離散型隨機變量的方差學習目標：1.理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標準差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題．(重點)3.掌握方差的性質(zhì)以及二點分布、二項分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差．(難點)教材整理1離散型隨機變量的方差的概念閱讀教材P62例1以上部分，完成下列問題．離散型隨機變量的方差與標準差名稱定義意義方差一般地，設一個離散型隨機變量X所有可能取的值為x1，x2，…，xn，這些值對應的概率是p1，p2，…，pn，則D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn，叫做這個離散型隨機變量X的方差.離散型隨機變量的方差和標準差反映了離散型隨機變量取值相對于期望的平均波動大小(或說離散程度).標準差D(X)的算術平方根eq\r(DX)叫做離散型隨機變量X的標準差.1．下列說法正確的有________．(填序號)①離散型隨機變量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；②離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③離散型隨機變量X的期望E(X)反映了X取值的波動水平；④離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的波動水平．【解析】①錯誤．因為離散型隨機變量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平．②錯誤．因為離散型隨機變量X的方差D(X)反映了隨機變量偏離于期望的平均程度．③錯誤．因為離散型隨機變量的方差D(X)反映了X取值的波動水平，而隨機變量的期望E(X)反映了X取值的平均水平．④正確．由方差的意義可知．【答案】④2．已知隨機變量X，D(X)＝eq\f(1,9)，則X的標準差為________．【解析】X的標準差eq\r(DX)＝eq\r(\f(1,9))＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)教材整理2二點分布、二項分布的方差閱讀教材P63例2以下部分，完成下列問題．服從二點分布與二項分布的隨機變量的方差(1)若X服從二點分布，則D(X)＝p(1－p)；(2)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．若隨機變量X服從二點分布，且成功概率P＝0.5，則D(X)＝________，E(X)＝________.【解析】E(X)＝0.5，D(X)＝0.5(1－0.5)＝0.25.【答案】0.250.5離散型隨機變量的方差的性質(zhì)及應用【例1】設在12個同類型的零件中有2個次品，抽取3次進行檢驗，每次抽到一個，并且取出后不再放回，若以X和Y分別表示取出次品和正品的個數(shù)．(1)求X的分布列、期望及方差；(2)求Y的分布列、期望及方差．【精彩點撥】(1)可先求出X分布列，然后利用期望和方差公式求解；(2)可由Y分布列及其期望、方差公式求解，也可由期望、方差性質(zhì)求解．【解】(1)X的可能取值為0,1,2.若X＝0，表示沒有取出次品，其概率為P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(6,11)，同理，有P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(9,22)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,10),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,22).∴X的分布列為X012Peq\f(6,11)eq\f(9,22)eq\f(1,22)∴E(X)＝0×eq\f(6,11)＋1×eq\f(9,22)＋2×eq\f(1,22)＝eq\f(1,2)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2×eq\f(6,11)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2×eq\f(9,22)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))2×eq\f(1,22)＝eq\f(3,22)＋eq\f(9,88)＋eq\f(9,88)＝eq\f(15,44).(2)Y的可能取值為1,2,3，顯然X＋Y＝3.法一：P(Y＝1)＝P(X＝2)＝eq\f(1,22)，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝eq\f(9,22)，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝eq\f(6,11)，∴Y的分布列為Y123Peq\f(1,22)eq\f(9,22)eq\f(6,11)E(Y)＝1×eq\f(1,22)＋2×eq\f(9,22)＋3×eq\f(6,11)＝eq\f(5,2)，D(Y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)))2×eq\f(1,22)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,2)))2×eq\f(9,22)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(5,2)))2×eq\f(6,11)＝eq\f(15,44).法二：E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝eq\f(5,2)，D(Y)＝D(3－X)＝(－1)2D(X)＝eq\f(15,44).1．由本例可知，利用公式D(aX＋b)＝a2D(X)及E(aX＋b)＝aE(X)＋b來求E(Y)及D(Y)，既避免了求隨機變量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大數(shù)的計算，從而簡化了計算過程．2．若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)，若X服從二點分布，則D(X)＝p(1－p)，其中p為成功概率，應用上述性質(zhì)可大大簡化解題過程．1．為防止風沙危害，某地政府決定建設防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了n株沙柳，已知各株沙柳成活與否是相互獨立的，成活率為p，設X為成活沙柳的株數(shù)，已知E(X)＝3，D(X)＝eq\f(3,2)，求n，p的值．【解】由題意知，X服從二項分布B(n，p)，由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝eq\f(3,2)，得1－p＝eq\f(1,2)，∴p＝eq\f(1,2)，n＝6.求離散型隨機變量的方差、標準差【例2】編號為1,2,3的三位學生隨意入座編號為1,2,3的三個座位，每位學生坐一個座位，設與座位編號相同的學生的人數(shù)是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．【精彩點撥】首先確定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，進而求出E(ξ)和D(ξ)的值．【解】ξ的所有可能取值為0,1,3，ξ＝0表示三位同學全坐錯了，有2種情況，即編號為1,2,3的座位上分別坐了編號為2,3,1或3,1,2的學生，則P(ξ＝0)＝eq\f(2,A\o\al(3,3))＝eq\f(1,3)；ξ＝1表示三位同學只有1位同學坐對了．