2021年高考數學模擬測試卷

第I卷（選擇題）

一、單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.已知為虛數單位，若復數，則（）

A.B.C.D.或

【答案】C

【解析】

分析：根據表達式得，化簡可求得，根據模的定義即可求得。

詳解：

所以

所以選C

點睛：本題考查了復數的簡單運算和模的定義，化簡過程中注意共輾復數和符號的變化，是簡單

題。

2.若集合，，則（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

集合，

故得到

故答案為：Bo

3.若橢圓的一個焦點的坐標是，則其離心率等于（）

A.2B..C..D.

【答案】D

【解析】

依題意可知，b=,a==1,.，.c==；.e==

故選B.

點睛：根據題意可知a和b,進而根據。=求得c,進而根據6=求得e.

4.2019年慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵式彰顯了中華民族從站起來、富起來邁向強起來

的雄心壯志.閱兵式規模之大、類型之全均創歷史之最，編組之新、要素之全彰顯強軍成就.裝備方

陣堪稱“強軍利刃”“強國之盾”，見證著人民軍隊邁向世界一流軍隊的堅定步伐.此次大閱兵不

僅得到了全中國人的關注，還得到了無數外國人的關注.某單位有10位外國人，其中關注此次大閱

兵的有8位，若從這10位外國人中任意選取3位做一次采訪，則被采訪者中至少有2位關注此次

大閱兵的概率為（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】

至少有2位關注此次大閱兵的對立事件為恰有2位不關注此次大閱兵，根據對立事件的概率公式計

算概率.

【詳解】

解：從這10位外國人中任意選取3位做一次采訪，其結果為個，

恰有2位不關注此次大閱兵有個，

則至少有2位關注大閱兵的概率

故選:

【點睛】

本題考查排列組合的應用與占典概型，考查運算求解能力，屬于基礎題.

5.正方體笫-48K4中，￡是棱4?上的動點，則直線4〃與直線，力所成的角等于（）

A.60°B.90°C.30°D.隨點6的位置而變化

【答案】B

【解析】

'JA.DLAB,A八A",

平面AD\C、B,

又平面AD￡、B,

.,.A.DLQE.

直線4〃與直線GE所成的角等于90°.選B.

6.已知tana=-2,則的值為（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

,所以原式

,故選A.

7.在平行四邊形中，

則（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根據向量的線性運算及向量的數量積計算可得.

【詳解】

解:

,所以

故選：

【點睛】

本題考查平面向量的數量積，考查運算求解能力，屬于基礎題.

8.三世紀中期，魏晉時期的數學家劉徽利用不斷倍增圓內接正多邊形邊數的方法求出圓周率的近

似值，首創“割圓術”.利用“割圓術”，劉徽得到了圓周率精確到小數點后兩位的近似值3.14,

這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術”思想設計的程序框圖，則輸出的值為

()(參考數據:)

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【解析】

【分析】

根據程序框圖運行程序，直到滿足時輸出結果即可.

【詳解】

按照程序框圖運行程序，輸入

則，不滿足循環:

,,不滿足

,,滿足，輸出結果:

本題正確選項：

【點睛】

本題考查根據程序框圖循環結構計算輸出結果，關鍵是能夠準確判斷是否滿足輸出條件，屬于基礎

題.

9.已知函數，若將曲線向左平移個單位長度后，得到曲線

,則不等式的解集是（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根據三角函數的變換規則求得的解析式，再根據余弦函數的性質解不等式即可.

【詳解】

解：將曲線向左平移個單位長度后，得到曲線,則

由,得得,則

,,得

故選：

【點睛】

本題考查三角函數的圖象及其性質，考查推理論證能力與運算求解能力.

10.現有三條曲線:

①曲線;②曲線；③曲線.直線與其相切的共有

()

A.。條B.1條C.2條D.3條

【答案】D

【解析】

【分析】

分別求出函數的導數，根據導數的幾何意義一一判斷.

【詳解】

解：若，則由，得，點在直線上，則直線

與曲線相切；

若則由，得,當時，點在

直線上，則直線與曲線相切；

若，則由，得,其中在直線上，所以

直線與曲線相切.

故選：

【點睛】

本題考查導數的幾何意義，考查邏輯推理與數學運算的核心素養，屬于基礎題.

