2022屆上海市春季高考數學試卷

填空題（本大題共12題，滿分54分，第卜6題每題4分，第7~12題每題5分）

1.已知z=2+i,則彳=

2.已知A=（—1,2）,B=（l,3）,則AD3=

3.不等式上」<0的解集為

x

4.己知tana=3,則tan（a+w）=

5.已知方程組+=2有無窮解，則〃，的值為________

+l6y=8

6.已知函數/（x）=x3的反函數為y=/T（x）,貝IJ/T（27）=

7.在（V+'產的展開式中，含二項的系數為

XX

8.在△ABC中，NA=&,AB=2,AC=3,則4ABC的外接圓半徑為

3

9.已知有1、2、3、4四個數字組成無重復數字，則比2134大的四位數的個數為

10.在△ABC中，ZC=-,AC=BC=2,M為AC的中點，P在AB上，則麗?耳的

2

最小值為

11.已知雙曲線丁=i（々>0）,雙曲線上右支上有任意兩點6（N，X）,EG，%），滿

CT

足七%—y%>0恒成立，則。的取值范圍是

12.已知/（x）為奇函數，當xe[0』]時，/（x）=lnx,且/（x）關于直線x=l對稱，設

y（x）=x+l的正數解依次為X[、z、X3、…、X”、…，則lim（x“+]-%,）=

二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）

13.下列募函數中，定義域為A的是（）

A.y=x~lB.y=x^C.y=x3D.y=x^

14.已知下列選項中正確的是（）

A.a^d>b+cB.a+c>b+d

C.ad>beD.ac>bd

15.如圖，上海海關大樓的上面可以看作一個正四棱柱，四個側面有四個時鐘，則相鄰兩個

時鐘的時針從0時轉到12時（含0時不含12時）的過程中，能夠相互垂直（）次

A.0B.2C.4D.12

16.已知｛a,J為等比數列，｛%｝的前〃項和為S“，前〃項積為T“，則下列選項中正確的是

()

4若$2022>52021，則數列｛%｝單調遞增B.若J22>4)21，則數列｛%｝單調遞增

C.若數列｛S“｝單調遞增，則生0222。2021D.若數列｛7；｝單調遞增，則40222a2021

三.解答題(本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分)

17.如圖，在圓柱中，底面半徑為1,A4為圓柱母線.

(1)若A41=4,何為A4中點，求直線與底面的夾角大小;

(2)若圓柱的軸截面為正方形，求該圓柱的側面積和體積.

18.已知數列｛%｝,4=1,｛《｝的前〃項和為

(1)若｛%｝為等比數列，S=3,求limS.；

2〃一>8

(2)若｛%｝為等差數列，公差為d,對任意均滿足§2〃2",求d的取值范圍.

2

19.如圖，矩形ABC。區域內，。處有一棵古樹，為保護古樹，以力為圓心，D4為半徑劃

定圓。作為保護區域，已知AB=30〃3A￡>=15，"，點E為A8上的動點，點F為C￡>上

的動點，滿足E尸與圓。相切.

(1)若/AOE=20”,求EF的長；

(2)當點E在AB的什么位置時，梯形FE8C的面積有最大值，最大面積為多少？

(長度精確到0.1，"，面積精確到0.01/n2)

V***

20.在橢圓「：r+y2=1中，直線/：x=a上有兩點C、Q(C點在第一象限)，左頂點為A,

a

下頂點為8,右焦點為E

TT

(1)若NAFB=X,求橢圓F的標準方程；

6

(2)若點C的縱坐標為2,點。的縱坐標為1,則BC與AD的交點是否在橢圓上？請說明

理由；

(3)已知直線8C與橢圓「相交于點P,直線A。與橢圓「相交于點Q,若尸與。關于原

點對稱，求|CD|的最小值.

21.已知函數f(x),甲變化：f(x)-f(x-t);乙變化:\f(x+t)-f(x)\,t>Q.

⑴若f=l,/(x)=2、，/(x)經甲變化得到g(x),求方程g(x)=2的解；

(2)若/(x)=x2,/(x)經乙變化得到h(x),求不等式以幻<f(x)的解集；

3

（3）若/（X）在（-8,0）上單調遞增，將/（X）先進行甲變化得到“（X）,再將“（X）進行乙變

化得到4（x）；將f（x）先進行乙變化得到V（x），再將丫（X）進行甲變化得到外（X）,若對任意

f>0,總存在4（X）=/22（X）成立，求證：/（X）在R上單調遞增.

