2021-2022高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知復數二滿足（z—i）（—i）=5,則z=（）

A.6/B.-6iC.-6D.6

2.若復數加（加一2）+（加2-3,”+2）,?是純虛數，則實數機的值為（）

A.0或2B.2C.0D.1或2

3.根據最小二乘法由一組樣本點（x,,y）（其中i=l,2,L,300）,求得的回歸方程是亍=晟+6,則下列說法正確的

是（）

A.至少有一個樣本點落在回歸直線m=晟+4上

B.若所有樣本點都在回歸直線$=晟+方上，則變量同的相關系數為1

C.對所有的解釋變量七3=1,2,L,300）,bXj+a的值一定與￡有誤差

D.若回歸直線夕4的斜率方＞0,則變量x與y正相關

4.已知a,bGR,3+ai=b-（2a-l）i,則（）

A.b=3aB.b=6aC.b=9aD.b=12a

5.我國古代數學著作《九章算術》中有如下問題：“今有器中米，不知其數，前人取半，中人三分取一，后人四分取

一，余米一斗五升（注：一斗為十升）.問，米幾何？”下圖是解決該問題的程序框圖，執行該程序框圖，若輸出的S=15（單

位：升），則輸入的k的值為（）

□

/輸出S/

（結束］

A.45C.75D.100

6.為研究某咖啡店每日的熱咖啡銷售量）和氣溫x之間是否具有線性相關關系，統計該店2017年每周六的銷售量及

當天氣溫得到如圖所示的散點圖（X軸表示氣溫，）'軸表示銷售量），由散點圖可知）'與x的相關關系為（）

A.正相關，相關系數r的值為0.85

B.負相關，相關系數，?的值為0.85

C.負相關，相關系數，?的值為-0.85

D.正相關，相關負數，?的值為-0.85

7.下列四個圖象可能是函數y=并駕匣”圖象的是（）

8.在中，A8=3,AC=2,ABAC=60°,點。，E分別在線段A3,CD上,且比＞=24),CE=2ED,

則屁?而=（）?

A.-3B.-6C.4D.9

9.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，則輸出的結果為（）

10.已知S,是等差數列｛4｝的前〃項和，若S2018<S2020<S20l9,設勿=anan+ian+2,則數列，的前〃項和取

最大值時"的值為（）

A.2020B.2019C.2018D.2017

11.已知函數/(x)=“，-針”+CCb,c均為常數)的圖象關于點(2,1)對稱，則/(5)(-1)=()

A.-2B.-1C.2D.4

12.執行如圖所示的程序框圖后，輸出的值為5,則。的取值范圍是（

37597151531

A.C.

458610851616'32

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（21-球的展開式中/的系數為（用具體數據作答）.

II/（%.）-f（x2）_

14.設函數/。）=%,一4,若對于任意的』，X2G［2,+8）,不等式_一>0恒成立,則實數a

X\~X2

的取值范圍是.

15.已知隨機變量X服從正態分布N（4,c?）,P（X<6）=0.78,則P（XW2）=.

16.將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發宣傳資料，則

甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一個組的概率為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某芯片公司對今年新開發的一批5G手機芯片進行測評，該公司隨機調查了100顆芯片，并將所得統計數

據分為［9,10）［1。11）,［11,12）,［12,13）,［1第4］五個小組（所調查的芯片得分均在［9,14］內），得到如圖所示的頻率分布

直方圖，其中a—/?=0.18.

(1)求這100顆芯片評測分數的平均數(同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替).

(2)芯片公司另選100顆芯片交付給某手機公司進行測試,該手機公司將每顆芯片分別裝在3個工程手機中進行初測。

若3個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；若3個工程手機中只要有2個評分沒達到11萬分，則認

定該芯片不合格；若3個工程手機中僅1個評分沒有達到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個工程手機中進行二

測，二測時，2個工程手機的評分都達到11萬分，則認定該芯片合格；2個工程手機中只要有1個評分沒達到11萬分,

手機公司將認定該芯片不合格.已知每顆芯片在各次置于工程手機中的得分相互獨立，并且芯片公司對芯片的評分方

法及標準與手機公司對芯片的評分方法及標準都一致(以頻率作為概率).每顆芯片置于一個工程手機中的測試費用均

為300元，每顆芯片若被認定為合格或不合格，將不再進行后續測試，現手機公司測試部門預算的測試經費為1()萬元,

試問預算經費是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由.

