4．4.3不同函數增長的差異明學習目標知結構體系課標要求1.了解常用的描述現實世界中不同增長規律的函數模型．2．了解直線上升、指數爆炸、對數增長等增長含義．3．能根據具體問題選擇合適的函數模型．重點難點重點：不同函數增長的差異及應用．難點：

對不同函數增長差異的理解.三種常見函數模型的增長差異函數性質y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝kx(k＞0)在(0，＋∞)上的增減性________________________圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩定增長速度固定單調遞增單調遞增單調遞增增長特點隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越快，即增長速度急劇隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩直線上升，其增長速度不變增長速度y＝ax(a＞1)的增長速度遠遠快于y＝kx(k＞0)的增長速度，y＝kx(k＞0)的增長速度快于y＝logax(a＞1)的增長速度結果存在一個x0，當x＞x0時，有

_____________續表ax＞kx＞logax[即時小練]1．判斷正誤(1)當x每增加一個單位時，y增加或減少的量為定值(不為0)，則y是x的一次函數．

(

)(2)函數y＝log2x增長的速度越來越慢．

(

)(3)不存在一個實數m，使得當x>m時，1.1x>x100. (

)(4)由于指數函數模型增長速度最快，所以對于任意x∈R恒有ax>2x(a>1)．

(

)答案：(1)√

(2)√

(3)×

(4)×2．在一次數學試驗中，采集到如下一組數據：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02[典例]已知三個變量y1，y2，y3隨變量x變化數據如下表：x12468…y1241664256…y248162432…y30122.5853…則反映y1，y2，y3隨x變化情況擬合較好的一組函數模型是

(

)A．y1＝4x，y2＝2x，y3＝log2xB．y1＝2x，y2＝4x，y3＝log2xC．y1＝log2x，y2＝4x，y3＝2xD．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝4x[解析]從題表格可以看出，三個變量y1，y2，y3都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y1的增長速度最快，呈指數函數變化，變量y3的增長速度最慢，呈對數型函數變化，故選B.[答案]

B[方法技巧]常見的函數模型及增長特點線性函數模型線性函數模型y＝kx＋b(k>0)的增長特點是“直線上升”，其增長速度不變指數函數模型指數函數模型y＝ax(a>1)的增長特點是隨著變量的增大，函數值增大的速度越來越快，即增長速度急劇，形象地稱為“指數爆炸”對數函數模型對數函數模型y＝logax(a>1)的增長特點是隨著自變量的增大，函數值增大的速度越來越慢，即增長速度平緩．可稱為“對數增長”[對點訓練]1．下列函數中，增長速度最快的是

(

)A．y＝20x

B．y＝x20C．y＝log20x D．y＝20x解析：y＝20x是一次函數，y＝x20是冪函數，y＝log20x是對數函數，y＝20x是指數函數，因為當x足夠大時，指數函數增長速度最快，故選D.答案：D

2．今有一組實驗數據如下：現準備用下列函數中的一個近似地表示這些數據滿足的規律，其中最接近的

一個是

(

)t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.1[典例]近年來，我國積極參與國際組織，承擔國際責任，為國家進步、社會發展、個人成才帶來了更多機遇，因此，面臨職業選擇時，越來越多的青年人選擇通過創業、創新的方式實現人生價值．其中，某位大學生帶領其團隊自主創業，通過直播帶貨的方式售賣特色農產品，下面為三年來農產品銷售量的統計表：年份201720182019銷售量/萬斤415583結合國家支持大學生創業政策和農產品市場需求情況，該大學生提出了2020年銷售115萬斤特色農產品的目標，經過創業團隊所有隊員的共同努力，2020年實際銷售123萬斤，超額完成預定目標．(1)將2017、2018、2019、2020年分別定義為第1年、第2年、第3年、第4年，現有兩個函數模型：二次函數模型為f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；冪函數模型為g(x)＝kx3＋mx＋n(k≠0)．請你通過計算分析確定：選用哪個函數模型能更好的反映該創業團隊農產品的年銷售量y與第x年的關系；(2)依照目前的形勢分析，你能否預測出該創業團隊在2021年度的農產品銷售量嗎？顯然2＜9，因此，選用二次函數f(x)＝7x2－7x＋41模型能更好的反映該創業團隊農產品的年銷售量y與第x年的關系．(2)依據(1)，選用二次函數模型f(x)＝7x2－7x＋41進行預測，得f(5)＝7×52－7×5＋41＝181(萬斤)．即預測該創業團隊在2021年的農產品銷售量為181萬斤．[方法技巧]幾類不同增長函數模型選擇的方法(1)增長速度不變，即自變量增加相同量時，函數值的增量相等，此時的函數模型是一次函數模型．(2)增長速度越來越快，即自變量增加相同量時，函數值的增量成倍增加，此時的函數模型是指數函數模型．(3)增長速度越來越慢，即自變量增加相同量時，函數值的增量越來越小，此時的函數模型是對數函數模型．[對點訓練]蘆薈是一種經濟價值很高的觀賞、食用植物，不僅可美化居室、凈化空氣，又可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內占有很大的市場．某人準備進軍蘆薈市場，栽培蘆薈，為了了解行情，進行市場調研，從4月1日起，蘆薈的種植成本Q(單位：元/10kg)與上市時間t(單位：天)的數據情況如下表：(1)根據上表數據，從下列函數中選取一個最好能反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系的函數：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogb

