4.2平行線分線段成比例【十大題型】【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由平行線分線段成比例判斷比例式正誤】 1【題型2平行線分線段成比例之“A”字型求值】 4【題型3平行線分線段成比例之“X”字型求值】 7【題型4平行線分線段成比例之“8”字型求值】 9【題型5平行線分線段成比例之“#”字型求值】 13【題型6平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】 15【題型7多次利用平行線分線段成比例求值】 21【題型8平行線分線段成比例與三角形的重心的綜合】 24【題型9平行線分線段成比例的常用輔助線之作平行線】 28【題型10平行線分線段成比例的常用輔助線之作垂線】 33【知識點(diǎn)平行線分線段成比例定理】兩條直線被三條平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，簡稱為平行線分線段成比例定理．如圖：如果，則，，．【小結(jié)】若將所截出的小線段位置靠上的（如AB）稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為全，則可以形象的表示為，，．【題型1由平行線分線段成比例判斷比例式正誤】【例1】（2023春·廣西梧州·九年級校考期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC邊上，DE∥BC，EF∥AB，則下列結(jié)論正確的是（

）A．ADDB=AEAC B．ADDB=【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，在兩組平行線里面，通過ADDB=AE【詳解】∵DE//BC，∴ADDB∵EF//AB，∴AEEC∴ADDB∴ADDB故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理及其應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)對應(yīng)線段，準(zhǔn)確列出比例式，推理論證．【變式1-1】（2023春·湖南婁底·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知AB∥A．ABEF=ADDF B．DFAD=BCCE C．ADAF=BEBC D【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．【詳解】解：∵AB∥∴ADDF=BC故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考?？碱}型．【變式1-2】（2023春·湖南婁底·九年級校聯(lián)考期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，AC:AE=3:5，那么下列結(jié)論正確的是（

）A．BD:DF=2:3 B．AB:CD=2:3C．CD:EF=3:5 D．DF:BF=2:5【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．【詳解】解：∵AC:AE=3:5，∵AC:EC=3:2,CE:EA=2:5∵AB∥CD∥EF，，∴BD:DF=AC:EC=3:2，故A錯誤；DF:BF=CE:EA=2:5，故D正確；根據(jù)平行線分線段成比例定理無法判定B，C，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，正確理解平行線分線段成比例定理是解本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·山西晉城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，點(diǎn)E在BC邊上，過點(diǎn)D作DG//BC，交AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH//AB，交AC于點(diǎn)H，DG的延長線與EH的延長線交于點(diǎn)F，則下列式子一定正確的是（

）A．ADDB=DGBC B．GFEC=【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：∵DG//BC，∴ADAB=DG∵DG//BC，∴GFEC=GH∵EH//AB，∴FHAD=GH∵EH//AB，∴HEAB=EC故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查線段的比，解題的關(guān)鍵是熟知平行線分線段成比例的性質(zhì)．【題型2平行線分線段成比例之“A”字型求值】【例2】（2023春·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，若BC=23，則AC的長為（A．1 B．43 C．2 D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得ACBC【詳解】解：如圖，由題意，知CE∥BD，AE∴ACBC=又BC=2∴AC=2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，求出ACBC【變式2-1】（2023春·廣西百色·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，DE∥BC．若AD=6，DB=3，則AEAC的值為（

