第3講分類討論思想在解析幾何中的應(yīng)用在解答某些數(shù)學(xué)問題時。有時會遇到很多情況，需要對各種情況加以分類，并逐步求解，然后綜合理解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法。是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零，積零為整的思想，與歸類整理的方法有關(guān)。分類討論思想在數(shù)學(xué)問題具有明顯的。邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理和概括性。解析幾何中的分類討論思想涉及到直線的方程、圓與圓的位置關(guān)系，圓錐曲線的概念以及性質(zhì)等問題。也是高考常考查的知識點(diǎn)。【應(yīng)用一】分類討論思想在直線、圓中的應(yīng)用1、直線方程的幾種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含垂直于x軸的直線斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含垂直于坐標(biāo)軸的直線截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用2、圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1＞0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2＞0).方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離d>r1＋r2無解外切d＝r1＋r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無解3、直線與圓的位置關(guān)系三種位置關(guān)系：相交、相切、相離．相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)Δeq\a\vs4\al(＜)0Δeq\a\vs4\al(＝)0Δeq\a\vs4\al(＞)0幾何觀點(diǎn)deq\a\vs4\al(＞)rdeq\a\vs4\al(＝)rdeq\a\vs4\al(＜)r【例】（2023四川南充高三模擬）過作圓的切線，則其切線方程為____________.【答案】或【分析】當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時，方程是，通過驗(yàn)證圓心到直線的距離，得到符合題意；當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑1，建立關(guān)于的方程，解之得，進(jìn)而得到直線的方程，最后綜合可得答案．【詳解】圓的圓心為，半徑為1，（1）當(dāng)過點(diǎn)的直線垂直于軸時，此時直線斜率不存在，方程是，圓心到直線的距離為，直線符合題意；（2）當(dāng)過點(diǎn)的直線不垂直于軸時，設(shè)直線方程為，即．直線是的切線，點(diǎn)到直線的距離為，解之得，此時直線方程為．切線方程為或．故答案為：或．【思維提升】涉及到直線的方程問題。若設(shè)直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程必須考慮直線的斜率是否存在，特別是直線與圓的位置關(guān)系是要驗(yàn)證斜率不存在的情況。這種問題也是經(jīng)常考查也是學(xué)生最容易丟分的問題。【變式1.1】（2023·山西·統(tǒng)考一模）經(jīng)過,,三點(diǎn)的圓與直線的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．無法確定【答案】A【分析】先根據(jù)圓上三點(diǎn)坐標(biāo)求出圓的方程及圓心半徑,再根據(jù)圓心到直線的距離與半徑之間的大小關(guān)系,得出圓與直線的位置關(guān)系.【詳解】解:由題知,圓過,,三點(diǎn),因?yàn)?所以,即,所以該圓是以為直徑的圓,可得圓心為,即,半徑,故圓的方程為,因?yàn)橹本€方程為:,所以圓心到直線的距離,當(dāng)時,有,所以圓與直線相交,當(dāng)時,有,所以圓與直線相交,綜上:圓與直線的位置關(guān)系是相交.故選：A.【變式1.2】（2022年重慶市第八中學(xué)高三模擬試卷）若直線與直線平行，則的值為（）A. B.3 C.3或 D.或6【答案】B【解析】【詳解】直線：與直線：平行，所以，解得：或，①當(dāng)時，：，：，，符合題意；②當(dāng)時，：，：，均為，此時，重合，舍去，故，故選：B【變式1.3】（202江蘇揚(yáng)州中學(xué)期中）（多選題）已知圓：，圓：，下列直線中，與圓，都相切的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【詳解】解：、，，∴兩圓相切，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以內(nèi)公切線方程為，整理得．設(shè)外公切線方程為，到外公切線的距離為，解得或，∴外公切線方程為或．故選：ACD．【變式1.4】（2022·遼寧鞍山·高二期中）過點(diǎn)引圓的切線，則切線的方程為（

