2021-2022高考數學模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.的展開式中的常數項為()

IX)

3.函數y=/(x)(xeR)在上單調遞減，且/(x+1)是偶函數，若/(2x-2)>/⑵，則x的取值范圍是

()

A.(2,+oo)B.(-as,1)U(2,+oo)

C.(1,2)D.(-oo,1)

4.在正方體A6CO-中，球。|同時與以A為公共頂點的三個面相切，球。2同時與以G為公共頂點的三個

r.

面相切，且兩球相切于點F.若以尸為焦點，Aq為準線的拋物線經過Q,Q，設球Q，Q的半徑分別為4，4,則,=

r2

()

」怨B.后艙。"與02f

x,x<0

5.已知SeR,函數/⑴二館一…人辦心。’若函數尸小)”"恰有三個零點，則<)

A.6/<-1,/?<0B.a<-l,b>0

C.a>-l,h<0D.a>-l,h>0

6.已知函數滿足/。-x)=/(l+x),當xNl時，〃x)=xT，則{x|/(x+2)>l}=()

A.{小<-3或x>0}B.{x|x<0或x>2}

C.{小<-2或x>0}D.{x|x<2或x>4}

7.在直三棱柱ABC—A4G中，己知AB_LBC,AB=BC=2,CG=20,則異面直線與4g所成的角

為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

8.波羅尼斯（古希臘數學家，的公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲

線的性質網羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數k（k>0,

且厚1）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現有橢圓「+丫=1（a>b>0）,A,B為橢圓的長軸端

IMAI

點，c,D為橢圓的短軸端點，動點M滿足卡而=2,△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,則橢

圓的離心率為（）

A夜R6「四n6

A.B.C.D.

3322

9.設和々為〃x）=總由5-856>尤（。>0）的兩個零點，且k-占|的最小值為1，則①=（）

717171

A.兀B.D.

27

10.將函數y=2cos?的圖像向左平移〃?（〃?>0）個單位長度后，得到的圖像關于坐標原點對稱，則加的

最小值為（）

71c兀

A.-B.-D.乃

34

11.點P為棱長是2的正方體ABCD-A與G。的內切球。球面上的動點，點M為用G的中點，若滿足DPYBM,

則動點P的軌跡的長度為（）

垂）兀?2亞兀?4#>兀n8加兀

A.---B.-----C.-----D.-----

5555

12.已知/,機是兩條不同的直線，機_L平面a,貝！是的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在△ABC中，。=4,h=59c=69貝！IcosA=,ZkABC的面積為.

14.公比為正數的等比數列｛4｝的前〃項和為S“，若的=2,S4-5S2=0,則S?！猄3的值為.

15.已知向量￡=(1,1),b-｛-[,k),i_L，，貝44+0=.

x

16.已知函數/.(x)=2y'(e)lnx-一，則函數/(x)的極大值為.

e

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數f(x)=|x+2|+|九一3|.

(1)解不等式/(x)43x-2；

(2)若函數/(x)最小值為“，且2a+38=M(a>0,匕>0),求-----+-1-的最小值.

2a+1b+i

18.(12分)改革開放40年，我國經濟取得飛速發展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識也需要不斷

加強.為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識，某小組利用假期進行一次全市駕駛員交通安全意識調查.隨機抽取

男女駕駛員各5()人，進行問卷測評，所得分數的頻率分布直方圖如圖所示在8()分以上為交通安全意識強.

(1)求"的值，并估計該城市駕駛員交通安全意識強的概率；

(2)已知交通安全意識強的樣本中男女比例為4:1,完成下列2x2列聯表，并判斷有多大把握認為交通安全意識與性

別有關；

安全意識強安全意識不強合計

男性

女性

合計

(3)用分層抽樣的方式從得分在50分以下的樣本中抽取6人，再從6人中隨機選取2人對未來一年內的交通違章情況

進行跟蹤調查，求至少有1人得分低于4()分的概率.

n^ad-hey

附：K2=其中〃=a+/?+c+d.