A．23 B．32 C．34【答案】A【分析】先求出AB，由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出結(jié)果．【詳解】∵AD=6，∴AB=AD+DB=9，∵DE∥BC，∴AEAC故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理；熟記平行線分線段成比例定理是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·四川成都·九年級四川省成都市七中育才學(xué)校?？计谥校┮阎€段a、b、c，若求作線段x，使a∶b＝c∶x，則以下作圖正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，逐項(xiàng)分析即可【詳解】A.根據(jù)平行線分線段成比例，可得a:b=x:c，故該選項(xiàng)不符合題意；B.根據(jù)平行線分線段成比例，可得a:x=b:c，故該選項(xiàng)不符合題意；C.根據(jù)平行線分線段成比例，可得a:c=x:b，故該選項(xiàng)不符合題意；D.根據(jù)平行線分線段成比例，可得a:c=b:x，即a:b=c:x，故該選項(xiàng)符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．（1）求證：AF：FD＝AD：DB；（2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，請直接寫出DF的長．【答案】（1）見詳解；（2）203【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理，由EF∥CD得到AF：FD=AE：EC，由DE∥BC得到AE：EC=AD：DB，再進(jìn)行等量代換即可求解；（2）根據(jù)比例的性質(zhì)得到AD=20，根據(jù)（1）結(jié)論得到AF：FD=2:1，即可求出DF．【詳解】解：（1）證明：∵EF∥CD，∴AF：FD=AE：EC，∵DE∥BC，∴AE：EC=AD：DB，∴AF：FD＝AD：DB；（2）∵AB＝30，AD：BD＝2：1，∴AD=AB×2∵AF：FD＝AD：DB，∴AF：FD=2:1，∴DF=AD×【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟知平行線分線段成比例定理“兩直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例”是解題關(guān)鍵．【題型3平行線分線段成比例之“X”字型求值】【例3】（2023春·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且AG＝4，GD＝2，DF＝8，那么BCCE的值等于【答案】3【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵AB//CD//EF∴∵AG=4,GD=2,DF=8,∴故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理，找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖：AB∥CD∥EF，AD:DF=3:1，BE=16，那么CE的長為（

）

A．4 B．12 C．163 D．【答案】A【分析】利用平行線分線段成比例定理求解即可．【詳解】解：∵AB∥CD∥EF，∴BCCE∴CE=1故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理．【變式3-2】（2023春·安徽六安·九年級校考期末）如圖，l1∥l2∥l3，兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和D、E、F

A．47 B．37 C．74【答案】A【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到ABBC【詳解】∵l∴ABBC∴DEDF故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，合比性質(zhì)．【變式3-3】（2023春·貴州銅仁·九年級統(tǒng)考期中）已知三條互相平行的直線l1，l2，l3分別截直線l4于點(diǎn)A，B，C，截直線l5于點(diǎn)D，E，(1)求DE的長；(2)求OB的長．【答案】(1)24(2)5【分析】（1）由l1∥l（2）由BE∥AD，推出OBAB【詳解】（1）解：∵l1∴DEEF∴DE8∴DE=24（2）解：∵BE∥AD，∴OBAB∴OB3∴OB=5【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考常考題型．【題型4平行線分線段成比例之“8”字型求值】【例4】（2023春·陜西西安·九年級高新一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點(diǎn)E、F，AB=3，F(xiàn)D=2，則EFFB的值為（

A．25 B．38 C．37【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得AD∥BC，AD=BC，再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)以及等角對等邊證得AF=AB=3，BC=5，再根據(jù)平行線分線段成比例和比例性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠AFB=∠CBF，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=3，又FD=2，∴BC=AD=AF+FD=5，∵AD∥BC，∴EFBE∴EFFB故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定、平行線分線段成比例定理、比例性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·上海靜安·九年級校考期中）已知ax=bc，求作x，那么下列作圖正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例結(jié)合題意，依次對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵ax=bc，∴ab=cA．作出的為abB．該情況無法作圖，故不符合題意；C．作出的為abD．作出的為ax故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，第四比例線段的作法．熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，l1∥l2，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，則AE：A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2【答案】C【分析】根據(jù)l1∥l2，可得△AFG∽△BFD，進(jìn)而得出AGBD＝AFBF＝25，AEEC＝AGCD，求出AG＝2【詳解】解：∵l1∴△AFG∽△BFD∴AGBD＝AF∵AF：BF＝2：5，∴AGBD＝2即AG＝25BD∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD，∴CD＝15BD∴AGCD＝25BD∵l1∴△AGE∽△CDE，∴AEEC＝AGCD＝故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)E，且AC∥EF∥DB，點(diǎn)C，F(xiàn)，B在同一條直線上，已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，則p，q，r之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（）A．1r+1q=1p B．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，可證得EFAC=BF【詳解】解：∵AC//EF，∴EFAC∵EF//DB，∴EFBD∴EFAC+EF∴1p故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理的運(yùn)用，通過平行線分線段成比例定理得出線段的比是解題的關(guān)鍵．【題型5平行線分線段成比例之“#”字型求值】【例5】（2023春·全國·九年級期末）如圖，直線a∥b∥c，點(diǎn)A，B在直線a上，點(diǎn)C，D在直線c上，線段AC，BD分別交直線b于點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列線段的比與AEAC一定相等的是（

