決勝2020中考數學壓軸題全揭秘精品專題09 二次函數綜合性問題【典例分析】【考點1】二次函數與經濟利潤問題【例1】（2019·山東中考真題）扶貧工作小組對果農進行精準扶貧，幫助果農將一種有機生態水果拓寬了市場．與去年相比，今年這種水果的產量增加了1000千克，每千克的平均批發價比去年降低了1元，批發銷售總額比去年增加了．（1）已知去年這種水果批發銷售總額為10萬元，求這種水果今年每千克的平均批發價是多少元？（2）某水果店從果農處直接批發，專營這種水果．調查發現，若每千克的平均銷售價為41元，則每天可售出300千克；若每千克的平均銷售價每降低3元，每天可多賣出180千克，設水果店一天的利潤為元，當每千克的平均銷售價為多少元時，該水果店一天的利潤最大，最大利潤是多少？（利潤計算時，其它費用忽略不計．）【變式1-1】（2019·浙江中考真題）某農作物的生長率P

與溫度

t(℃)有如下關系：如圖

1，當10≤t≤25

時可近似用函數刻畫；當25≤t≤37

時可近似用函數

刻畫．

(1)求h的值．

(2)按照經驗，該作物提前上市的天數m(天)與生長率P

滿足函數關系：生長率P

0.20.250.30.35提前上市的天數m

（天）051015①請運用已學的知識，求m

關于P

的函數表達式；②請用含的代數式表示m；(3)天氣寒冷，大棚加溫可改變農作物生長速度．在(2)的條件下，原計劃大棚恒溫20℃時，每天的成本為

200元，該作物

30

天后上市時，根據市場調查：每提前一天上市售出(一次售完)，銷售額可增加

600元．因此給大棚繼續加溫，加溫后每天成本w

(元)與大棚溫度t(℃)之間的關系如圖

2．問提前上市多少天時增加的利潤最大？并求這個最大利潤（農作物上市售出后大棚暫停使用）．【變式1-2】（2019·遼寧中考真題）網絡銷售是一種重要的銷售方式．某鄉鎮農貿公司新開設了一家網店，銷售當地農產品．其中一種當地特產在網上試銷售，其成本為每千克10元．公司在試銷售期間，調查發現，每天銷售量y（kg）與銷售單價x（元）滿足如圖所示的函數關系（其中）．（1）直接寫出y與x之間的函數關系式及自變量的取值范圍．（2）若農貿公司每天銷售該特產的利潤要達到3100元，則銷售單價x應定為多少元？（3）設每天銷售該特產的利潤為W元，若，求：銷售單價x為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【考點2】二次函數與幾何圖形問題【例2】（2018·福建中考真題）空地上有一段長為a米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，已知木欄總長為100米．（1）已知a=20，矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄，且圍成的矩形菜園面積為450平方米．如圖1，求所利用舊墻AD的長；（2）已知0＜α＜50，且空地足夠大，如圖2．請你合理利用舊墻及所給木欄設計一個方案，使得所圍成的矩形菜園ABCD的面積最大，并求面積的最大值．【變式2-1】（2019·湖南中考真題）如圖，已知拋物線經過兩點A（﹣3，0），B（0，3），且其對稱軸為直線x＝﹣1．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點P是拋物線上點A與點B之間的動點（不包括點A，點B），求△PAB的面積的最大值，并求出此時點P的坐標．【變式2-2】（2018·吉林中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，動點P從點A出發，沿AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動．過點P作PD⊥AC于點D（點P不與點A、B重合），作∠DPQ=60°，邊PQ交射線DC于點Q．設點P的運動時間為t秒．