(a+Z?)(c+d)(Q+c)(O+d)

2

P(K>k)().01()0.0050.001

k6.6357.87910.828

19.(12分)已知數列｛斯｝的各項均為正，S〃為數列｛呢｝的前〃項和，斯2+2%=4S〃+L

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)設瓦=/,求數列｛瓦｝的前n項和.

20.(12分)為迎接2022年冬奧會,北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動,并在培訓結束后對學生進行了考核.記

X表示學生的考核成績，并規定X285為考核優秀.為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓的學生中隨機抽取了

30名學生的考核成績，并作成如下莖葉圖：

50II6

60133458

7I2367778

X112459

900123%

(I)從參加培訓的學生中隨機選取1人，請根據圖中數據，估計這名學生考核優秀的概率;

(H)從圖中考核成績滿足XE［80,89］的學生中任取2人，求至少有一人考核優秀的概率；

(111)記P(a<XK〃)表示學生的考核成績在區間［凡句的概率，根據以往培訓數據，規定當PW12。.5時

培訓有效.請根據圖中數據，判斷此次中學生冰雪培訓活動是否有效，并說明理由.

21.(12分)已知命題P：VxwH,x2-x+m>0;命題“：函數/(幻=始彳-5^無零點.

(1)若F為假，求實數機的取值范圍；

(2)若，人q為假，為真，求實數〃7的取值范圍.

22.(10分)設函數/(x)=e*+2ox-e,g(x)=-lnx+ox+a.

(1)求函數/(x)的極值;

(2)對任意xil,都有求實數a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

(9AI

求(Y—l)Vx+—J的展開式中的常數項，可轉化為求4+』展開式中的常數項和r項，再求和即可得出答案.

IX)x

【詳解】

、62

2中常數項為圓石)“2

由題意,+—=60,

x71X

故選：D

【點睛】

本題主要考查二項式定理的應用和二項式展開式的通項公式，考查學生計算能力，屬于基礎題.

2.B

【解析】

根據函數為偶函數排除AC,再計算f(g)=gIn3>0排除。得到答案.

【詳解】

[+尤

f(x)=xln--定義域為：(-1,1)

1—x

/(—x)=-xln匕二=xlnHe=/(x),函數為偶函數，排除A,C

1+x1—x

/(1)=1ln3>0,排除O

故選3

【點睛】

本題考查了函數圖像，通過函數的單調性，奇偶性，特殊值排除選項是常用的技巧.

3.B

【解析】

根據題意分析Ax)的圖像關于直線x=l對稱，即可得到/'(x)的單調區間，利用對稱性以及單調性即可得到x的取值

范圍。

【詳解】

根據題意，函數y=/(x)滿足/(x+1)是偶函數，則函數Ax)的圖像關于直線x=l對稱，

若函數y=/(x)在(-a),l］上單調遞減，則/(x)在［L4w)上遞增，

所以要使/(2X—2)>/(2),則有|2%-2-1|>1,變形可得|2%-3|>1,

解可得：》>2或％<1,即x的取值范圍為(-8,1)。(2,+8);

故選：B.

【點睛】

本題考查偶函數的性質，以及函數單調性的應用，有一定綜合性，屬于中檔題。

4.D

【解析】

由題先畫出立體圖，再畫出平面A4G。處的截面圖，由拋物線第一定義可知，點。2到點尸的距離即半徑外，也即

點。2到面8QG的距離，點。2到直線Ag的距離即點O?到面的距離因此球O?內切于正方體，設弓=1,

兩球球心和公切點都在體對角線AG上，通過幾何關系可轉化出(，進而求解

【詳解】

根據拋物線的定義，點。2到點尸的距離與到直線的距離相等，其中點。2到點尸的距離即半徑G，也即點。2到

面8RG的距離，點。2到直線A4的距離即點。2到面AB⑸A的距離，因此球。2內切于正方體，不妨設弓=1，兩

個球心Q,Q和兩球的切點尸均在體對角線AG上，兩個球在平面處的截面如圖所示，則

:

&尸=4=1,A02=年=6，所以/1/'=402_02尸=>/5_1.又因為4尸=401+O尸=6耳+4，因此(6+1)4=6-1,

得「2-6,所以“=2-6.

