3.3

冪函數第三章函數概念與性質問題1：函數y=2x,y=x2,這兩個函數有什么區別？問題引入：函數的生活實例問題1：如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的錢數p=

。問題2：如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積是S=

，

問題3：如果正方體的邊長為b，那么正方體的體積是V=

，

問題4:如果正方形場地的面積為S，那么正方形的邊長c=

，

問題5：如果某人ts內騎車行進了1km，那么他騎車的平均速度v=

w這里p是w的函數a2這里S是a的函數b3這里V是b的函數這里c是S的函數這里v是t的函數t-1km/s

若將它們的自變量全部用x來表示,函數值用y來表示,則它們的函數關系式將是:y=x2y=x3y=xy=x以上問題中的函數有什么共同特征？（1）都是函數；（2）均是以自變量為底的冪；（3）指數為常數；（4）自變量前的系數為1。上述問題中涉及的函數，都是形如y=xα的函數。

y=x

y=x2

y=x3

y=x1/2

y=x-1一.冪函數定義一般地，函數y=xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數.(1)為常量,.定義說明(2)中前面的系數為1.(3)定義域沒有固定,與的值有關.

式子

名稱

ax

y指數函數:y=ax

冪函數:y=xa

底數指數指數底數冪值冪值冪函數與指數函數的對比判斷一個函數是冪函數還是指數函數切入點看看未知數x是指數還是底數冪函數指數函數判斷下列函數是否為冪函數。(1)y=x4(3)y=-x2(2)y=2x2(6)y=x3+2

牛刀小試

冪函數圖象與性質：xy0RRR[0,+∞）RR[0,+∞）[0,+∞）均為增函數奇函數奇函數偶函數非奇非偶函數定義域：值域：奇偶性：在(0,+∞)上的單調性：xy0xy0xy011111111定義域：y0x{x|x≠0}{y|y≠0}奇函數減函數值域：在（0,+∞）上的單調性：奇偶性：1111xy0y=xy=x2y=x3y=x-1

(4)當x∈(0,1)時,指數越大,冪函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);當x∈(1,+∞)時,指數越大,冪函數的圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”).對于函數y=xα(α為常數)而言,其圖象有以下特點:(1)恒過點(1,1),且不過第四象限.題型分析題型一、冪函數的概念例1

函數f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數,且當x∈(0,+∞)時,f(x)是增函數,試確定m的值.分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數,且當x>0時是增函數,可先利用冪函數的定義求出m的值,再利用單調性確定m的值.解:根據冪函數的定義,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.當m=3時,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函數;當m=-2時,f(x)=x-3在(0,+∞)上是減函數,不符合要求.故m=3.解題方法（判斷一個函數是否為冪函數）

判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y=xα(α為常數)的形式,即:(1)系數為1;(2)指數為常數;(3)后面不加任何項.反之,若一個函數為冪函數,則該函數必具有這種形式.1.如果冪函數y=(m2-3m+3)

的圖象不過原點,求實數m的取值.

解:由冪函數的定義得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;當m=1時,m2-m-2=-2,函數為y=x-2,其圖象不過原點,滿足條件;當m=2時,m2-m-2=0,函數為y=x0,其圖象不過原點,滿足條件.綜上所述,m=1或m=2.題型二冪函數的圖象與性質

例2已知函數y=xa,y=xb,y=xc的圖象如圖所示,則a,b,c的大小關系為

(

)A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案:A解析:由冪函數的圖象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.解題方法（冪函數圖像與性質）1.本題也可采用特殊值法,如取x=2,結合圖象可知2a>2b>2c,又函數y=2x在R上是增函數,于是a>b>c.2.對于函數y=xα(α為常數)而言,其圖象有以下特點:(1)恒過點(1,1),且不過第四象限.(2)當x∈(0,1)時,指數越大,冪函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);當x∈(1,+∞)時,指數越大,冪函數的圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”).(3)由冪函數的圖象確定冪指數α與0,1的大小關系,即根據冪函數在第一象限內的圖象(類似于y=x-1或y=,y=x3)來判斷.1.如圖所示,曲線C1與C2分別是函數y=xm和y=xn在第一象限內的圖象,則下列結論正確的是(

)A.n<m<0 B.m<n<0C.n>m>0

D.m>n>0解析:畫出直線y=x0的圖象,作出直線x=2,與三個函數圖象交于點(2,20),(2,2m),(2,2n).由三個點的位置關系可知,n<m<0.故選A.答案:A題型三利用冪函數的單調性比較大小

例3比較下列各組中兩個數的大小:解題方法（比較冪函數大小）1.比較冪大小的三種常用方法

2.利用冪函數單調性比較大小時要注意的問題比較大小的兩個實數必須在同一函數的同一個單調區間內,否則無法比較大小.小結：

知識：冪函數