（1）用含t的代數式表示線段DC的長；（2）當點Q與點C重合時，求t的值；（3）設△PDQ與△ABC重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數關系式；（4）當線段PQ的垂直平分線經過△ABC一邊中點時，直接寫出t的值．【考點3】二次函數與拋物線形問題【例3】（2019·山東省青島第二十六中學中考模擬）如圖，斜坡AB長10米，按圖中的直角坐標系可用y=x+5表示，點A，B分別在x軸和y軸上．在坡上的A處有噴灌設備，噴出的水柱呈拋物線形落到B處，拋物線可用y=x2+bx+c表示．（1）求拋物線的函數關系式（不必寫自變量取值范圍）；（2）求水柱離坡面AB的最大高度；（3）在斜坡上距離A點2米的C處有一顆3.5米高的樹，水柱能否越過這棵樹？【變式3-1】（2019·河北中考模擬）如圖，一座拱橋的輪廓是拋物線型，拱高6，在長度為8的兩支柱和之間，還安裝著三根支柱，相鄰兩支柱間的距離為5.（1）建立如圖所示的直角坐標系，求拱橋拋物線的函數表達式；（2）求支柱的長度.（3）拱橋下面擬鋪設行車道，要保證高3的汽車能夠通過（車頂與拱橋的距離不小于0.3），行車道最寬可以鋪設多少米？【變式3-2】（2019·遼寧中考模擬）如圖，是一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞的上沿是拋物線形狀，當水面的寬度為10m時，橋洞與水面的最大距離是5m．（1）經過討論，同學們得出三種建立平面直角坐標系的方案（如圖），你選擇的方案是（填方案一，方案二，或方案三），則B點坐標是，求出你所選方案中的拋物線的表達式；（2）因為上游水庫泄洪，水面寬度變為6m，求水面上漲的高度．【達標訓練】1．（2019·江蘇中考真題）如圖，利用一個直角墻角修建一個梯形儲料場ABCD，其中∠C＝120°．若新建墻BC與CD總長為12m，則該梯形儲料場ABCD的最大面積是（）A．18m2 B．m2 C．m2 D．m22．（2019·臺灣中考真題）如圖，坐標平面上有一頂點為的拋物線，此拋物線與方程式的圖形交于、兩點，為正三角形．若點坐標為，則此拋物線與軸的交點坐標為何？（）A． B． C． D．3．（2019·山西中考真題）北中環橋是省城太原的一座跨汾河大橋(如圖1)，它由五個高度不同，跨徑也不同的拋物線型鋼拱通過吊橋，拉鎖與主梁相連，最高的鋼拱如圖2所示，此鋼拱(近似看成二次函數的圖象-拋物線)在同一豎直平面內，與拱腳所在的水平面相交于A，B兩點，拱高為78米(即最高點O到AB的距離為78米)，跨徑為90米(即AB=90米)，以最高點O為坐標原點，以平行于AB的直線為軸建立平面直角坐標系，則此拋物線鋼拱的函數表達式為()A． B． C． D．4．（2019·山西中考模擬）如圖所示的是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，若水面下降2m，則水面寬度增加（）A． B． C． D．5．（2019·江蘇中考真題）如圖是王阿姨晚飯后步行的路程s(單位：m)與時間t(單位：min)的函數圖象，其中曲線段AB是以B為頂點的拋物線一部分.下列說法不正確的是()A．25min~50min，王阿姨步行的路程為800mB．線段CD的函數解析式為C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快D．曲線段AB的函數解析式為6．（2018·北京中考真題）跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一．運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，運動員起跳后的豎直高度（單位：）與水平距離（單位：）近似滿足函數關系（）．下圖記錄了某運動員起跳后的與的三組數據，根據上述函數模型和數據，可推斷出該運動員起跳后飛行到最高點時，水平距離為A． B． C． D．7．（2018·四川中考真題）如圖是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，水面下降2m，水面寬度增加______m.