故選：D

【點睛】

本題考查立體圖與平面圖的轉化，拋物線幾何性質的使用，內切球的性質，數形結合思想，轉化思想，直觀想象與數

學運算的核心素養

5.C

【解析】

當x<0時，y=/(幻一水一人=》一分一6=(1—。?一人最多一個零點；當x.O時，

y=f(x)-ax-b=^x3-^(a+l)x2+ax-ax-b=^x3-^(a+l)x2-b,利用導數研究函數的單調性，根據單調

性畫函數草圖，根據草圖可得.

【詳解】

當x<0時，y=f(x)-ax-b=x-ax-b=(\-a)x-b=O,=；y=八乃一奴一〃最多一個零點；

\-a

1,12131,

當x..0時，y~f(x)_ax_h——x—_(a+l)x+ax_ax_b——x__(a+l)x"_b,

/=x2-(?+l)x,

當a+L,O,即4,—I時，/..0,y=f(x)-ax-h^[O,+8)上遞增，y=/(x)—以一人最多一個零點.不合題意;

當a+l>0,即a>—1時，令y'>0得xw[a+l,+吟，函數遞增，令y<0得xe[O,a+1),函數遞減；函數最

多有2個零點；

根據題意函數y=/(x)—?一匕恰有3個零點o函數y=/(x)—ax-力在(-8,0)上有一個零點，在[0,+8)上有2

個零點，

如圖：

(~b>0

???—<o且h,1,

\-a-(a+a——(a+l)(a+l)2-^<0

、32

1,

解得Z?v0,1—。>0,0>Z?>—(a+1)-a>—1.

故選c.

遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及兩個參數，故按“一元化”想法，逐步分類討論，這一過程中

有可能分類不全面、不徹底.

6.C

【解析】

f2,

2元___—|

簡單判斷可知函數關于X=1對稱，然后根據函數/(x)=x—-的單調性，并計算X一，結合對稱性，可得結果.

X[x>0

【詳解】

由/(l—x)=/(l+x)，

可知函數/(X)關于X=1對稱

/、2

當xNl時，/(x)=x——,

2

可知y(x)=x—I在[1,+8)單調遞增

fx2-1

則Jxnx=2

x>0

又函數“X)關于x=l對稱，所以/(。)=1

且“X)在(-8,1)單調遞減，

所以x+2v()或％+2>2,故xv-2或％>()

所以{x|/(x+2)>l}={x|x<_2或x>0}

故選：C

【點睛】

本題考查函數的對稱性以及單調性求解不等式，抽象函數給出式子的意義，比如：/(l-x)=f(l+x),

/(l-x)+/(l+x)=O,考驗分析能力，屬中檔題.

7.C

【解析】

由條件可看出AB||A4,則/BAG為異面直線AG與4#所成的角，可證得三角形BAG中，解得

tanZBAC,,從而得出異面直線AC,與A4所成的角.

【詳解】

連接AG，BC,,如圖：

又AB||,則NBAG為異面直線AG與A5,所成的角.

因為，BC,且三棱柱為直三棱柱，二AB上面BCC.B,,

1CCr/.

/.AB1BC］,

又AB=BC=2,CG=2及，Ng=J(20，+22=2百，

,tanZMC,=G,解得Z5AC,=60°.

故選C

【點睛】

考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質，考查了異面直線所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題.

8.D

【解析】

求得定點M的軌跡方程［x—步］+>2=?可得lx2ax±a=8,'x2bxLa=l,解得a,b即可.