A．CEAC B．BFBD C．BFFD【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，即可得到BFBD【詳解】解：∵a∥b∥c，∴BFFD∴BFBD故選擇：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·河北保定·九年級校考期末）如圖，已知直線a∥b∥c，直線m，n與直線a，b，c分別交于點(diǎn)A，C，E，B，D，F(xiàn)，若AC＝4，CE＝6，BF＝152，則BD的值是【答案】3【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵a∥b∥c，∴ACAE=BD解得：BD=3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·上海青浦·九年級校考階段練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，AB:EB=3:1，DF=8，則FC=．

【答案】4【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：∵AB:EB=3:1∴AE:EB=2:1∵AD∥BC∥EF，AE:EB=2:1，DF=8，∴DFFC∴FC=4,故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理和比例的基本性質(zhì)．【變式5-3】（2023春·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖，直線a，b，c分別與直線m，n交于點(diǎn)A，D，B，E，C，F(xiàn)．已知直線a∥b∥c，AB=2，BC=3，則

A．23 B．32 C．25【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵a∥∴ABAC∵AB=2，BC=3，∴AC=AB+BC=5，∴DEDF故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是掌握：兩條直線被第一組平行線所截的線段成比例．【題型6平行線分線段成比例與三角形的中位線的綜合】【例6】（2023·四川南充·校聯(lián)考三模）如圖，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，射線DF與BE交于點(diǎn)O，與BC的延長線交于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①OB=2OE；②OD=OF；③DEBG=CFAF；④S△ADE=【答案】②③【分析】由題意可知，DE=12BC,DE//BC,DE=GC，根據(jù)平行截線求相關(guān)線段的長或比值可判斷①；由題意得出OG=3OD與FD=FG聯(lián)立可得2OF=2OD，由此可判斷②；由平行截線求相關(guān)線段的長或比值及等量代換可判斷③；連接BF．設(shè)S【詳解】解：∵DE是△ABC的中位線，∴DE//BC,DE=∴∠EDF=∠CGF∵F是CE的中點(diǎn)，∴EF=CF又∵∠EFD=∠CFG∴△DEF?△GCF∴DE=CG,DF=FG①∵DE//BC∴OEOB∴OB=3OE．∴①錯誤②∵DE//BG∴∴OG=3OD又∵FD=FG，∴由兩式相減，得OF=2OD-OF∴2OF=2OD．∴OF=OD．∴②正確③∵DE//BG,DE=∴DE∵AE=CE,CF=EF∴∴DE∴③正確④連接BF．設(shè)S△ODE∴S△ADE=4故答案為：②③．【點(diǎn)睛】本題考查了平行截線求相關(guān)線段的長或比值、全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·河北石家莊·九年級石家莊市第四十一中學(xué)?？计谀┤鐖D，DE是△ABC的中位線，M是DE的中點(diǎn)，CM的延長線交AB于點(diǎn)N，則NM：MC等于（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5【答案】B【詳解】∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE=12BC∵M(jìn)是DE的中∴DM=ME=14BC∴MNNC∴MN【變式6-2】（2023春·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期中）如圖，DE、NM分別是△ABC、△ADE的中位線，NM的延長線交BC于點(diǎn)F，則S△DMN：S四邊形MFCE等于（

A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7【答案】B【分析】過N作NH⊥DE于H，過A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝12AG＝12【詳解】解：過N作NH⊥DE于H，過A作AP⊥BC于P交DE于G，∴NM∥AG，∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，∴AG＝PG，∵M(jìn)是DE的中點(diǎn)，∴DM＝ME＝12DE∵NM∥AG，AN＝DN，∴NMAG＝DNAD＝∴NM＝12AG＝12∵DM＝ME，∴S△DMN：S四邊形MFCE＝12DM?NHEM?PG＝12DM?NH故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理及平行線分線段成比例定理．本題關(guān)鍵是找準(zhǔn)比例關(guān)系求解．【變式6-3】（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考二模）請閱讀下列材料，非完成相應(yīng)的任務(wù)．利用輔助平行線求線段的比三角形的中位線定理是三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．平行線分線段成比例定理是兩條平行線被兩條直線所截，截得的線段對應(yīng)成比例．有些幾何題，若題中出現(xiàn)了平行線，我們可以直接利用這兩個定理求出兩線段的比值，而有些幾何題，題中沒有平行線這樣的條件，那么我們可以通過作輔助平行線，然后再利用這兩個定理加以解決．舉例：如圖1，AD是△ABC的中線，AE:AD=1:5，BE的延長線交AC于點(diǎn)F．求AFCF下面是該題的部分解題過程：解：如圖2，過點(diǎn)D作DH∥BF交AC于點(diǎn)H．∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC．∵DH∥BF，∴FHCH∴CH=FH．∵EF∥DH，…