8．（2019·河北中考模擬）如圖是拋物線形拱橋，P處有一照明燈，水面OA寬4m，從O、A兩處雙測P處，仰角分別為α、β，且tanα＝，tanβ＝，以O為原點，OA所在直線為x軸建立直角坐標系．P點坐標為_____；若水面上升1m，水面寬為_____m．9．（2019·吉林中考模擬）如圖，有一個橫截面邊緣為拋物線的水泥門洞，門洞內的地面寬度為，兩側離地面高處各有一盞燈，兩燈間的水平距離為，則這個門洞的高度為_______.（精確到）10．（2019·湖南中考真題）某政府工作報告中強調，2019年著重推進鄉村振興戰略，做優做響湘蓮等特色農產品品牌．小亮調查了一家湘潭特產店兩種湘蓮禮盒一個月的銷售情況，A種湘蓮禮盒進價72元/盒，售價120元/盒，B種湘蓮禮盒進價40元/盒，售價80元/盒，這兩種湘蓮禮盒這個月平均每天的銷售總額為2800元，平均每天的總利潤為1280元．（1）求該店平均每天銷售這兩種湘蓮禮盒各多少盒？（2）小亮調査發現，種湘蓮禮盒售價每降3元可多賣1盒．若種湘蓮禮盒的售價和銷量不變，當種湘蓮禮盒降價多少元/盒時，這兩種湘蓮禮盒平均每天的總利潤最大，最大是多少元？11．（2019·內蒙古中考真題）當今，越來越多的青少年在觀看影片《流浪地球》后，更加喜歡同名科幻小說，該小說銷量也急劇上升．書店為滿足廣大顧客需求，訂購該科幻小說若干本，每本進價為20元．根據以往經驗：當銷售單價是25元時，每天的銷售量是250本；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10本，書店要求每本書的利潤不低于10元且不高于18元．（1）直接寫出書店銷售該科幻小說時每天的銷售量（本）與銷售單價（元）之間的函數關系式及自變量的取值范圍．（2）書店決定每銷售1本該科幻小說，就捐贈元給困難職工，每天扣除捐贈后可獲得最大利潤為1960元，求的值．12．（2019·遼寧中考真題）某網店銷售一種兒童玩具，進價為每件30元，物價部門規定每件兒童玩具的銷售利潤不高于進價的．在銷售過程中發現，這種兒童玩具每天的銷售量（件與銷售單價（元滿足一次函數關系．當銷售單價為35元時，每天的銷售量為350件；當銷售單價為40元時，每天的銷售量為300件．（1）求與之間的函數關系式．（2）當銷售單價為多少時，該網店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少？13．（2019·云南中考真題）某駐村扶貧小組實施產業扶貧，幫助貧困農戶進行西瓜種植和銷售.已知西瓜的成本為6元/千克，規定銷售單價不低于成本，又不高于成本的兩倍.經過市場調查發現，某天西瓜的銷售量y(千克)與銷售單價x(元/千克)的函數關系如下圖所示：(1)求y與x的函數解析式(也稱關系式)；(2)求這一天銷售西瓜獲得的利潤的最大值.14．（2019·四川中考真題）攀枝花得天獨厚，氣候宜人，農產品資源極為豐富，其中晚熟芒果遠銷北上廣等大城市．某水果店購進一批優質晚熟芒果，進價為10元/千克，售價不低于15元/千克，且不超過40元/每千克，根據銷售情況，發現該芒果在一天內的銷售量（千克）與該天的售價（元/千克）之間的數量滿足如下表所示的一次函數關系．銷售量（千克）…32.53535.538…售價（元/千克）…27.52524.522…（1）某天這種芒果售價為28元/千克．求當天該芒果的銷售量（2）設某天銷售這種芒果獲利元，寫出與售價之間的函數關系式．如果水果店該天獲利400元，那么這天芒果的售價為多少元？15．（2019·湖北中考真題）某食品廠生產一種半成品食材，成本為2元/千克，每天的產量（百千克）與銷售價格（元/千克）滿足函數關系式，從市場反饋的信息發現，該半成品食材每天的市場需求量（百千克）與銷售價格（元/千克）滿足一次函數關系，部分數據如表：銷售價格（元/千克）24……10市場需求量（百千克）1210……4已知按物價部門規定銷售價格不低于2元/千克且不高于10元/千克．（1）直接寫出與的函數關系式，并注明自變量的取值范圍；（2）當每天的產量小于或等于市場需求量時，這種半成品食材能全部售出，而當每天的產量大于市場需求量時，只能售出符合市場需求量的半成品食材，剩余的食材由于保質期短而只能廢棄．①當每天的半成品食材能全部售出時，求的取值范圍；②求廠家每天獲得的利潤y（百元）與銷售價格的函數關系式；（3）在（2）的條件下，當為______元/千克時，利潤有最大值；若要使每天的利潤不低于24（百元），并盡可能地減少半成品食材的浪費，則應定為______元/千克．16．（2019·四川中考真題）隨著技術的發展，人們對各類產品的使用充滿期待.