L3J92323

【詳解】

\MA\

設A(-a,0),B(a,0),M(x,y).：動點M滿足匕4=2,

\MB\

則J(x+a)2+y2=2"a)2+y2=2,化簡得(x—弓)2+y2=蚓.

?.,△MAB面積的最大值為8,AMCD面積的最小值為1,

-x2ax—a=8,-又2bx-a=I,解得2=5/^力=^^,

23232

故選D.

【點睛】

本題考查了橢圓離心率，動點軌跡，屬于中檔題.

9.A

【解析】

先化簡已知得/(%)=2$皿(松-?T)T,再根據題意得出￡6)的最小值正周期T為1x2,再求出3的值.

【詳解】

由題得/(x)=2sin(wx—T),

設xi,X2為f(x)=2sin((ox-g)(<?>0)的兩個零點，且k一百的最小值為力

解得T=2；

2

解得w=n.

故選A.

【點睛】

本題考查了三角恒等變換和三角函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題.

【解析】

IJF\JTTT

由余弦的二倍角公式化簡函數為y=cosx+7，要想在括號內構造二變為正弦函數，至少需要向左平移二個單位

長度，即為答案.

【詳解】

由題可知,=cos(X+5J對其向左平移J個單位長度后,

(7171其圖像關于坐標原點對稱

V=COSX+—+—=cos[x+1^=-sinx,

I44

7T

故，〃的最小值為了

故選：B

【點睛】

本題考查三角函數圖象性質與平移變換，還考查了余弦的二倍角公式逆運用，屬于簡單題.

11.C

【解析】

設的中點為“，利用正方形和正方體的性質，結合線面垂直的判定定理可以證明出80，平面。C”，這樣可以

確定動點P的軌跡，最后求出動點P的軌跡的長度.

【詳解】

設的中點為“，連接CH,DH,因此有而而。CCHu平面，DCQCH^C,

因此有平面。CH,所以動點P的軌跡平面。C”與正方體的內切球。的交線.正方體

ABCD-A.B^D,的棱長為2,所以內切球。的半徑為R=1,建立如下圖所示的以。為坐標原點的空間直角坐標系:

因此有O(Ll,D,C(0,2,0),〃(2,2,l),設平面OCH的法向量為送=(x,y,z),所以有

ml.DCm-DC=0f2y=0

__.=>—.=><<co=>m=(l,0,-2),因此。到平面。CH的距離為:

mLDHfn-DH=0[2x+2y+z=0

\m-OD\J5

d=—=2,所以截面圓的半徑為:r=^R2-d2=—，因此動點夕的軌跡的長度為=

\m555

故選：C

【點睛】

本題考查了線面垂直的判定定理的應用，考查了立體幾何中軌跡問題，考查了球截面的性質，考查了空間想象能力和

數學運算能力.

12.A

【解析】

根據充分條件和必要條件的定義，結合線面垂直的性質進行判斷即可.

【詳解】

當機_L平面a時，若/〃a"則“LL”喊立，即充分性成立，

若則/〃a或/ua,即必要性不成立，

則“/〃a”是“LL/n”充分不必要條件，

故選：4

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合線面垂直的性質和定義是解決本題的關鍵.難度不大，屬于基礎題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1Q315幣

44

【解析】

利用余弦定理可求得cosA的值，進而可得出sinA的值，最后利用三角形的面積公式可得出AA?。的面積.

【詳解】

由余弦定理得cosA=———=§———=—>貝！IsinA=71-cos2A=—,

2bc2x5x644

因此，△ABC的面積為SABC=LbcsinA=.

,Be2244

故答案為：—;"".

44

【點睛】

本題考查利用余弦定理解三角形，同時也考查了三角形面積的計算，考查計算能力，屬于基礎題.

14.56

【解析】

根據已知條件求等比數列的首項和公比，再代入等比數列的通項公式，即可得到答案.