11.設雙曲線的左、右焦點分別為直線：

與雙曲線在第一、三象限的漸近線的交點為，若,則雙曲線的離心率

為（)

A.B.2C.D.

【答案】B

【解析】

由題可知雙曲線C在第一、三象限的漸近線方程為聯立方程組

設點0為坐標原點,

由A可知

化簡得故選B.

12.已知函數為偶函數，當時，，則（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

令，貝!1，對求導，分析其單調性，

再根據指數函數的性質比較，的大小關系，根據函數的單調性判斷大小/.

【詳解】

解：,令

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減.

因為

所以當時,,且單調遞增.

又,所以

在上單調遞減，且

故.

故選：

【點睛】

本題考查函數的綜合應用，考查數學抽象與邏輯推理的核心素養，屬于難題.

第n卷（非選擇題）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。

13.中醫藥是反映中華民族對生命、健康和疾病的認識，具有悠久歷史傳統和獨特理論及技術方法

的醫藥學體系，是中華文明的瑰寶.某科研機構研究發現，某品種中成藥的藥物成份的含量

（單位：）與藥物功效（單位：藥物單位）之間具有關系：.檢測這種藥品一個

批次的5個樣本，得到成份的平均值為，標準差為，估計這批中成藥的藥物功效的平均

值為藥物單位.

【答案】92

【解析】

【分析】

由題可得，

進而可得，再計算出，從而得出答案。

【詳解】

5個樣本成份的平均值為，標準差為，所以，

即，解得

因為，

所以

所以這批中成藥的藥物功效的平均值藥物單位.

【點睛】

本題考查求幾個數的平均數，解題的關鍵是求出，屬于一般題。

14.已知，，現有下列四個結論：

①；②；③；④.其中所有正確結論的編號是.

【答案】②③

【解析】

【分析】

將指數式轉化為對數式，再根據對數的運算性質驗證.

【詳解】

解：，，得，，，貝I

,.故所有正確結論的編號是②③.

故答案為：②③

【點睛】

本題考查指數、對數運算，考查運算求解能力與推理論證能力，屬于基礎題.

15.設，，分別為內角，，的對邊.已知，則

的取值范圍為.

【答案】

【解析】

【分析】

根據正弦定理將邊化角，結合兩角和的正弦公式可求角，由余弦定理知

根據余弦函數的性質求出范圍.

【詳解】

解：因為，所以，

所以

即又,所以

則，因為,所以，

而,故.

故答案為：：；

【點睛】

本題考查正弦與余弦定理的應用，考查運算求解能力本題是一個易錯題，學生容易忽略不能

等于0,屬于中檔題.

16.設三棱錐的每個頂點都在球的球面上，是面積為的等邊三角形，

,則當三棱錐的體積最大時，球的表面積為.

【答案】

【解析】

【分析】

由題意可求，故當且平面底面時，三棱錐的體積最大.分

別求出和外接圓的半徑，即可求得外接球的半徑與表面積.

【詳解】

解：如圖，由題意得,解得

當且平面底面時，三棱錐的體積最大.

分別過和的外心作對應三角形所在平面的垂線，垂線的交點即球心

,設和的外接圓半徑分別為，，球的半徑為，

則

故,球的表面積為

故答案為：

【點睛】

本題考查三棱錐的體積與球體的表面積，考查空間想象能力與運算求解能力，屬于難題.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第

17-21題為必做題,每個考生都必須作答.第22/23題為選考題，考生根據要求作答.

(一)必考題：共60分

17.在數列中，，，^

(1)求數列的通項公式；

(2)求數列的前項和.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

(1)根據遞推公式可得即是首項為2,公比為2的等比數列，即可

求出通項公式；

(2)由(1)可得，采用分組求和計算其前項和.

【詳解】

解：⑴

又

是首項為2,公比為2的等比數列，

:.從而.

1(1V

(2)---,a?-----=2",/.a——=4",

4

.?.S,=4+2+4?+2+43+2+…+4”+2

=(4'+42+43+---+4)1)+2?

1-4

4n+1-4.

----------

3

4""+6〃-4

3

【點睛】

本題考查等比數列的通項公式以及求和公式，屬于中檔題.

18.如圖，在直三棱柱43C—DAF中，ZBAC=9Q°,4c3=30°,BE=BC=2,M，

N分別是BE,NC的中點.

(1)證明：MTV〃平面CZ>E.