18.(12分)如圖,三棱柱48。一446中,側面886。是菱形,其對角線的交點為。，且回=40=#,46_14。.

(1)求證：平面BBC。；

(2)設NA8C=60。，若直線A4與平面BBC。所成的角為45。，求二面角4一片0一6的正弦值.

19.(12分)如圖，三棱柱—的所有棱長均相等，用在底面A8C上的投影。在棱上，且〃平面

ADC,

?

(I)證明：平面ADG，平面；

(n)求直線AB與平面AOG所成角的余弦值.

20.(12分)如圖，四棱錐P-ABC。中，四邊形ABC。是矩形，AB=—AD,為正三角形，且平面PAD,

2

平面ABC。，E、產分別為PC、PB的中點.

(1)證明：平面A￡＞石尸，平面P8C；

(2)求二面角8—OE—C的余弦值.

21.(12分)已知六面體ABCDEF如圖所示，BE1平面AB。，BE//AF,AD//BC,BC=1,CD=45,

FM1

AB=AF=AD=2,M是棱ED上的點，且滿足——=-.

MD2

(1)求證：直線〃平面M4C；

(2)求二面角A—MC—。的正弦值.

22.(10分)已知函數/(x)=|x+l|-2|x-a|,a＞0.

(1)當。=1時，求不等式/(幻＞1的解集；

(2)若/(尤)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

由復數的運算法則計算.

【詳解】

因為（z-i）（-i）=5,所以z=2+i=6i

-z

故選：A.

【點睛】

本題考查復數的運算.屬于簡單題.

2.C

【解析】

試題分析：因為復數根（根一2）+（加2-3根+2），是純虛數，所以根（加-2）=0且根2一3根+2工0,因此機=0.注意不

要忽視虛部不為零這一隱含條件.

考點：純虛數

3.D

【解析】

對每一個選項逐一分析判斷得解.

【詳解】

回歸直線必過樣本數據中心點，但樣本點可能全部不在回歸直線上，故A錯誤；

所有樣本點都在回歸直線y=Ax+6上，則變量間的相關系數為±1,故B錯誤；

若所有的樣本點都在回歸直線￡4上，則R+&的值與y,相等，故C錯誤；

相關系數r與8符號相同，若回歸直線§，=%+』的斜率6>0,貝!|r>0,樣本點分布應從左到右是上升的，則變量X

與y正相關，故D正確.

故選D.

【點睛】

本題主要考查線性回歸方程的性質，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.

4.C

【解析】

兩復數相等，實部與虛部對應相等.

【詳解】

由3+ai=b-(2a-V)i,

3=b

得即a=；,b=l.

a=1-2a'

.'.b=9a.

故選：C.

【點睛】

本題考查復數的概念，屬于基礎題.

5.B

【解析】

根據程序框圖中程序的功能，可以列方程計算.

【詳解】

123

由題意Sx—x―x—=15,S=60.

234

故選：B.

【點睛】

本題考查程序框圖，讀懂程序的功能是解題關鍵.

6.C

【解析】

根據正負相關的概念判斷.

【詳解】

由散點圖知y隨著x的增大而減小，因此是負相關.相關系數為負.

故選：c.

【點睛】

本題考查變量的相關關系，考查正相關和負相關的區別.掌握正負相關的定義是解題基礎.

7.C

【解析】

首先求出函數的定義域，其函數圖象可由丫=蟲囪目的圖象沿x軸向左平移1個單位而得到，因為＞=辿鼠區為

XX

奇函數，即可得到函數圖象關于(-1,0)對稱，即可排除A、D,再根據x〉0時函數值，排除5,即可得解.

【詳解】

...y=5晦曾1的定義域為{xIXH-1},

其圖象可由丁=返四的圖象沿X軸向左平移1個單位而得到，

X

...y=51og3|x|為奇函數,圖象關于原點對稱，

X

...y=Slog31pli的圖象關于點（一］,0）成中心對稱.

