第33課圓的基本性質

基礎知識題型分類要點梳理題型一圓心角與圓周角基礎自測題型二圓內接四邊形題型三垂徑定理及其應用易錯警示24.勿忘外心在三角形形外知識點索引要點梳理基礎知識·自主學習知識點索引1.圓的有關概念

(1)圓：平面上到________的距離等于________的所有點組成的圖形叫做圓．________叫圓心，________

叫半徑，以O為圓心的圓記作⊙O.(2)弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫________，連接圓上任意兩點的線段叫________，經過圓心的弦叫直徑，直徑是最長的________．定點定長定點定長弧弦弦要點梳理基礎知識·自主學習知識點索引(3)圓心角：頂點在________，角的兩邊與圓相交的角叫圓心角．(4)圓周角：頂點在________，角的兩邊與圓相交的角叫圓周角．(5)等弧：在____________中，能夠完全________的弧．圓心圓上同圓或等圓重合要點梳理基礎知識·自主學習知識點索引2.圓的有關性質

(1)圓的對稱性：①圓是________圖形，其對稱軸是____________________________．②圓是__________圖形，對稱中心是__________．③旋轉不變性，即圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度，都能與原來的圖形重合．軸對稱一條直線中心對稱圓心過圓心的任意要點梳理基礎知識·自主學習知識點索引(2)垂徑定理及推論：垂徑定理：垂直于弦的直徑__________，并且_________________________．垂徑定理的推論：①平分弦(不是直徑)的直徑________________，并且

_____________________；②弦的垂直平分線____________，并且平分弦所對的兩條弧；③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．平分弦所對的兩條弧垂直于弦平分弦所對的兩條弧經過圓心平分弦要點梳理基礎知識·自主學習知識點索引(3)弦、弧、圓心角的關系定理及推論：①弦、弧、圓心角的關系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧________，所對的弦________．②推論：在同圓或等圓中，如果兩個________、

________、________、____________中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．相等相等圓心角兩條弧兩條弦兩條弦心距要點梳理基礎知識·自主學習知識點索引(4)圓周角定理及推論：圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的________．圓周角定理的推論：①同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧________．②半圓(或直徑)所對的圓周角是________；90°的圓周角所對的弦是________．一半相等直角直徑要點梳理基礎知識·自主學習知識點索引(5)點和圓的位置關系(設d為點P到圓心的距離，r為圓的半徑)：①點P在圓上_____________；②點P在圓內_____________；③點P在圓外_____________．d＝rd<rd>r要點梳理基礎知識·自主學習知識點索引(6)過三點的圓：①經過不在同一直線上的三點，有且只有一個圓．②三角形的外心：經過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓；外接圓的圓心叫做三角形的__________；三角形的外心是三邊__________的交點，這個三角形叫做這個圓的內接三角形．外心中垂線要點梳理基礎知識·自主學習知識點索引3.與圓相關的輔助線基礎自測基礎知識·自主學習知識點索引1.(中考真題-柳州)下列四個圖中，∠x是圓周角的是(

)C解析由圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角，即可得∠x是圓周角的有C.故選C.基礎自測基礎知識·自主學習知識點索引2.(中考真題-溫州)如圖，已知A、B、C在⊙O上，為優弧，下列選項中與∠AOB相等的是(

)A.2∠CB.4∠BC.4∠A D.∠B＋∠CA解析如圖，由圓周角定理可得：∠AOB＝2∠C.故選A.基礎自測基礎知識·自主學習知識點索引3.(中考真題-湖州)如圖，已知AB是△ABC外接圓的直徑，∠A＝

35°，則∠B的度數是(

)A.35°B.45°C.55°D.65°C解析∵AB是△ABC外接圓的直徑，∴∠C＝90°，∵∠A＝35°，∴∠B＝90°－∠A＝55°.故選C.基礎自測基礎知識·自主學習知識點索引4.(中考真題-臺州)從下列直角三角板與圓弧的位置關系中，可判斷圓弧為半圓的是(

)B解析∵直徑所對的圓周角等于直角，∴從直角三角板與圓弧的位置關系中，可判斷圓弧為半圓的是B.故選B.基礎自測基礎知識·自主學習知識點索引5.(中考真題-舟山)如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點E，且CE＝

2，DE＝8，則AB的長為(

)A.2 B.4C.6 D.8D解析∵CE＝2，DE＝8，∴OB＝5，∴OE＝3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，∴AB＝2BE＝8.故選D.題型一圓心角與圓周角

題型分類·深度剖析知識點索引【例1】

(中考真題-株洲)如圖，點A、B、C都在圓O上，如果∠AOB＋∠ACB＝84°，那么∠ACB的大小是________．28°解析∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOB＋∠ACB＝84°，∴3∠ACB＝84°，∴∠ACB＝28°.題型一圓心角與圓周角

題型分類·深度剖析知識點索引探究提高當圖中出現同弧或等弧時，常常考慮到弧所對的圓周角或圓心角，“一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半”，通過弧把角聯系起來．本題主要考查圓周角定理，關鍵在于找出兩個角之間的關系，利用代換的方法求解．題型一圓心角與圓周角