任務(wù)：(1)請補(bǔ)充材料中剩余部分的解答過程．(2)上述解題過程主要用的數(shù)學(xué)思想是______．（單選）A．方程思想

B．轉(zhuǎn)化思想

C．分類思想

D．整體思想(3)請你換一種思路求AFCF【答案】(1)見解析(2)B(3)見解析【分析】（1）通過過點(diǎn)D作DH∥BF交AC于點(diǎn)H．根據(jù)△ABC的中線的定義即可得到BD=DC，根據(jù)平行線分線段成比例即可得到FHCH=BDCD與AEAD（2）由上述解題過程即可得到求AFCF的值轉(zhuǎn)化為了求AFFH與（3）通過過點(diǎn)D作DM∥AC交BE于點(diǎn)M，根據(jù)△ABC的中線的定義即可得到BD=DC，進(jìn)一步得到BDBC=12，根據(jù)平行線分線段成比例即可得到DMCM=BD【詳解】（1）∴AEAD∵AE:AD=1:5，∴AF:AH=1:5，∴AF:FH=1:4，∵FH=CH，∴AF（2）上述解題過程主要用的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想故選B（3）解：如圖，過點(diǎn)D作DM∥AC交BF于點(diǎn)M．∵AD是△ABC的中線，∴BD=DC=1∴BD∵DM∥AC，∴DMCF∵AF∥DM，∴AEDE∵AEAD∴AEED∴AFDM∴AF

【點(diǎn)睛】本題考查利用輔助平行線求線段的比，作出輔助線，利用平行線分線段成比例進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．【題型7多次利用平行線分線段成比例求值】【例7】（2023春·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，M是AD的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)P，DN∥CP．若AB=6cm

【答案】PN=2【分析】證明BD=DC，結(jié)合DN∥CM，可得BN=NP，【詳解】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，又∵DN∥∴BNPN∴BN=NP，∵點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，DN∥∴APPN∴AP=PN，∴PN=1∵AB=6cm∴PN=1【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中位線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例的應(yīng)用，熟記平行線分線段成比例并靈活運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC和△ACG中，D、E、F分別在線段AB、AC、AG上，連接DE、