X+1

可排除A、。項.

當x>0時，y=5陛|.+l|〉0,項不正確.

x+1

故選：C

【點睛】

本題考查函數的性質與識圖能力，一般根據四個選擇項來判斷對應的函數性質，即可排除三個不符的選項，屬于中檔

題.

8.B

【解析】

根據題意，分析可得AO=1,由余弦定理求得。C的值，由

詼?麗=（而+方云）?麗=麗?麗+方后?通=麗?麗可得結果.

【詳解】

根據題意，AB=3,BD=2AD,則4）=1

在AAOC中，又AC=2,NS4c=60。

則。C?=AO?+3-2ADOCcosZBAC=3

則。c=G

則CDJ.M

則屁?麗=（麗+詼）?麗=麗?礪+屁麗=麗?麗=3x2xcosl80=-6

故選：B

【點睛】

此題考查余弦定理和向量的數量積運算，掌握基本概念和公式即可解決，屬于簡單題目.

9.D

【解析】

用列舉法，通過循環過程直接得出S與〃的值，得到〃=8時退出循環，即可求得.

【詳解】

1113

執行程序框圖，可得S=0,n=2,滿足條件，5=-,n=4,滿足條件，5=彳+:==,〃=6,滿足條件,

2244

S=-+-+y^—,〃=8,由題意，此時應該不滿足條件，退出循環，輸出S的值為UX8=N.

24612123

故選D.

【點睛】

本題主要考查了循環結構的程序框圖的應用，正確依次寫出每次循環得到的S與”的值是解題的關鍵，難度較易.

10.B

【解析】

1cle1+1

根據題意計算。2019〉0，。202。<0，?2019+?2020>0,計算;;—<0,廠>0，1~>得到答案?

”201802019“2018”2019

【詳解】

S.是等差數列｛q｝的前〃項和，若5201g<S2020<S2O19,

故。2019>°，。2020<°，“2019+。2020>°，2=""“"+A+2，故丁-~~>

°nUnan+\an+2

1cl1cl1c

當〃W2017時，—>0,--=----------<0,--=----------->°,

b”。2018a2018a2019°2020“2019”2019。2020。2021

]+]_\?J____________42019+生020

>0,

“201802019。2018“2019a2020^2019^2020^2021。201842019a2020”2021

1c

當〃22020時，—<0,故前2019項和最大.

bn

故選：B.

【點睛】

本題考查了數列和的最值問題，意在考查學生對于數列公式方法的綜合應用.

11.C

【解析】

根據對稱性即可求出答案.

【詳解】

解：?.?點(5,f(5))與點(-1,/(-1))滿足(5-1)+2=2,

故它們關于點(2,1)對稱，所以/(5)+/(-1)=2,

故選：C.

【點睛】

本題主要考查函數的對稱性的應用，屬于中檔題.

12.C

【解析】

框圖的功能是求等比數列的和，直到和不滿足給定的值時，退出循環，輸出n.

【詳解】

1113

第一次循環：S=-,n=2；第二次循環：S=-+-=-,?=3

2222T4;

第三次循環：S=g+5+《=1,〃=4；第四次循環：S=g+5+★+?=^|，〃=5；

715

此時滿足輸出結果，故4.

8716T

故選：C.

【點睛】

本題考查程序框圖的應用，建議數據比較小時，可以一步一步的書寫，防止錯誤，是一道容易題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.60

【解析】

利用二項展開式的通項公式可求x2的系數.

【詳解】

6r

(2x-I)的展開式的通項公式為Tr+l=C；(2x)6-'(-l),

令6-r=2,故r=4,故1的系數為(―1/*C：x2?=60.

故答案為：60.

【點睛】

本題考查二項展開式中指定項的系數，注意利用通項公式來計算，本題屬于容易題.

14.a<2

【解析】

試題分析：由題意得函數/。)=%卜一同在［2,+8)上單調遞增，當aW2時/(x)=x(x-。)在［2,+8)上單調遞增;

當。>2時/(%)=%打一。|在5,+s)上單調遞增；在［2,a)上單調遞減，因此實數a的取值范圍是aW2

考點：函數單調性

15.0.22.