參考答案

一.填空題（本大題共12題，滿分54分，第卜6題每題4分，第7~12題每題5分）

1.已知z=2+i，則z=

【答案】z=2-i

2.已知A=（—1,2）,B=（l,3）,則4口8=

【答案】An§=（l,2）

3.不等式乙一<0的解集為

x

【答案】（0,1）

4.已知tana=3,則tan（a+—）=

4

【答案】-2

5.已知方程組=2有無窮解，則根的值為______

〃優+16y=8

【答案】m=4

6.已知函數/（x）=d的反函數為y=/T（x）,貝IJ廣1（27）=

【答案】3

7.在（尸+,產的展開式中，含［項的系數為

XX

【答案】66

8.在△ABC中，ZA=~,AB=2,AC=3,則△ABC的外接圓半徑為

3

_..._,21

【答案】刀

9,已知有1、2、3、4四個數字組成無重復數字，則比2134大的四位數的個數為

【答案】17

4

TT..

10.在△ABC中，NC=-,AC=BC=2,M為AC的中點，P在A8上，則的

2

最小值為

【答案】:

8

11.已知雙曲線二一產=1（a>0）,雙曲線上右支上有任意兩點6（M,%）,P,（x,y）,

a22

滿足西馬-必必>。恒成立，則Q的取值范圍是

【答案】a>l

12.已知/（元）為奇函數，當了￡（0,1]時，f（x）=lnx,且/（X）關于直線x=l對稱，設

/*）=x+l的正數解依次為王、%、/、…、Z、…，則Hm（玉+[—x“）=

n-^x）

【答案】2

選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）

13.下列幕函數中，定義域為R的是（）

」J1

A.y=%-'B.y=xC.y=x3D.y-x^

【答案】C

14.已知a>8>c>〃，下列選項中正確的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+d

C.ad>beD.ac>bd

【答案】B

15.如圖，上海海關大樓的上面可以看作一個正四棱柱，四個側面有四個時鐘，則相鄰兩個

時鐘的時針從0時轉到12時（含0時不含12時）的過程中，能夠相互垂直（）次

A.0B.2C,4D.12

【答案】B

16.已知｛%｝為等比數列，｛%｝的前"項和為S"，前”項積為T”，則下列選項中正確的是

（）

A.^S^2>S2O2i,則數列｛%｝單調遞增B.若以3>加1，則數列｛%｝單調遞增

C.若數列｛S,｝單調遞增,則%0222a2021D.若數列｛1｝單調遞增，則。20222%。21

【答案】D

三.解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）

17.如圖，在圓柱0。中，底面半徑為1,A4為圓柱母線.

5

(1)若A4,=4,M為A4中點，求直線MO1與底面的夾角大小;

(2)若圓柱的軸截面為正方形，求該圓柱的側面積和體積.

【答案】(1)arctan2；

(2)側面積2兀rh=4萬，體積兀戶h=2萬

18.已知數列｛%｝,4=1,｛《｝的前〃項和為

(1)若｛/｝為等比數列，S2=3,求limS.；

(2)若｛《,｝為等差數列，公差為"，對任意〃eN*,均滿足邑“2”，求d的取值范圍.

【答案】⑴4；(2)Je[O,l]

19.如圖，矩形ABC。區域內，。處有一棵古樹，為保護古樹，以。為圓心，D4為半徑劃

定圓。作為保護區域，已知A3=30〃?，AT>=15，“，點E為A8上的動點，點F為C￡>上

的動點，滿足EF與圓。相切.

(1)若NAOE=20",求EF的長；(長度精確到0.1M

(2)當AE多長時，梯形FE8C的面積有最大值，最大面積為多少？(面積精確到0.01m2)

【答案】⑴EF^23.3m；

(2)最大面積為450-些255.14初

2

2

20.在橢圓=1中，直線/：x=a上有兩點C、￡>(C點在第一象限)，左頂點為A,

a

下頂點為3,右焦點為R

JT

(1)若NAEB=工，求橢圓「的標準方程；

6

(2)若點C的縱坐標為2,點D的縱坐標為1,則BC與AD的交點是否在橢圓上？請說明

理由；