

va>l,rG[1,2]

:.a2'-l>Q,:.m>-(a2'+V).......................13分

*/te[1,2],/.a"+1w\a'+l,a4+1]

一(a"+1)€[—1—a"1-]

故m的取值范圍是[-1-+oo)....................16

分

116.證明：（1）連結BQ,在ADR8中，E、尸分別為。Q,DB的中點，則

EF//D.B

D[Bu平面ABCQ,=EF〃平面已

EF<Z平面ABCQi

(2)

B.CLAB

BC工BQ

A6,4Cu平面

ABflg=6=

gC_L平面ABGA'_

80u平面A8CQj

B0工BD；

EFIIBDXJ=>EF1fi,C

(3)?.?CE_L平面BOD4

CFI^EFB,且CF=BF=Ji

EF=^BD1=j3,B]F=產+四2=J(揚2”=瓜

B]E=不BQ：+DE=/+(2揚2=3

/.EF2+B,F2=B,E2即NEFB[=90°

?'?-EFC~熊-叱^CF^xl.EFB.FCF

=—x—xV3x^6xV2=1

32

117.解(1)數列｛%｝是公差為d(dwO)的等差數列

2

/(x)=x,JSLa,=f(d-1),a5-f(2d-1)

.?.(d-l)2+4d=(2d-l)2：.d=2

q=1an=2/1-1................4分

數歹U也“｝是公比為4的(qeR)的等比數列

2

f(x)=x,K,bx=f(q-2),b3=f(q)

:.q?=q?(q-2『q=3

t>i=1bn=3"T................8分

⑵~h+~h~+'"+~h~^a"+'

bib2b?

n—\—=tz2G=3,S|=3................10分

〃?2-^-=??+1=2

血

c“=2〃31................12分

w

Sn=Cj+c*2++=3+2,2,3+2,3,3-+??,2?H?3

=2(1-3°+2-3|+302+…〃-3"T)+|

設x=，3°+2-3i+302+…+"-3"T

3-x=1-31+2-32+---+(?-1)-3,,_|+n-3"

2x=n-3n-(3n-,+3n-2+---3°)

13

/.S=(n——)-3"+—..............14分

“n22

iR

綜上S“=(“_上)?3"+?,〃eN*..............16分

"22

118.(1)在aADE中，y2=x2+AE2-2x?AE?cos60°=>y2=x2+AE2-x.AE,(D

2

XSAADE=-SBC=—a=-x?AE?sin60°=x?AE=2.②

2AA22

2

②代入①得y2=x：'+(2尸一2(y>0),y=x+-^--2(1WXW2).6

xVx

分

(2)如果DE是水管y=