）A．或 B．C．或 D．【答案】C【詳解】若切線與軸垂直，則切線方程為，此時圓心到直線的距離為，合乎題意；當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線的方程為，即，由題意可得，解得，此時，所求切線的方程為.綜上所述，所求切線方程為或.故選：C.【應(yīng)用二】分類討論思想在圓錐曲線定義中的應(yīng)用1、橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．集合P＝{M|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)．(1)若a＞c，則集合P為橢圓；(2)若a＝c，則集合P為線段；(3)若a＜c，則集合P為空集．2、雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于非零常數(shù)(小于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{Meq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a，c為常數(shù)，且a>0，c>0.(1)當(dāng)a＜c時，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)a＝c時，點(diǎn)P的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng)a＞c時，點(diǎn)P不存在．3、拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．【例】（四川省雙流中學(xué)2022年高三上學(xué)期期中）設(shè)定點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足條件（為常數(shù)，且），則點(diǎn)的軌跡是______.【答案】線段或橢圓【分析】利用基本不等式求得，然后分和兩種情況討論，結(jié)合橢圓的定義可得出點(diǎn)的軌跡.【詳解】，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.①若，則點(diǎn)的軌跡為線段；②若，則點(diǎn)的軌跡為橢圓.綜上所述，點(diǎn)的軌跡為線段或橢圓.故答案為：線段或橢圓.【思維提升】涉及到圓錐曲線的定義問題一定要考慮定義要滿足的條件，否則軌跡就不一定是圓錐曲線，如橢圓中忽略條件就有可能軌跡是線段，或者不存在。在求圓錐曲線的方程式特別是橢圓、雙曲線要判斷焦點(diǎn)在x軸，還是y軸。否則就要討論。【變式2.1】（福建省安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)、惠安一中、泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中聯(lián)考）（多選題）在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個圓：和：，其中常數(shù)滿足，一個動圓與兩圓都相切，則動圓圓心的軌跡可以是（）A．兩個橢圓 B．兩個雙曲線C．一個雙曲線和一條直線 D．一個橢圓和一個雙曲線【答案】BC【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系確定和的關(guān)系，確定它的軌跡．【詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以，設(shè)動圓的半徑為，已知兩圓相離，動圓可能與兩圓均內(nèi)切或均外切或一個外切一個內(nèi)切，①若均內(nèi)切，則，，此時，當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，當(dāng)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上.②若均外切，則，，此時，當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，當(dāng)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上.③若一個外切，一個內(nèi)切，不妨設(shè)與圓內(nèi)切，與圓外切，則，，.同理，當(dāng)與圓內(nèi)切，與圓外切時，.此時點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線，與①中雙曲線不一樣.故選：BC．【變式2.2】（2022寧夏隆德高三期末）若橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，長軸長為，焦距為，則橢圓的方程（）A． B．C．或 D．以上都不對【答案】C【分析】求得、、的值，由此可得出所求橢圓的方程.【詳解】由題意可得，解得，，由于橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，則該橢圓的方程為或.故選：C【變式2.3】（2022湖北師大附中期末）若橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，長軸長為，焦距為，則橢圓的方程（）A． B．C．或 D．以上都不對【答案】C【解析】由題意可得，解得，，由于橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，則該橢圓的方程為或.故選：C.【應(yīng)用三】分類討論思想在圓錐曲線性質(zhì)中的應(yīng)用1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：(0,0)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a，短軸B1B2的長為2b焦距eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b22、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(B1B2))＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長3、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對稱軸x軸y軸焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝x0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝－x0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF))＝－y0＋eq\f(p,2)【例】【2020年山東卷09】已知曲線C:mxA．