【解析】

正態曲線關于x=H對稱，根據對稱性以及概率和為1求解即可。

【詳解】

P(X<2)=l-P(X<6)=0.22

【點睛】

本題考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎題.

16.—

20

【解析】

先求出總的基本事件數，再求出甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件數，然后根據古典概型

求解.

【詳解】

6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發宣傳資料的基本事件總數共有

n=C：=20個，

甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件個數有：m=C；C；+C；C；+C=9個，

m9

所以甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為P=G=去.

9

故答案為：—

20

【點睛】

本題主要考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)11.57(2)預算經費不夠測試完這100顆芯片，理由見解析

【解析】

(1)先求出。=025,。=007,再利用頻率分布直方圖的平均數公式求這100顆芯片評測分數的平均數；(2)先求

出每顆芯片的測試費用的數學期望，再比較得解.

【詳解】

(1)依題意，(0.05+。+〃+035+028)*1=1,故a+Z?=032.

又因為a—b=0J8.所以a=025,人=0。7,

所求平均數為95x0.05+105x025+115x035+125x028+135x007

=0.475+2625+4.025+35+0.945=1157(萬分)

(2)由題意可知，手機公司抽取一顆芯片置于一個工程機中進行檢測評分達到11萬分的概率2=00.28+007=0.7.

設每顆芯片的測試費用為X元，則X的可能取值為600,900,1200,1500,

尸(X=600)=()32=0X)9,P(X=9(X))=0.73+0.7x()32+03x0.7x03=0.469,

P(X=1200)=C\x03x0.72x03=01323,P(X=1500)=C\x03x072x0.7=03087,

故每顆芯片的測試費用的數學期望為

E(X)=600x0X)9+900x0.469+1200x0.1323+1500x03087=109791(元)，

因為100x1097.91>100000,

所以顯然預算經費不夠測試完這1()()顆芯片.

【點睛】

本題主要考查頻率分布直方圖的平均數的計算，考查離散型隨機變量的數學期望的計算，意在考查學生對這些知識的

理解掌握水平.

18.(1)見解析；(2)述.

5

【解析】

(1)根據菱形的特征和題中條件得到g平面ABC一結合線面垂直的定義和判定定理即可證明；

(2)建立空間直角坐標系，利用向量知識求解即可.

【詳解】

(1)證明：???四邊形是菱形，

，4CJ.BG，

vABVB,C,ABryBC^B,

平面ABC1

(540(=平面48。1,

B,C1AO

又?.?A5=AC，O是BQ的中點，

AO±Be1,

又?.?BCCBG=O

AO,平面3BCC

(2)vAB//A]Bj

直線A￡與平面BqGC所成的角等于直線AB與平面BB￡C所成的角.

?/AO_L平面BBQ。,

直線AB與平面BB?C所成的角為ZABO,即ZABO=45°.

因為AB=AC；=遙，則在等腰直角三角形ABG中=273,

所以6O=G,CO=4O=6Otan30°=l.

在R/AABO中，由NA3O=45°得A0=B0=6，

以。為原點，分別以OB,OB,,。4為x,%z軸建立空間直角坐標系O-xyz.

則A(O,O,5,B也0,0),5,(0,i,o),q(-V3,0,0)

所以電；=通=(V3,o,-V3),的=(-73,-1,0)

設平面A4G的一個法向量為1=（x,y,z）,

n-A.B,=+x-Gz=0_廣

則JL2「，可得勺=(1,—6,1),

=-\/3x-y=0

取平面BB￡C的一個法向量為兀=（0,0,1）,

m./_一、,幾）

貝（jCOS〈勺，心=

-ImI

所以二面角A-與G-B的正弦值的大小為平.

（注：問題（2）可以轉化為求二面角A-BC一用的正弦值，求出AO=BO=G后，在RMOBC中,過點。作8C

的垂線，垂足為〃，連接A”，則NAHO就是所求二面角平面角的補角，先求出0”=走，再求出人”=巫

22

最后在Rt^AOH中求出sinZAHO=內.)

【點睛】

本題主要考查了線面垂直的判定以及二面角的求解，屬于中檔題.