某公司計劃在某地區銷售第一款產品，根據市場分析，該產品的銷售價格將隨銷售周期的變化而變化.設該產品在第（為正整數）個銷售周期每臺的銷售價格為元，與之間滿足如圖所示的一次函數關系.（1）求與之間的關系式；（2）設該產品在第個銷售周期的銷售數量為（萬臺），與的關系可用來描述．根據以上信息，試問：哪個銷售周期的銷售收入最大？此時該產品每臺的銷售價格是多少元？17．（2019·遼寧中考真題）2019年在法國舉辦的女足世界杯，為人們奉獻了一場足球盛宴．某商場銷售一批足球文化衫，已知該文化衫的進價為每件40元，當售價為每件60元時，每個月可售出100件．根據市場行情，現決定漲價銷售，調查表明，每件商品的售價每上漲1元，每個月會少售出2件，設每件商品的售價為x元，每個月的銷量為y件．（1）求y與x之間的函數關系式；（2）當每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰好為2250元；（3）當每件商品的售價定為多少元時，每個月獲得利潤最大？最大月利潤為多少？18．（2019·遼寧中考真題）某服裝超市購進單價為30元的童裝若干件，物價部門規定其銷售單價不低于每件30元，不高于每件60元．銷售一段時間后發現：當銷售單價為60元時，平均每月銷售量為80件，而當銷售單價每降低10元時，平均每月能多售出20件．同時，在銷售過程中，每月還要支付其他費用450元．設銷售單價為x元，平均月銷售量為y件．（1）求出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．（2）當銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月可獲利1800元？（3）當銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月獲得利潤最大？最大利潤是多少？19．（2019·貴州中考真題）某山區不僅有美麗風光，也有許多令人喜愛的土特產，為實現脫貧奔小康，某村組織村民加工包裝土特產銷售給游客，以增加村民收入.已知某種士特產每袋成本10元.試銷階段每袋的銷售價x（元）與該士特產的日銷售量y（袋）之間的關系如表：x（元）152030…y（袋）252010…若日銷售量y是銷售價x的一次函數，試求：（1）日銷售量y（袋）與銷售價x（元）的函數關系式；（2）假設后續銷售情況與試銷階段效果相同，要使這種土特產每日銷售的利潤最大，每袋的銷售價應定為多少元？每日銷售的最大利潤是多少元？20．（2019·湖北中考真題）為落實“精準扶貧”精神，市農科院專家指導李大爺利用坡前空地種植優質草莓．根據場調查，在草莓上市銷售的30天中，其銷售價格（元/公斤）與第天之間滿足（為正整數），銷售量（公斤）與第天之間的函數關系如圖所示：如果李大爺的草莓在上市銷售期間每天的維護費用為80元．（1）求銷售量與第天之間的函數關系式；（2）求在草莓上市銷售的30天中，每天的銷售利潤與第天之間的函數關系式；（日銷售利潤＝日銷售額﹣日維護費）（3）求日銷售利潤的最大值及相應的．21．（2019·四川中考真題）辰星旅游度假村有甲種風格客房15間，乙種風格客房20間．按現有定價：若全部入住，一天營業額為8500元；若甲、乙兩種風格客房均有10間入住，一天營業額為5000元．(1)求甲、乙兩種客房每間現有定價分別是多少元？(2)度假村以乙種風格客房為例，市場情況調研發現：若每個房間每天按現有定價，房間會全部住滿；當每個房間每天的定價每增加20元時，就會有兩個房間空閑．如果游客居住房間，度假村需對每個房間每天支出80元的各種費用．當每間房間定價為多少元時，乙種風格客房每天的利潤最大，最大利潤是多少元？22．（2019·湖北中考真題）某超市擬于中秋節前天里銷售某品牌月餅，其進價為元/．設第天的銷售價格為（元/），銷售量為．該超市根據以往的銷售經驗得出以下的銷售規律：①當時，；當時，與滿足一次函數關系，且當時，；時，．②與的關系為．（1）當時，與的關系式為；（2）為多少時，當天的銷售利潤（元）最大？最大利潤為多少？（3）若超市希望第天到第天的日銷售利潤（元）隨的增大而增大，則需要在當天銷售價格的基礎上漲元/，求的最小值．23．（2019·遼寧中考真題）某水產養殖戶進行小龍蝦養殖．已知每千克小龍蝦養殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，日銷售量y（kg）與時間第t天之間的函數關系式為（，t為整數），銷售單價p（元/kg）與時間第t天之間滿足一次函數關系如下表：（1）直接寫出銷售單價p（元/kg）與時間第t天之間的函數關系式．