【答案】9【分析】由DE∥BC,EF∥CG可得ADAB=AEAC,【詳解】解:∵DE∥BC,EF∥CG,∴AD∴AD∵AD∴AG=9【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理．【變式7-2】（2023春·陜西商洛·九年級校考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F是AD上的點(diǎn)，AF=2FD，直線BF交AC于點(diǎn)E，交CD的延長線于點(diǎn)G，若BE=4則EG的值為（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】由AF=2DF可以假設(shè)DF=k，得到AF=2k，AD=3k（k是正整數(shù)），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AB∥CD，AD=BC=3k，然后根據(jù)平行線分線段成比例來求解．【詳解】解：∵AF=2DF，∴設(shè)DF=k，則AF=2k，AD=3k（k是正整數(shù)）．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC=3k，∴AE∴BE∵BE=4，∴4∴EG=6．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例．理解相關(guān)知識是解答關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·安徽滁州·九年級?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)D是△ABC邊BC上一點(diǎn)，連接AD，過AD上點(diǎn)E作EF∥BD，交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG∥AC交BC于點(diǎn)G，已知AEED=3(1)求CG的長；(2)若CD=2，在上述條件和結(jié)論下，求EF的長．【答案】(1)6(2)24【分析】（1）由EF∥BD，推出AFFB=AEED=（2）由EF∥BD，推出EFBD【詳解】（1）∵EF∥BD，∴AFFB∵FG∥AC，∴BGCG∵BG=4，∴CG=3（2）∵CD=2，CG=6，∴DG=CG-CD=4，∵BG=4，∴BD=BG+DG=8，∵AFBF∴AFAB∵EF∥BD，∴EFBD∴EF8∴EF=24【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，掌握這個定理是關(guān)鍵．【題型8平行線分線段成比例與三角形的重心的綜合】【例8】（2023春·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，連結(jié)BG，過點(diǎn)G作GD∥AB交BC于點(diǎn)D，若△BDG的面積為1，則△ABC的面積為（）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】C【分析】連接CG并延長交AB于E，如圖，利用三角形重心性質(zhì)得到CG＝2EG，則利用平行線分線段成比例得到CDBD=CGEG=2，再根據(jù)三角形面積公式得到S△GDC＝2S△BDG＝2，則S△BCG＝3，接著求出S△BEG＝32，從而得到S△BCE＝92【詳解】解：連接CG并延長交AB于E，如圖，∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴CG＝2EG，∵DG∥AB，∴CDBD∴S△GDC＝2S△BDG＝2，∴S△BCG＝1+2＝3，而EG＝12CG∴S△BEG＝12S△BCG＝3∴S△BCE＝32+3＝9∵CE為中線，∴S△ABC＝2S△BCE＝2×92＝9故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1．也考查了平行線分線段成比例定理和三角形面積公式．【變式8-1】（2023·上海浦東新·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AD是中線，G是重心，過點(diǎn)G作EF//BC，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，若AC=18，則AF=．【答案】12【分析】如圖，運(yùn)用平行線分線段成比例定理列出比例式：AFAC=AGAD=【詳解】解：∵G是△ABC的重心，∴AG=2DG，AD=3DG；∵EF∥BC，∴AFAC∵AC=18，∴AF=12．故答案為12．【點(diǎn)睛】該題主要考查了三角形重心的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；牢固掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·上海徐匯·九年級上海市田林第三中學(xué)校考期中）如圖，△ABC的中線AD、CE交于點(diǎn)G，點(diǎn)F在邊AC上，GF∥BC，那么GFBC的值是【答案】1【分析】根據(jù)三角形的重心和相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵△ABC的中線AD、CE交于點(diǎn)G，∴G是△ABC的重心，∴AGGD∵GF∥BC，∴GFDC=AG∵DC＝12BC∴GFBC故答案為：1【點(diǎn)睛】此題考查三角形重心問題，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的重心得出比例關(guān)系．【變式8-3】（2023春·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中）如圖，G是△ABC的重心，延長BG交AC于點(diǎn)D，延長CG交AB于點(diǎn)E，P，Q分別是△BCE和△BCD的重心，BC長為12，則PQ的長為（