（2）求直線4以與平面COE所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵叵

14

【解析】

【分析】

（1）取8的中點，連接NO,EO,可證四邊形MEON是平行四邊形，即得MN//EO,

即可證明線面平行.

（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求出線面角的正弦值.

【詳解】

解：（1）證明：取的中點，連接NO,EO.

YN是AC的中點、，：.NO"ADHME.

是8E的中點，NOuME1,

...四邊形"SON是平行四邊形，，MN//EO.

；EOu平面CDE,W平面CDE,

MN〃平面CDE.

（2）解：以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系。一孫z.

VZBAC=90°,ZACB=30°,

:.DE=AB=1,DF=AC=5

則。（0,0,0）,￡（1,0,0）,C（0,V3,2）,4（0,0,2）,

則詼=（1,0,0）,DC=（0,V3,2）.

設平面CDE1的法向量為3=（x,y,z）,則小瓦=[.皮=0，即工=/1^+22=0，

令y=2,則z=—G，得3=（0,2,-6）.

設直線AM叼平面CDE所成角為6，?.?前=（1,0,-1）,

.?a—/另7-\_?A/川-8_

??sinu-cosIAM.RI—.—=-產—尸二-----，

\'\AM\\n\V2xV714

故W與平面CDE所成角的正弦值為叵.

14

【點睛】

本題考查線面平行的證明，線面角的計算，考查空間想象能力，計算能力，屬于中檔題.

19.已知直線x=2p與拋物線:(夕＞0)交于,0兩點，且"。。的面積為16

(為坐標原點).

(1)求的方程.

(2)直線經過的焦點尸且不與X軸垂直,與交于，兩點，若線段Z8的垂直平分線

\AB\

與X軸交于點，試問在X軸上是否存在點E,使舄為定值？若存在，求該定值及E的坐標；

若不存在，請說明理由.

【答案】(1)y2=4x

(2)存在，(1,0)

【解析】

【分析】

(1)將x=2p代入/=2*，得^=±20,即可表示出APO0的面積，計算可得P.

(2)設直線的方程為卜=后(》-9(左片0),聯立直線與曲線方程，根據焦點弦長公式計算出

\AB\,求出線段23的垂直平分線與％軸交于點的坐標，設E&0),則|。閡可用含f,左的式

AB

子表示，即可分析當/為何值是FT為定值.

DE

【詳解】

解：(1)將X=22代入=2px,得y=±2p,

所以APO0的面積為:x2px4p=4P2=16.

因為。＞0,所以2=2,

故的方程為歹2=4x.

(2)由題意設直線的方程為y=Mx-l"wO),

由二一1)'得上2/_(2左2+4卜+左2=0.

設力(石,凹),8(X2，%)，則再+/=2左：4,

K

4k2.L4

所以|AB|=演+/+P=------;——?

因為線段Z5的中點的橫坐標為土上=空2,縱坐標為2,

2k2k

21(左2+2、

所以線段48的垂直平分線的方程為歹一7k=-7ky%--kn~-,

22

令y=0,得x=3+記，所以的橫坐標為3+記，

設E(f,0),則阿=3+W—」°T)f+2|,

KK

網4左2+4

一西一|(37*+2「

\AB\/、

所以當且僅當3-/=2,即，=1時，渦為定值，且定值為2,故存在點E，且E的坐標為(1,0).

【點睛】

本題考查求拋物線的標準方程，直線與拋物線的綜合應用問題，屬于中檔題.

20.某城市有東、西、南、北四個進入城區主干道的入口，在早高峰時間段，時常發生交通擁堵,

交警部門記錄了11月份30天內的擁堵情況(如下表所示，其中?表示擁堵，。表示通暢).假設

每個人口是否發生擁堵相互獨立，將各入口在這30天內擁堵的頻率代替各入口每天擁堵的概率.

11.111.211.311.411.511.611.711.811.911.1011.1111.1211.1311.1411.15

東

入?OOOO?O??O???O?

□

西

入OO??O?O*O?O??OO

□

南

入O?OOO?OOOOOOOO?

□

北

入*OOO?OO?OOOOO?O

口

11.1611.1711.1811.1911.2011.2111.2211.2311.2411.2511.2611.2711.2811.2911.30

東

入?OO?OOO??O?O?O?