題型分類·深度剖析知識點索引變式訓練1

(中考真題-菏澤)如圖，在△ABC中，∠A＝25°，以點C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E，則的度數為________．題型一圓心角與圓周角

題型分類·深度剖析知識點索引變式訓練1

(中考真題-菏澤)如圖，在△ABC中，∠A＝25°，以點C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點D，交AC于點E，則的度數為________．解析連接CD，∵∠A＝25°，∠ACB＝90°，∴∠B＝65°，∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠BCD＝50°，∴的度數為50°.50°題型二圓內接四邊形

題型分類·深度剖析知識點索引【例2】

(中考真題-龍東)直徑為10cm的⊙O中，弦AB＝5cm，則弦AB所對的圓周角是_____________．30°或150°解析連接OA、OB，∵⊙O的直徑為10cm，AB＝5cm，∴AB＝OB＝OA，∴∠AOB＝60°∴∠C＝30°，∴∠D＝180°－30°＝150°，∴弦AB所對的圓周角是30°或150°.題型二圓內接四邊形

題型分類·深度剖析知識點索引探究提高在很多沒有給定圖形的問題中，常常不能根據題目的條件把圖形確定下來，因此會導致解的不唯一性，這種題一題多解，必須分類討論．本題中，弦所對的圓周角不是唯一的，圓周角的頂點可能在優弧上，也可能在劣弧上，依據“圓內接四邊形的對角互補”，這兩個角互補．題型二圓內接四邊形

題型分類·深度剖析知識點索引變式訓練2

(1)(中考真題-安徽)如圖，點A、B、C、D在⊙O上，

O點在∠D的內部，四邊形OABC為平行四邊形，則∠OAD

＋∠OCD＝________．題型二圓內接四邊形

題型分類·深度剖析知識點索引解析根據同圓中同弧所對的圓周角是圓心角的一半，則∠AOC＝2∠ADC，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴∠B＝∠AOC，∵圓內接四邊形對角互補，∴∠B＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，連接OD，∵OA＝OD，OD＝OC，∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC，∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°.題型二圓內接四邊形

題型分類·深度剖析知識點索引變式訓練2

(1)(中考真題-安徽)如圖，點A、B、C、D在⊙O上，

O點在∠D的內部，四邊形OABC為平行四邊形，則∠OAD

＋∠OCD＝________．60°題型二圓內接四邊形

題型分類·深度剖析知識點索引(2)(中考真題-廈門)如圖，已知A、B、C、D是⊙O上的四點，延長DC、AB相交于點E，若BC＝BE，求證：△ADE是等腰三角形．證明∵A、D、C、B四點共圓，∴∠A＝∠BCE，∵BC＝BE，∴∠BCE＝∠E，∴∠A＝∠E，∴AD＝DE，∴△ADE是等腰三角形．題型三垂徑定理及其應用

題型分類·深度剖析知識點索引【例3】

(中考真題-南寧)在直徑為200cm的圓柱形油槽內裝入一些油以后，截面如圖．若油面的寬AB＝160cm，則油的最大深度為(

)A.40cm

B.60cmC.80cm

D.100cm題型三垂徑定理及其應用

題型分類·深度剖析知識點索引解析連接OA，過點O作OE⊥AB，交AB于點M，∵直徑為200，AB＝160，∴OA＝OE＝100，AM＝80，∴ME＝OE－OM＝100－60＝40(cm)．故選A.題型三垂徑定理及其應用

題型分類·深度剖析知識點索引【例3】

(中考真題-南寧)在直徑為200cm的圓柱形油槽內裝入一些油以后，截面如圖．若油面的寬AB＝160cm，則油的最大深度為(

)A.40cm

B.60cmC.80cm

D.100cmA題型三垂徑定理及其應用

題型分類·深度剖析知識點索引探究提高這是一道實際問題，關鍵是將其轉化為數學問題．由于管道是圓形的，因此可以把水面寬度看作弦長，從而利用垂徑定理構造直角三角形，再利用勾股定理、方程思想來求解．本題考查的是垂徑定理的應用，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．題型三垂徑定理及其應用

題型分類·深度剖析知識點索引變式訓練3

(中考真題-紹興)紹興市著名的橋鄉，如圖，石拱橋的橋頂到水面的距離CD為8m，橋拱半徑OC為5m，則水面寬AB為(

)A.4mB.5mC.6mD.8mD解析連接OA，∵橋拱半徑OC為5，∴OA＝5，∵CD＝8，∴OD＝8－5＝3，∴AB＝2AD＝2×4＝8(m)．故選D.題型分類·深度剖析易錯警示系列易錯警示系列24勿忘外心在三角形形外知識點索引試題△ABC內接于半徑為r的⊙O，且BC>AB>AC，OD⊥BC題型分類·深度剖析易錯警示系列知識點索引學生答案展示

解當