）A．2 B．2．5 C．3 D．4【答案】A【分析】連接EP、DQ，并延長，分別交BC于一點(diǎn)F，連接ED、PQ，由題意易得ED∥BC，ED=12BC【詳解】解：連接EP、DQ，并延長，分別交BC于一點(diǎn)F，連接ED、PQ，如圖所示：∵G是△ABC的重心，延長BG交AC于點(diǎn)D，延長CG交AB于點(diǎn)E，∴AE=BE，AD=DC，∴ED∥BC，又∵P,Q分別是△BCE和△BCD的重心，∴EPPF∴PQ∥ED，∴PQ=1∵BC=12∴PQ=2故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的重心及平行線所截線段成比例，熟練掌握三角形的重心及平行線所截線段成比例是解題的關(guān)鍵．【題型9平行線分線段成比例的常用輔助線之作平行線】【例9】（2023春·河南鄭州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點(diǎn)G，若【答案】6:5【分析】作FN∥AD，交AB與N，設(shè)DE=a，則AE=3a，利用平行線分線段成比例定理解決問題即可．【詳解】解：如圖所示，作FN∥AD，交AB與N，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四邊形ANFD是平行四邊形，∵∠D=90°，∴四邊形ANFD是矩形，設(shè)DE=a，則AE=3a，∵AN=BN，∴BM=ME，∴MN=3∴FM=5∵AE∥FM，∴AG故答案為：6:5．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形中位線等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題．【變式9-1】（2023春·九年級課時(shí)練習(xí)）對于平行線，我們有這樣的結(jié)論：如圖1，AB//CD，AD,BC交于點(diǎn)O，則AODO請利用該結(jié)論解答下面的問題：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2,BD=2DC，求AC的長．【答案】3【分析】過點(diǎn)C作CE∥AB交AD的延長線于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到BDDC＝ADDE，由已知代入求出DE的長，證明△【詳解】解：過點(diǎn)C作CE∥AB交AD的延長線于E，則BDDC＝ADDE，又BD＝2∴AD∵AD＝2，∴DE＝1，∵CE∥AB，∴∠E＝∠BAD＝75°，又∠CAD＝30°，∴∠ACE＝∠E＝75°，∴AC＝AE＝AD+DE=3．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，恰當(dāng)作輔助線，正確運(yùn)用定理找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系，列出比例式求值是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·陜西西安·九年級?？计谀┤鐖D，AG：GD4∶1，BD：DC2∶3，則AE∶EC的值為．【答案】8:5【分析】過點(diǎn)D作DF∥CA交BE于F，如圖，利用平行線分線段成比例定理，由DF∥CE得到DFCE=BDBC=25，則CE=52DF，由【詳解】過點(diǎn)D作DF∥CA交BE于F，如圖，∵DF∥CE，∴DFCE而BD：DC=2：3，∴DFCE=25，則∵DF∥AE，∴DFAE∵AG：GD=4：1，∴DFAE=1∴AEEC故答案為85【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.【變式9-3】（2023春·廣東深圳·九年級深圳市南山外國語學(xué)校校聯(lián)考期中）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P在BA的延長線上，PA=14AB，點(diǎn)D在BC邊上，PD=PC，則CD【答案】3【分析】過點(diǎn)P作PE//AC交DC延長線于點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)可證PB=PE，再證△PCE≌△PDB，可得BD=CE，再利用平行線分線段成比例得【詳解】如圖：過點(diǎn)P作PE//AC交DC延長線于點(diǎn)∵AB=AC∵AC∴在△PCE和△PDB中PC=PD∴△PCE≌△PDB∴BD=CE∵AC∵PA=∴∴∴故答案為：34【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，以及全等三角形的判定，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，列出比例式．【題型10平行線分線段成比例的常用輔助線之作垂線】【例10】（2023春·四川達(dá)州·九年級校考期末）如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分線分別交AD、AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則BFEF的值是（A．2-1 B．2+2 C．2+1【答案】C【詳解】解：作FG⊥AB于點(diǎn)G，由AE∥FG，得BFEF∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵BE是∠ACB的平分線，∴FG=CF，在Rt△BGF和Rt△BCF中，BF=BFFG=CF∴Rt△BGF≌Rt△BCF，∴CB=GB，∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=2BC，∴BFEF=BGGA=故選：C．【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：1、平行線分線段成比例，2、全等三角形及角平分線【變式10-1】（2023春·廣西欽州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=α，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在MC上，以點(diǎn)A為中心，將線段AD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段AE，連接BE,DE．(1)比較∠BAE與∠CAD的大??；用等式表示線段BE,BM,MD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)過點(diǎn)M作AB的垂線，交DE于點(diǎn)N，用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)∠BAE=∠CAD，BE+MD=BM，理由見解析(2)NE=ND，理由見解析【分析】（1）證明△AEB≌△ADC，得到CD=BE，即可得到結(jié)論BE+MD=BM；（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB，交BC于點(diǎn)H，可證BE=BH，再證MN∥EH，得到DNNE【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)得，AD=AE,∠DAE=∠BAC=α，∴∠DAC=∠BAE=α-∠DAB，又∵AB=AC，∴△AEB≌△ADC，∴CD=BE，∵CD+MD=BM，∴BE+MD=BM；（2）NE=ND，理由如下：過點(diǎn)E作EH⊥AB，交BC于點(diǎn)H，∵AC=AB，∴∠C=∠ABC，∵△AEB≌△ADC，∴∠C=∠ABE，∴∠ABE=∠ABC，∵EH⊥AB，∴∠BEH=∠BHE，∴BE=BH，∴CD=BH