【詳解】

,/a2=2,S4—5s2=0,

%q=2,,

a.=1,

q(l-心%(1-/)n

Ii-qi-q

345

S6—S3=a4+a5+a6=2+2+2=56.

故答案為：56.

【點睛】

本題考查等比數列的通項公式和前〃項和公式，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求

解能力.

15.2

【解析】

由￡，/；得￡4=0,算出％=1,再代入算出忖+0即可.

【詳解】

,->a=(1,1)>b-(―1,A:)>￡j_〃，,\ab--i+k-0>解得：k—1,

:.a+b=(0,2^,則卜+目=2.

故答案為：2

【點睛】

本題主要考查了向量的坐標運算，向量垂直的性質，向量的模的計算.

16.21n2

【解析】

對函數求導，通過賦值，求得/'(e),再對函數單調性進行分析，求得極大值.

【詳解】

廣⑴一如一L故/，(上皿」

xeee

ix71

解得/'(e)=_,f(x)^2Inx--,f'(x)=——

eexe

令/'(x)=0,解得x=2e

函數在(O,2e)單調遞增，在(2e,w)單調遞減，

故/(x)的極大值為〃2e)=21toe-2=2m2

故答案為：21n2.

【點睛】

本題考查函數極值的求解，難點是要通過賦值，求出未知量/'(e).

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

「7116

17.(1)-,+co(2)—

[3)9

【解析】

(1)利用零點分段法，求得不等式的解集.

13

(2)先求得〃同之5,即2。+38=5(。>0/>0),再根據“1的代換”的方法，結合基本不等式，求得-----+——

的最小值.

【詳解】

3

(1)當x<—2時，一x—2—x+3W3尤一2,即x之彳，無解；

77

當—2WxW3時，x+2—x+343x—2,即一《尢，得一<x?3；

33

當x>3時，x+2+x-343x-2,即得x>3.

故所求不等式的解集為:，+°0)

(2)因為/(x)=|x+21+1x—3以(x+2)—(x—3)|=5,

所以2。+3b=5(a>0,b>0),則2。+1+3(b+1)=9,

3伯+1)?3(2。+1)

」+二[2?+l+3(/?+l)]=110+

2a+1/7+1912。+1/7+12a+\b+l

5

2a+1=。+1,a--

當且僅當(

2a+3Z?=5,8時取等號.

,5

a>0,b>0,D--

4

的最小值為學.

故------+-----

la+1b+1

【點睛】

本小題主要考查零點分段法解絕對值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中

檔題.

3

18.(1)a=0.016,概率為0.2：(2)列聯表詳見解析，有99.5%的把握認為交通安全意識與性別有關；(3)二.

【解析】

(1)根據頻率和為1列方程求得a的值，計算得分在80分以上的頻率即可;

(2)根據題意填寫列聯表，計算《2的值，對照臨界值得出結論；

(3)用分層抽樣法求得抽取各分數段人數，用列舉法求出基本事件數，計算所求的概率值.

【詳解】

解：(1)10(0.004x2+0.008+a+0.02x2+0.028)=1

解得。=0.016.

所以，該城市駕駛員交通安全意識強的概率P=().16+0.04=0.2

(2)根據題意可知，安全意識強的人數有100x0.2=20,

4

其中男性為20x==16人，女性為4人，

4+1

填寫列聯表如下:

安全意

安全意識不強合計

識強

男性163450

女性44650

合計2080100

2(16x46-4x34)2x100

2=----------------------------=9>7.879

20x80x50x50

所以有99.5%的把握認為交通安全意識與性別有關.

