54分專項練(六)18、19、20、211．已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且eq\f(（a2＋c2－b2）·sinA,sinC)＝ac.(1)若C＝eq\f(5π,6)，c＝3，求a；(2)若4S△ABC＋c2＝2a2，求B的大小．2．已知等比數列{an}是遞減數列，a1a4＝3，a2＋a3＝4.(1)求數列{an}的通項公式；(2)設bn＝2n－2an＋1＋n，求數列{bn}的前n項和Tn.3．如圖，在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1＝A1B1＝eq\f(1,2)AB＝1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD.(1)若點M是AD的中點，求證：C1M∥平面AA1B1B；(2)棱BC上是否存在一點E，使得二面角E-AD1-D的余弦值為eq\f(1,3)？若存在，求線段CE的長；若不存在，請說明理由．4．法國數學家亨利·龐加萊(JulesHenriPoincar)是個每天都會吃面包的人，他經常光顧同一家面包店，面包師聲稱賣給龐加萊的面包平均重量是1000g，上下浮動50g．在龐加萊眼中，這用數學語言來表達就是：面包的重量服從期望為1000g，標準差為50g的正態分布．(1)假如面包師沒有撒謊，現龐加萊從該面包店任意買2個面包，求其質量均不少于1000g的概率；(2)出于興趣或一個偶然的念頭，龐加萊每天將買來的面包稱重并記錄，得到25個面包質量(X)的數據(單位：g)如下：983972966992101010089549529699689981001100695795096997197595295998710111000997961設從這25個面包中任取2個，其質量不少于1000g的面包數記為η，求η的分布列和E(η)；(3)龐加萊計算出這25個面包質量(X)的平均值eq\o(X,\s\up6(－))＝978.72g，標準差是20.16g，認定面包師在制作過程中偷工減料，并果斷舉報給質檢部門，質檢員對面包師做了處罰，面包師也承認自己的錯誤，并同意做出改正．龐加萊在接下來的一段時間里每天都去這家面包店買面包，他又認真記錄了25個面包的質量，并算得它們的平均值為1002.6g，標準差是5.08g，于是龐加萊又一次將面包師舉報了．請你根據兩次平均值和標準差的計算結果及其統計學意義，說說龐加萊又一次舉報的理由．54分專項練(六)18、19、20、211．解：(1)由eq\f(（a2＋c2－b2）·sinA,sinC)＝ac及正弦定理，可得eq\f(（a2＋c2－b2）a,c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝c2，故a2＝b2，即a＝b，故A＝B＝eq\f(π,12).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得a＝eq\f(c·sinA,sinC)＝eq\f(3×\f(\r(6)－\r(2),4),\f(1,2))＝eq\f(3\r(6)－3\r(2),2).(2)因為4S△ABC＋c2＝2a2，所以2absinC＋c2＝2a2，由余弦定理得2absinC＋a2＋b2－2abcosC＝2a2.由(1)知a＝b，故sinC＝cosC，即tanC＝1，故C＝eq\f(π,4).又a＝b，故B＝A＝eq\f(3π,8).2．解：(1)設等比數列{an}的公比為q，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1a4＝a2a3＝3，,a2＋a3＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,a3＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝3，,a3＝1，))所以q＝3或eq\f(1,3)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,3)，,q＝3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝9，,q＝\f(1,3).))又因為數列{an}是遞減數列，所以a1＝9，q＝eq\f(1,3).故數列{an}的通項公式為an＝33－n.(2)由(1)得bn＝2n－2×32－n＋n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n－2)＋n，故Tn＝eq\f(\f(3,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(n))),1－\f(2,3))＋eq\f(n（n＋1）,2)＝eq\f(9,2)－eq\f(9,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)＋eq\f(n＋n2,2).3．解：(1)證明：連接B1A，由已知得B1C1∥BC∥AD，且B1C1＝AM＝eq\f(1,2)BC，所以四邊形AB1C1M是平行四邊形，所以C1M∥B1A.又因為C1M?平面AA1B1B，B1A?平面AA1B1B，所以C1M∥平面AA1B1B.(2)取BC中點Q，連接AQ，AC.因為ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，所以△ABC是正三角形，所以AQ⊥BC，即AQ⊥AD.又由于AA1⊥平面ABCD，所以以A為原點，AQ，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，如圖所示．則A(0，0，0)，A1(0，0，1)，D1(0，1，1)，Q(eq\r(3)，0，0)．假設點E存在，設點E的坐標為(eq\r(3)，λ，0)，－1≤λ≤1.所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，λ，0)，eq\o(AD,\s\up6(→))1＝(0，1，1)．設平面AD1E的法向量n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AD,\s\up6(→))1＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋λy＝0，,y＋z＝0，))可取n＝(λ，－eq\r(3)，eq\r(3))．易知平面ADD1的法向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，0，0)，所以|cos〈eq\o(AQ,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(\r(3)|λ|,\r(3)\r(λ2＋6))＝eq\f(1,3)，解得λ＝±eq\f(\r(3),2).又由于二面角E-AD1-D為銳角，由圖可知，點E在線段QC上，所以λ＝eq\f(\r(3),2)，即CE＝1－eq\f(\r(3),2).4．解：(1)由已知可得龐加萊從該面包店購買任意一個面包，其質量不少于1000g的概率為eq\f(1,2)，設龐加萊從該面包店購買2個面包，其質量不少于1000g的面包數為ξ，由已知可得ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，故P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4).(2)25個面包中，質量不少于1000g的有6個，則η的可能取值為0，1，2，P(η＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,19),Ceq\o\al(2,25))＝eq\f(171,300)＝eq\f(57,100)；P(η＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,19),Ceq\o\al(2,25))＝eq\f(114,300)＝eq\f(19,50)；P(η＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,25))＝eq\f(15,300)＝eq\f(1,20)，所以η的分布列為η012Peq\f(57,100)eq\f(19,50)eq\f(1,20)所以E(η)＝0×eq\f(57,100)＋1×eq\f(19,50)＋2×eq\f(1,20)＝0.48.(3)龐加萊經過仔細思考，認為標準差代表了面包重量的誤差，可以理解成面包師手