二絕對值不等式

1．絕對值三角不等式

課前自主學案課堂互動講練知能優化訓練1．絕對值三角不等式學習目標學習目標1.理解絕對值三角不等式定理并會應用；2．會進行含絕對值三角不等式的證明．課前自主學案1．定理1：__________________________________________________________推論1：__________________________________________.推論2：__________________________________________.如果a，b是實數，則|a＋b|≤|a|＋|b|.當且僅當ab≥0時等號成立．如果a，b是實數，那么|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|如果a，b是實數，那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|2．_______________________________________________________________________________________________定理2：如果a，b，c是實數，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.當且僅當(a－b)(b－c)≥0時，等號成立.思考感悟如何理解|a|－|b|<|a±b|<|a|＋|b|的幾何意義？提示：三角形任意兩邊之差小于第三邊，三角形任意兩邊之和大于第三邊．課堂互動講練(1)設xy<0，x，y∈R，那么正確的是(

)A．|x＋y|>|x－y|B．|x－y|<|x|＋|y|C．|x＋y|<|x－y|D．|x－y|<||x|－|y||考點一含絕對值不等式的理解考點突破例1【思路點撥】

(1)由于xy<0，x，y異號，利用|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|判定．(2)題易判定m，n與1的大小關系．【解析】

(1)法一：特殊值法：取x＝1，y＝－2，則滿足xy＝－2<0，這樣有|x＋y|＝|1－2|＝1，|x－y|＝|1－(－2)|＝3，|x|＋|y|＝3，||x|－|y||＝1，∴選項C成立，A，B，D不成立．法二：由xy<0得x，y異號，易知|x＋y|<|x－y|，|x－y|＝|x|＋|y|，|x－y|>||x|－|y||，∴選項C成立，A、B、D不成立．【答案】

(1)C

(2)m≤n【名師點評】絕對值不等式性質的重要作用在于放縮，放縮的思路主要有兩種：分子不變，分母變小，則分數值變大；分子變大，分母不變，則分數值也變大，注意放縮后等號是否還能成立．變式訓練1

0<a<1，下列不等式一定成立的是(

)A．|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|>2B．|log(1＋a)(1－a)|<|log(1－a)(1＋a)|C．|log(1＋a)(1－a)＋log(1－a)(1＋a)|<|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|D．|log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a)|>|log(1＋a)(1－a)|－|log(1－a)(1＋a)|【思路點撥】根據所證結論，對“xy－ab”進行湊配，湊出已知的“x－a，y－b”來．考點二含絕對值不等式的證明例2【名師點評】含絕對值不等式的證明題主要分兩類：一類是比較簡單的不等式，往往可通過平方法，換元法去掉絕對值號轉化為常見的不等式證明題，或利用不等式的性質|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|證明不等式，常要對絕對值內的式子進行分析組合、添項減項，使待證式與已知之間聯系起來，最后通過絕對值的運算完成證明；另一類是綜合性較強的函數型含絕對值不等式，這時，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程根的分布方法來證明．已知a，b，c是實數，函數f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，當－1≤x≤1時，|f(x)|≤1.(1)證明：|c|≤1；(2)證明：當－1≤x≤1時，|g(x)|≤2.【思路點撥】對于(1)用一般到特殊的思想，即c＝f(0)．對于(2)分a>0，a＝0，a<0根據函數的單調性討論．例3【證明】

(1)由條件當－1≤x≤1時，|f(x)|≤1，取x＝0，得|c|＝|f(0)|≤1，即|c|≤1.(2)當a>0時，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是增函數，∴g(－1)≤g(x)≤g(1)．∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴g(1)＝a＋b＝f(1)－c≤|f(1)|＋|c|≤2，g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≥－(|f(－1)|＋|c|)≥－2，由此得|g(x)|≤2；當a<0時，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是減函數，∴g(－1)≥g(x)≥g(1)．∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≤|f(－1)|＋|c|≤2，g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(|f(1)|＋|c|)≥－2，由此得|g(x)|≤2；當a＝0時，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c.∵－1≤x≤1，∴|g(x)|＝|f(1)－c|≤|f(1)|＋|c|≤2.綜上，得|g(x)|≤2.【名師點評】本題利用函數的單調性，結合最值或值域，求絕對值的取值．變式訓練3設f(x)＝x2－x＋13，實數a滿足|x－a|<1.求證：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．證明：|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．例誤區警示【錯因】本題錯誤在于不能保證1＋|a＋b|≥1＋|a|,1＋|a＋b|≥1＋|b|成立．對|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的詮釋方法感悟定理的構成部分特征大小關系等號成立的條件左端|a|－|b|可能是負的≤中間部分中間部分為|a＋b|時，ab≤0，且|a|≥|b|時，左邊的等號成立；中間部分為|a－b|時，ab≥0，且|a|≥|b|時，左邊等號成立定理的構成部分特征大小關系等號成立的條件中間部分|a±b|肯定是非負的≥左端≤右端用“＋”連結時，ab≥0，右端取等號，ab≤0，且|