（3）由題意可知分數在（30,40］,（40,50］的分別為4名和8名，

所以分層抽取的人數分別為2名和4名，

設（30,40］的為A，4,（40,50］的為%漫，則基本事件空間為（A，4），（44），（4也），（A，鳥），

B2,B、,

（4㈤），（&，4）,（%四）,（人闖,（Ae）,（4也）,（為質）,（綜4），（&紜）

（B2,B3）,（B2,B4）,

共15種,

設至少有1人得分低于40分的事件為A,則事件A包含的基本事件有

（4,4）,（4,4）,（&員），（4，4），（4，紜）,（4再）,（4，5）,（&,4），（&,紇）共9種

Q3

所以尸（力=石=亍

【點睛】

本題考查獨立性檢驗應用問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，屬于中檔題.

,、,、n+2

19.（1）a=2n+l；（2）2-----.

n3”

【解析】

（1）根據題意求出首項，再由（即+/+2斯+|）-（斯2+2%）=4an+i,求得該數列為等差數列即可求得通項公式；

（2）利用錯位相減法進行數列求和.

【詳解】

2

（1）Va?+2a?=4Sn+L

/.6!I2+2<ZI=4SI+1,即-2t/|-3=0,

解得：“1=1或”i=T（舍），

又?。"+12+2。"+1=4S“+i+l,

??（a"+J+2a"+i）-（。/+2。"）4a”+i,

整理得：（??+i-an）（即+1+即）=2（aB+i+??）,

又???數列｛斯｝的各項均為正，

??dn+\-a“=2,

.??數列｛斯｝是首項為1、公差為2的等差數列，

二數列｛斯｝的通項公式呢=1+2（n-1）=2n+l；

,、-，、一La?2〃+l

（2）由（1）可知加=#=下一，

記數列｛瓦｝的前〃項和為Tn,貝!J

11,、1

7"=1?一+5?rH-----1-(2/i+l)?—,

3323"

111,、1,、1

§7"="三+5?于?…+<2/i-1)?—+⑵+1)?嚴，

錯位相減得：■|r“=l+2(*■+*■i,+()-(2"+1)

1

2n+l

=l+2x—

3

_42〃+4

-33,,+|

.3,42〃+4、n+2

??7"=一(-------：-)=2---------.

233,,+|3"

【點睛】

此題考查求等差數列的基本量，根據遞推關系判定等差數列，根據錯位相減進行數列求和，關鍵在于熟記方法準確計

算.

73

20.(I)—(II)-(III)見解析

305

【解析】

(I)根據莖葉圖求出滿足條件的概率即可；

(H)結合圖表得到6人中有2個人考核為優，從而求出滿足條件的概率即可；

X—85

(UD求出滿足一^-<1的成績有16個，求出滿足條件的概率即可.

【詳解】

解：(I)設這名學生考核優秀為事件A,

由莖葉圖中的數據可以知道，30名同學中，有7名同學考核優秀，

7

所以所求概率P(A)約為布

(D)設從圖中考核成績滿足Xw［80,89］的學生中任取2人，

至少有一人考核成績優秀為事件B,

因為表中成績在［80,89］的6人中有2個人考核為優，

所以基本事件空間Q包含15個基本事件，事件8包含9個基本事件,

93

所以尸(3)=1='

￡-85

(III)根據表格中的數據，滿足41的成績有16個,

、10

%—85162>0.5

所以P<1

10730

所以可以認為此次冰雪培訓活動有效.

【點睛】

本題考查了莖葉圖問題，考查概率求值以及轉化思想，是一道常規題.

212

21.(1)m>—(2)(一,一］

e4e

【解析】

(1)r為假，則4為真，求導，利用導函數研究函數/(x)=lnx-￡x有零點條件得〃?的取值范圍;

(2)由。入4為假，PF為真，知〃國一真一假；分類討論列不等式組可解.

【詳解】

yyiInrni

(1)依題意，q為真,則Inx--x=0無解，即一=言無解；

2x2

.,、In%…、1-lnx

令g(x)=——，則g(x)=——,

XX

故當xe(O,e)時，g'(x)>0,g(x)單調遞增，當xe(e,+s),g'(x)<0,g(x)