則P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),A\o\al(3,3))＝eq\f(1,2)；ξ＝3表示三位學生全坐對了，即對號入座，則P(ξ＝3)＝eq\f(1,A\o\al(3,3))＝eq\f(1,6).所以，ξ的分布列為ξ013Peq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(1,6)E(ξ)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,6)＝1；D(ξ)＝eq\f(1,3)×(0－1)2＋eq\f(1,2)×(1－1)2＋eq\f(1,6)×(3－1)2＝1.求離散型隨機變量的方差的類型及解決方法1．已知分布列型(非二點分布或二項分布)：直接利用定義求解，具體如下，(1)求均值；(2)求方差．2．已知分布列是二點分布或二項分布型：直接套用公式求解，具體如下，(1)若X服從二點分布，則D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．3．未知分布列型：求解時可先借助已知條件及概率知識求得分布列，然后求方差．4．對于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性質(zhì)求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．2．有10張卡片，其中8張標有數(shù)字2,2張標有數(shù)字5，從中隨機地抽取3張卡片，設3張卡片數(shù)字之和為ξ，求E(ξ)和D(ξ)．【解】這3張卡片上的數(shù)字之和為ξ，這一變量的可能取值為6,9,12.ξ＝6表示取出的3張卡片上均標有2，則P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).ξ＝9表示取出的3張卡片上兩張標有2，一張標有5，則P(ξ＝9)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).ξ＝12表示取出的3張卡片上一張標有2，兩張標有5，則P(ξ＝12)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).∴ξ的分布列為ξ6912Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)∴E(ξ)＝6×eq\f(7,15)＋9×eq\f(7,15)＋12×eq\f(1,15)＝7.8.D(ξ)＝(6－7.8)2×eq\f(7,15)＋(9－7.8)2×eq\f(7,15)＋(12－7.8)2×eq\f(1,15)＝3.36.期望、方差的綜合應用[探究問題]1．A，B兩臺機床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表：A機床次品數(shù)X10123P0.70.20.060.04B機床次品數(shù)X20123P0.80.060.040.10試求E(X1)，E(X2)．【提示】E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.2．在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比較兩臺機床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么？【提示】不能．因為E(X1)＝E(X2)．3．在探究1中，試想利用什么指標可以比較A，B兩臺機床加工質(zhì)量？【提示】利用樣本的方差．方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定．【例3】甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的數(shù)學期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術．【精彩點撥】(1)由分布列的性質(zhì)先求出a和乙射中7環(huán)的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比較甲、乙兩射手的射擊水平，需先比較兩射手擊中環(huán)數(shù)的數(shù)學期望，然后再看其方差值．【解】(1)由題意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1因為乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2，所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分別為ξ10987η10987P0.50.30.10.1P0.30.30.20.2(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成績比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術好．利用均值和方差的意義分析解決實際問題的步驟1．比較均值．離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，因此，在實際決策問題中，需先計算均值，看一下誰的平均水平高．2．在均值相等的情況下計算方差．方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度．通過計算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定．3．下結論．依據(jù)方差的幾何意義做出結論．3．甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等．兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護區(qū)：X0123P0.30.30.20.2乙保護區(qū)：Y012P0.10.50.4試評定這兩個保護區(qū)的管理水平．【解】甲保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學期望和方差分別為：E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學期望和方差分別為：E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因為E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，所以兩個保護區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的平均違規(guī)次數(shù)是相同的，但乙保護區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散，故乙保護區(qū)的管理水平較高．1．設一隨機試驗的結果只有A和eq\x\to(A)，且P(A)＝m，令隨機變量ξ＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，A發(fā)生，,0，A不發(fā)生，))則ξ的方差D(ξ)等于()A．m B．2m(1－mC．m(m－1) D．m(1－m)【解析】隨機變量ξ的分布列為：ξ01P1－mm∴E(ξ)＝0×(1－m)＋1×m＝m.∴D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．【答案】D2．已知X的分布列為X－101P0.50.30.2則D(X)等于()A．0.7 B．0.61C．－0.3