□

西

入?O??O?O?O?O?O?O

口

南

入OOO?OOOO?OOOOO?

□

北

OO*OOOOOOOOOO?O

入

□

（1）分別求該城市一天中早高峰時間段這四個主干道的入口發生擁堵的概率.

（2）各人口一旦出現擁堵就需要交通協管員來疏通，聘請交通協管員有以下兩種方案可供選擇.方

案一：四個主干道入口在早高峰時間段每天各聘請一位交通協管員，聘請每位交通協管員的日費用

為/〃（135〈根＜175,且mH140）元.方案二：在早高峰時間段若某主干道入口發生擁堵，交

警部門則需臨時調派兩位交通協管員協助疏通交通，調派后當日需給每位交通協管員的費用為200

元.以四個主干道入口聘請交通協管員的日總費用的數學期望為依據，你認為在這兩個方案中應該

如何選擇？請說明理由.

【答案】（1）-

（2）當135〈加＜140時，應該選擇方案一；當140〈加＜175時，應該選擇方案二.

【解析】

【分析】

（1）根據所給數據利用古典概型的概率公式計算可得.

（2）計算出方案二聘請交通協管員的日總費的期望值，結合方案一比較分析.

【詳解】

解：（1）將東、西、南、北四個主干道入口發生擁堵的情況分別記為事件，

則尸（2）=尸⑻=P（C）=P（0=W

（2）對于方案二，設四個主干道聘請交通協管員的日總費用為X，

則X的可能取值為0，400,800,1200,1600.

P（X=400）=；x（lx2+1x2=。

rl「Th5100

2

1—；433

尸（X=800）=X—=-------

5100

1

P（X=1200）=

2

P（X=1600）

故E(X)=0x生

+400x—+800x—+1200x—+1600x—=560元.

''100100100100100

對于方案一，四個主干道聘請交通協管員的日總費用為4〃?元,

當135〈優<140時，4m<560?應該選擇方案一;

當140<加<175時，4m>560,應該選擇方案二.

【點睛】

本題考查古典概型的概率計算問題，以及離散型隨機變量的分布列、期望的計算，屬于中檔題.

21.設函數/(x)=axlnx+,(<7>0).

(1)當。=1時，求的極值；

(2)如果“X)》?在(0,+8)上恒成立，求實數的取值范圍.

【答案】有極小值/(1)=1，沒有極大值；(2)(0,：.

【解析】

試題分析：(1)當。=1時，求導令導函數等于零，列表，通過友格找到函數極值即可；(2)求

恒成立問題一般要分離參數，構造函數求其最小值，只需最小值大于零即可求出取值范圍.

試題解析：(1)由已知，當。=1時，/(x)=xlnx+L；./'(x)=lnx+l-：，

17

/"(x)=—+二>0

xx

.?./'(X)在(0,+8)上單調遞增，且/'(1)=0,

/'(X),隨X變化如下表:

X1(1,+°°)

/'(X)-0+

極小值/

有極小值/(1)=1,沒有極大值.

(2)(方法一)由題可得a。—lnx)4(?恒成立,

當xNe時，上式恒成立;

乂Q>0,故，2工2（］_1）

當0<x<e時,a<—-------rnx

x2(l-lnx)a

令〃(x)=%2(1Tll',則=-21n%),令I(%)=0，

，當時，，G<x<c時，"（x）<0,

??"（x）max==e（l-ln&）、，

.--->4,解得：，二的取值范圍是.

a2

（方法二）由題可得，設，則

'：a>0,在(0,+oo)上單調遞增，，

(1

3xGl,ea使得g'(xo)=o,則a=—,

0IJ/一叫

由a>0知/>1,且0cxe飛時,g,(x)<0,x>x(,時，g,(x)>0,

???g(x)min=g(Xo)=^^N。，/.lnx0>1,：.xQ>^<：.a<-,

xon\xo2e

的取值范圍是

（方法三）由題可得/9。一。=々111￥+4~-。20恒成立，

XX

令〃(x)=(21nx+J-4

<0,

22

Aln->l,解得：Q?一,???的取值范圍是

ae

（二）選考題：共10分,請考生在22,23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

22.選修4-4：坐標系與參數方程

73

八1

/=I1+cos0x=---2-

已知曲線G：｛.八（。為參數），c2：｛:（/為參數）

y=sin62V3