74幾何證明選講(二)直線與圓的位置關系導學目標：1.理解圓周角定理，弦切角定理及其推論；2.理解圓的切線的判定及性質定理；3.理解相交弦定理，割線定理，切割線定理；4.理解圓內接四邊形的性質定理及判定．自主梳理1．圓周角、弦切角及圓心角定理(1)__________的度數等于其的對______的度數的一半．推論1：________(或________)所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角__________相等．推論2：半圓(或直徑)所對的__________等于90°.反之，90°的圓周角所對的弧是________(或__________)．(2)弦切角的度數等于其所夾孤的度數的____．(3)圓心角的度數等于它所對弧的度數．2．圓中比例線段有關定理(1)相交弦定理：______的兩條____________，每條弦被交點分成的____________的積相等．(2)切割線定理：從圓外一點引圓的一條割線和一條切線，切線長是這點到割線與圓的兩個交點的線段長的____________．(3)割線定理：從圓外一點引圓的兩條________，該點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．溫馨提示相交弦定理，切割線定理，割線定理揭示了與圓有關的線段間的比例關系，在與圓有關的比例線段問題的證明、計算以及證明線段或角相等等問題中應用甚廣．3．切線長定理從________一點引圓的兩條切線，__________相等．4．圓內接四邊形的性質與判定定理(1)性質定理：圓內接四邊形的對角________．推論：圓內接四邊形的任何一個外角都等于它的內角的________．(2)判定定理：如果四邊形的__________，則四邊形內接于____．推論：如果四邊形的一個外角等于它的____________，那么這個四邊形的四個頂點________．5．圓的切線的性質及判定定理(1)性質定理：圓的切線垂直于經過切點的________．推論1：經過________且________與垂直的直線必經過切點．推論2：經過________且切線與垂直的直線必經過______________________________．(2)判定定理：過半徑________且與這條半徑________的直線是圓的切線．自我檢測1．如圖在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是AB上一點，且AD＝2DB，以D為圓心，DB為半徑的圓與AC相切，則sinA＝________.2．(2010·南京模擬)如圖，AB是圓O的直徑，EF切圓O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，則AC長為________．3．(2011·湖南)如圖，A，E是半圓周上的兩個三等分點，直徑BC＝4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點F，則AF的長為________．4．如圖所示，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，AC交⊙O于點D，若AD＝32，CD＝18，則AB＝________.5．(2010·揭陽模擬)如圖，已知P是⊙O外一點，PD為⊙O的切線，D為切點，割線PEF經過圓心O，PF＝12，PD＝4eq\r(3)，則圓O的半徑長為________、∠EFD的度數為________.探究點一與圓有關的等角、等弧、等弦的判定例1如圖，⊙O的兩條弦AC，BD互相垂直，OE⊥AB，垂足為點E.求證：OE＝eq\f(1,2)CD.變式遷移1在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分線，△AMC的外接圓O交BC于點N；若AC＝eq\f(1,3)AB，求證：BN＝3MN.探究點二四點共圓的判定例2如圖，四邊形ABCD中，AB、DC的延長線交于點E，AD，BC的延長線交于點F，∠AED，∠AFB的角平分線交于點M，且EM⊥FM.求證：四邊形ABCD內接于圓．變式遷移2如圖，已知AP是⊙O的切線，P為切點，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B、C兩點，圓心O在∠PAC的內部，點M是BC的中點．(1)證明：A，P，O，M四點共圓；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．探究點三與圓有關的比例線段的證明例3如圖，PA切⊙O于點A，割線PBC交⊙O于點B，C，∠APC的角平分線分別與AB，AC相交于點D，E，求證：(1)AD＝AE；(2)AD2＝DB·EC.變式遷移3(2010·全國)如圖，已知圓上的弧＝，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.1．圓周角定理與圓心角定理在證明角相等時有較普遍的應用，尤其是利用定理進行等角代換與傳遞．2．要注意一些常用的添加輔助線的方法，若證明直線與圓相切，則連結直線與圓的公共點和圓心證垂直；遇到直徑時，一般要引直徑所對的圓周角，利用直徑所對的圓周角是直角解決有關問題．3．判斷兩線段是否相等，除一般方法(通過三角形全等)外，也可用等線段代換，或用圓心角定理及其推論證明．4．