t；(2)利用你選擇的函數，求蘆薈種植成本最低時的上市天數及最低種植成本．t50110250Q150108150[典例]函數f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示．設兩函數的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.

(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應的函數；(2)結合函數圖象，判斷f(6)，g(6)，f(2020)，g(2020)的大?。甗解]

(1)C1對應的函數為g(x)＝x3，C2對應的函數為f(x)＝2x.(2)因為f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2，2020>x2，從圖象上可以看出，當x1<x<x2時，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)．當x>x2時，f(x)>g(x)，所以f(2020)>g(2020)．又因為g(2020)>g(6)，所以f(2020)>g(2020)>g(6)>f(6)．[方法技巧]比較函數增長情況的方法(1)解析法：直接看函數解析式是一次函數、指數型函數還是對數型函數，其中當x較大時，指數型函數增長速度最快，一次函數增長速度其次，對數型函數增長速度最慢．(2)表格法：通過分析表格中的數據得出函數增長速度的差異．(3)圖象法：在同一直角坐標系中畫出各函數的圖象，觀察圖象并借助計算器，便能直觀地得出這三個函數增長速度的差異．[對點訓練]甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發向同一方向運動，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)關于時間x(x≥0)的函數關系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．有以下結論：①當x>1時，甲走在最前面；②當x>1時，乙走在最前面；③當0<x<1時，丁走在最前面，當x>1時，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它們一直運動下去，最終走在最前面的是甲．其中，正確結論的序號為______．解析：四個函數的大致圖象如圖所示，根據圖象易知，③④⑤正確．答案：③④⑤一、在典題訓練中內化學科素養高考在本節考查的重點是三類函數模型增長趨勢的比較，應用函數模型解決簡單問題，體現的核心素養是數據分析、數學運算與數學建模．近年以來，我國國內非洲豬瘟疫情嚴重，引發豬肉價格上漲，因此，國家為保民生采取宏觀調控對豬肉價格進行有效的控制．通過市場調查，得到豬肉價格在近四個月的市場平均價格f(x)(單位：元/斤)與時間x(單位：月)的數據如下：x891011f(x)28.0033.9936.0034.02內化素養

數據分析對于題目條件中所給的數據要從整體上去分析，而不是孤立地看，只有這樣才能得數據變化的規律數學運算進行數學運算要善于選擇恰當的方法，如本題中利用二次函數的對稱性求f(12)二、在導向訓練中品悟核心價值

發展理性思維1．對于任意x∈(m，＋∞)，不等式log2x＜x2＜2x都成立，則m的最小值為(

)A．2 B．3C．4 D．5解析：x＞0時，令2x＝x2得：x＝2或x＝4，由于指數函數增長速度比二次函數要快，∴當x＞4時，2x＞x2恒成立，且當x＞4時，x2＞log2x也成立，對數函數增長速度小于二次函數，∴m的最小值為4.答案：C

2．在某試驗中，測得變量x和變量y之間的對應數據如下表．則下列函數中，最能反映變量x和y之間的變化關系的是

(

)A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x解析：將x＝0.50，y＝－1.01代入計算，可以排除A；將x＝2.01，y＝0.98代入計算，可以排除B、C；將各數據代入函數y＝log2x，可知滿足題意．答案：D

x0.500.992.013.98y－1.010.010.982.00

注重實踐應用3．某地西紅柿從2月1日起開始上市．通過市場調查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/1000kg)與上市時間t(單位：天)的數據如下表：由表知，體現Q與t數據關系的最佳函數模型是

(

)A．Q＝at＋b B．Q＝at2＋bt＋cC．Q＝abt D．Q＝a·logbt時間t50120150種植成本Q26005002600解析：由提供的數據可知，當t＝50時，Q＝2600；當t＝120時，Q＝500；當t＝150時，Q＝2600，則描述西紅柿種