19.(I)見解析(II)受互

14

【解析】

(I)連接AC交AG于點。，連接OD,由于A/II平面ADG，得出A3II。。，根據線線位置關系得出45_LBC，

利用線面垂直的判定和性質得出耳。，結合條件以及面面垂直的判定，即可證出平面AOC；，平面BCC|g；

(II)根據題意，建立空間直角坐標系，利用空間向量法分別求出麗=(1,6,0)和平面AOG的法向量

7=(-0,2),利用空間向量線面角公式，即可求出直線AB與平面AOG所成角的余弦值.

【詳解】

解：(I)證明：連接4c交AC于點。，連接8,

則平面4BCn平面AOG=0D,

?.?45〃平面ADC1,

為AC的中點，.??￡)為3c的中點，.?.A￡>_L3C

?.瓦。，平面ABC,ALLL4。

QAOu平面AOG，二平面ADC\1平面BCGg

(II)建立如圖所示空間直角坐標系。一沖z,設43=2

則B（-1,O,O）,A（0,V3,0）,耳（0,0,⑹，C1（2,0,V3）

...麗=（l,G,0）,=（0,73,0）,DCx=（2,0,V3）

底=0

設平面4Z)G的法向量為3=(x,y,z),貝卜

lx+百z--0

取X=_g得7=卜底0,2卜

設直線AB與平面APC,所成角為e

sin。=H麗林|尋=誓

.?.cos”也

14

直線AB與平面AOG所成角的余弦值為—.

14

【點睛】

本題考查面面垂直的判定以及利用空間向量法求線面角的余弦值，考查空間想象能力和推理能力.

20.(1)見解析；(2)旺

4

【解析】

(1)取AD中點。，8C中點“，連接P。，OH,PH.設EF交PH于G,則G為P”的中點，連接。G.

通過證明證得OG_L平面P8C,由此證得平面ADEE_L平面P8C.

(2)建立空間直角坐標系，利用平面OEC和平面的法向量，計算出二面角B—OE—C的余弦值.

【詳解】

(D取A。中點。，BC中點H,連接P。，OH,PH.

設EF交PH于G,則G為P”的中點，連接。G.

設AD=2,則=百，PO=6：.OGLPH.

由已知ADLPO,A￡>_LO",二AD_L平面PO”，AO_LOG.

VEF//-BC//-AD,：.EF±OG,

=2=2

???￡Fc=G,JOG工平面P8C,

VOGu平面ADEF，二平面ADEF，平面PBC.

(2)由(1)及已知可得POL平面ABC。，建立如圖所示的空間坐標系?！?，設4)=2,則尸(0,0,6,

C(>/3,l,0),￡>(0,1,0),B(>/3-1,0),E孝，岑，應=停,-提等］,反=(后0,0),麗=卜后2,0),

瓜=0

令)=百得而=(0,6,1卜

設平面DEC的法向量為〃z=(x,y,z),1

——X——V4-——Z=0n

I222

百1上百_n

設平面3DE的法向量為方=(Xo，yo，Zo)，,令/=2得〃=（2,百，一1）,

-V3x0+2y0=0

...cos/m,Q=—1=也，二面角B-DE-C的余弦值為—.

'/2x2<244

【點睛】

本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

21.(1)證明見解析(2)迫至

18

【解析】

(1)連接BO,設即cAC=O,連接MO.通過證明MO//BF,證得直線〃平面M4C.

(2)建立空間直角坐標系，利用平面M4C和平面MCO的法向量，計算出二面角A-MC-。的正弦值.

【詳解】

(1)連接BO,設比)cAC=O,連接M。，

…DOAO_2

因為A￡>〃8C,所以△BOCsApQA,所以——

OB5c-7

,,MD2DO

在△陽D中，因為——

MFT-OB

所以MO"BF,且M。u平面MAC,

故BE〃平面MAC.

(2)因為M〃BC,AB=2,BC=l,AD=2,CD=45,所以他

因為BEHAF,BE1平面ABC。，所以Ab_L平面ABC。，

所以AF_LAB,AF±AD,

取AB所在直線為x軸，取A￡>所在直線為)’軸，取A尸所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

由已知可得3(2,0,0),C(2,l,0),￡>(0,2,0),￡(2,0,3),F(0,0,