證明多點共圓的常用方法：(1)證明幾個點與某個定點距離相等；(2)如果某兩點在某條線段的同旁，證明這兩點對這條線段的張角相等；(3)證明凸四邊形內對角互補(或外角等于它的內角的對角)．5．圓中比例線段有關定理常與圓周角、弦切角聯合應用，要注意在題中找相等的角，找相似三角形，從而得到線段的比．(滿分：75分)一、填空題(每小題5分，共40分)1．如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條弦，且AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別是E，F，則結論①＝，②∠AOB＝∠COD，③OE＝OF，④＝中，正確的有________個．2．(2010·湖南)如圖所示，過⊙O外一點P作一條直線與⊙O交于A、B兩點．已知PA＝2，點P到⊙O的切線長PT＝4，則弦AB的長為________．3．(2010·陜西)如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3cm,4cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，則eq\f(BD,DA)＝________.4．(2009·廣東)如圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB＝4，∠ACB＝45°，則圓O的面積為________．5．已知PA是圓O的切線，切點為A，PA＝2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點B，PB＝1，則圓O的半徑R＝________.6．如圖，圓O是△ABC的外接圓，過點C的切線交AB的延長線于點D，CD＝2eq\r(7)，AB＝3.則BD的長為________．7．(2011·天津)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF＝eq\r(2)，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長為________．8．(2010·天津)如圖，四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，延長AB和DC相交于點P.若eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,2)，eq\f(PC,PD)＝eq\f(1,3)，則eq\f(BC,AD)的值為________．二、解答題(共35分)9．(11分)如圖，三角形ABC中，AB＝AC，⊙O經過點A，與BC相切于B，與AC相交于D，若AD＝CD＝1，求⊙O的半徑r.10．(12分)(2009·江蘇)如圖，在四邊形ABCD中，△ABC≌△BAD.求證：AB∥CD.11．(12分)(2011·江蘇)如圖，圓O1與圓O2內切于點A，其半徑分別為r1與r2(r1>r2)．圓O1的弦AB交圓O2于點C(O1不在AB上)．求證：AB∶AC為定值．74幾何證明選講(二)直線與圓的位置關系自主梳理1．(1)圓周角弧同弧等弧所對的弧圓周角半圓弦為直徑(2)一半2.(1)圓相交弦兩條線段長(2)等比中項(3)割線3.圓外切線長4.(1)互補對角(2)對角互補圓內角的對角共圓5．(1)半徑圓心切線切點圓心(2)外端垂直自我檢測1.eq\f(1,2)解析設切點為T，則DT⊥AC，AD＝2DB＝2DT，∴∠A＝30°，sinA＝eq\f(1,2).2．2eq\r(3)解析連接CB，則∠DCA＝∠CBA，又∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB.∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB).∴AC2＝AB·AD＝2×6＝12.∴AC＝2eq\r(3).3.eq\f(2\r(3),3)解析如圖，連接CE，AO，AB.根據A，E是半圓周上的兩個三等分點，BC為直徑，可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，故△AOB為等邊三角形，AD＝eq\r(3)，OD＝BD＝1，∴DF＝eq\f(\r(3),3)，∴AF＝AD－DF＝eq\f(2\r(3),3).4．40解析如圖，連接BD，則BD⊥AC，由射影定理知，AB2＝AD·AC＝32×50＝1600，故AB＝40.5．430°解析由切割線定理得PD2＝PE·PF，∴PE＝eq\f(PD2,PF)＝eq\f(16×3,12)＝4，∴EF＝8，OD＝4.又∵OD⊥PD，OD＝eq\f(1,2)PO，∠P＝30°，∠POD＝60°＝2∠EFD，∴∠EFD＝30°.課堂活動區例1解題導引(1)借用等弦或等弧所對圓周角相等，所對的圓心角相等，進行角的等量代換；同時也可借在同圓或等圓中，相等的圓周角(或圓心角)所對的弧相等，進行弧(或弦)的等量代換．(2)本題的證法是證明一條線段等于另一條線段的一半的常用方法．證明作直徑AF，連接BF，CF，則∠ABF＝∠ACF＝90°.又OE⊥AB，O為AF的中點，則OE＝eq\f(1,2)BF.∵AC⊥BD，∴∠DBC＋∠ACB＝90°，又∵AF為直徑，∠BAF＋∠BFA＝90°，∵∠AFB＝∠ACB，∴∠DBC＝∠BAF，即有CD＝BF.從而得OE＝eq\f(1,2)CD.變式遷移1證明∵CM是∠ACB的平分線，∴eq\f(AC,AM)＝eq\f(BC,BM)，即BC＝AC·eq\f(BM,AM)，又由割線定理得BM·BA＝BN·BC，∴BN·AC·eq\f(BM,AM)＝BM·BA，又∵AC＝eq\f(1,3)AB，∴BN＝3AM，∵在圓O內∠ACM＝∠MCN，∴AM＝MN，∴BN＝3MN.例2解題導引證明多點共圓，當它們在一條線段同側時，可證它們對此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點距離相等；如兩點在一條線段異側，則證明它們與線段兩端點連成的凸四邊形對角互補．證明連接EF，因為EM是∠AEC的角平分線，所以∠FEC＋∠FEA＝2∠FEM.同理，∠EFC＋∠EFA＝2∠EFM.而∠BCD＋∠BAD＝∠ECF＋∠BAD＝(180°－∠FEC－∠EFC)＋(180°－∠FEA－∠EFA)＝360°－2(∠FEM＋∠EFM)＝360°－2(180°－∠EMF)＝2∠EMF＝180°，即∠BCD與∠BAD互補．所以四邊形ABCD內接于圓．變式遷移2(1)證明連接OP，OM，因為AP與⊙O相切于點P，所以OP⊥AP.因為M是⊙O的弦BC的中點，所以OM⊥BC.于是∠OPA＋∠OMA＝180°，由圓心O在∠PAC的內部，可知四邊形APOM的對角互補，所以A，P，O，M四點共圓．(2)解由(1)得A，P，O，M四點共圓，所以∠OAM＝∠OPM.由(1)得OP⊥AP.由圓心O在∠PAC的內部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.例3解題導引尋找適當的相似三角形，把幾條要證的線段集中到這些相似三角形中，再用圓中角、與圓有關的比例線段的定理找到需要的比例式，使問題得證．證明(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.因PE是∠APC的角平分線，故∠EPC＝∠APD，PA是⊙O的切線，故∠C＝∠PAB.所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.(2)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(∠PCE＝∠PAD,∠CPE＝∠APD))?△PCE∽△PAD?eq\f(EC,AD)＝eq\f(PC,PA)；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(∠PEA＝∠PDB,∠APE＝∠BPD))?△PAE∽△PBD?eq\f(AE,DB)＝eq\f(PA,PB).又PA是切線，PBC是割線?PA2＝PB·PC?eq\f(PA,PB)＝eq\f(PC,PA).故eq\f(EC,AD)＝eq\f(AE,DB)，又AD＝AE，故AD2＝DB·EC.變式遷移3證明(1)因為＝，所以∠BCD＝∠ABC.又因為EC與圓相切于點C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因為∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故eq\f(BC,BE)＝eq\f(CD,BC)，即BC2＝BE×CD.課后練習區1．4解析∵在同圓或等圓中，等弦所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對弦心距相等，故①②③成立，又由＝，得＝，∴④正確．2．6解析連接BT，由切割線定理，得PT2＝PA·PB，所以PB＝8，故AB＝6.3.eq\f(16,9)解析eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)?eq\f(AD,3)＝eq\f(3,5)?AD＝eq\f(9,5)?BD＝eq\f(16,5)(cm)，eq\f(BD,DA)＝eq\f(16,9).4．8π解析連接OA，OB，∵∠BCA＝45°，∴∠AOB＝90°.設圓O的半徑為R，在Rt△AOB中，R2＋R2＝AB2＝16，∴R2＝8.∴圓O的面積為8π.5.eq\r(3)解析如圖，依題意，AO⊥PA，AB⊥PC，PA＝2，PB＝1，∠P＝60°，在Rt△CAP中，有2OA＝2R＝2tan60°＝2eq\r(3)，∴R＝eq\r(3).6．4解析由切割線定理得：DB·DA＝DC2，即DB(DB＋BA)＝DC2，∴DB2＋3DB－28＝0，∴DB＝4.7.eq\f(\r(7),2)解析設BE＝a，則AF＝4a，FB＝2a.∵AF·FB＝DF·FC，∴8a2＝2，∴a＝eq\f(1,2)，∴AF＝2，FB＝1，BE＝eq\f(1,2)，∴AE＝eq\f(7,2).又∵CE為圓的切線，∴CE2＝EB·EA＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)＝eq\f(7,4).∴CE＝eq\f(\r(7),2).8.eq\f(\r(6),6)解析∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，∴△PCB∽△PAD.∴eq\f(PB,PD)＝eq\f(PC,PA)＝eq\f(BC,AD).∵eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,