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為nC．若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±D．若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【解析】對于A，若m>n>0，則mx2+n因?yàn)閙>n>0，所以1m即曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確；對于B，若m=n>0，則mx2+n此時曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為nn對于C，若mn<0，則mx2+n此時曲線C表示雙曲線，由mx2+n對于D，若m=0,n>0，則mx2+ny=±nn，此時曲線C表示平行于故選：ACD.【思維提升】圓錐曲線的性質(zhì)的考查關(guān)鍵要注意焦點(diǎn)在什么軸上，進(jìn)而確定的值。不易明確的就要進(jìn)行分類討論。【變式3.1】（2022福建·莆田錦江中學(xué)高二期末）若橢圓的焦距為2，則（）A．3 B．5 C．2 D．1【答案】AB【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)計(jì)算，注意分類討論．【詳解】由題意或，解得或．故選：AB．【變式3.2】（2023·廣東廣州·高三月考）已知曲線C：，則下列命題中為真命題的是（）A．若，則C是圓B．若，且，則C是橢圓C．若，則C是雙曲線，且漸近線方程為D．若，則C是橢圓，其離心率為【答案】BC【分析】對于A：取特值，則，代入原方程可判斷；對于B：由已知得，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷；對于C：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程可判斷；對于D：由已知得，可判斷曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，再由橢圓的離心率公式可判斷.【詳解】解：對于A：若，則，原方程為，此時曲線C不存在，故A不正確；對于B：由已知得，又，且，所以表示橢圓，故B正確；對于C：若，則C是雙曲線，但漸近線方程為，故C正確；對于D：由已知得，又，所以，則曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所以，，其離心率為，故D不正確，故選：BC.【變式3.3】【江蘇省蘇州市八校聯(lián)盟2023屆高三下學(xué)期5月適應(yīng)性檢測（三模）】已知雙曲線C:x2a2?y212=1a>0，過其右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線C交于A【答案】3【詳解】記c=a2+12，若直線l與若直線l⊥x軸時，將x=c代入雙曲線方程可得y=±12a，此時當(dāng)2a=16時，則a=8，此時，24a=3；當(dāng)所以，雙曲線C的實(shí)軸長和通徑長不可能同時為16；當(dāng)直線l與x軸不重合時，記c=a2+設(shè)直線l的方程為x=my+c，其中m≠0，設(shè)點(diǎn)Ax1聯(lián)立x=my+cx2a由題意可得12m2?Δ=由韋達(dá)定理可得y1+y所以，AB=24am所以，關(guān)于m的方程3a當(dāng)12m2?a2可得m2=2a2+3當(dāng)12m2?a2可得m2=2a2綜上所述，32故答案為：32鞏固練習(xí)1、（2022·河北唐山·高二期末）若橢圓的離心率為，則該橢圓的長軸長為（）A．8 B．2或4 C．1或4 D．4或8【答案】D【分析】分焦點(diǎn)在軸或軸兩種情況，討論橢圓的長軸長.【詳解】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸時，，，則，離心率，則，橢圓的長軸長.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸時，，，則，離心率，則，此時橢圓的長軸長.綜上可知，橢圓的長軸長為4或8.故選：D2、（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）（多選題）已知曲線，則下列說法正確的是（

）A．若曲線表示兩條平行線，則B．若曲線表示雙曲線，則C．若，則曲線表示橢圓D．若，則曲線表示焦點(diǎn)在軸的橢圓【答案】BD【解析】對于A選項(xiàng)，若曲線表示兩條平行線，則有或，且.若，則，此時曲線的方程為，可得或，合乎題意，若，則，此時曲線的方程為，可得或，合乎題意，故A錯；對于B選項(xiàng)，若曲線表示雙曲線，則，由于且，則，可得，則，B對；對于C選項(xiàng)，若曲線表示橢圓，則，解得且，C錯；對于D選項(xiàng)，若，則，則，曲線的方程可化為，此時，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，D對.故選：BD.3、（2021·廣東茂名·高三月考）（多選題）已知曲線：，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線與曲線沒有公共點(diǎn)B．直線與曲線最多有三個公共點(diǎn)C．當(dāng)直線與曲線有且只有兩個不同公共點(diǎn)，時，的取值范圍為D．當(dāng)直線與曲線有公共點(diǎn)時，記公共點(diǎn)為．則的取值范圍為【答案】ACD【分析】由題設(shè)討論的符號得到曲線的不同方程，結(jié)合所得方程對應(yīng)曲線的性質(zhì)，結(jié)合直線、并應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，判斷它們與曲線的交點(diǎn)情況，并根據(jù)交點(diǎn)個數(shù)的不同求交點(diǎn)橫坐標(biāo)之積或和的范圍.【詳解】由題設(shè)得：曲線為，A：由是和的漸近線，且與沒有公共點(diǎn)，故正確；B：由A中的分析知：與曲線最多有兩個公共點(diǎn)，故錯誤；C：由圖可知，若與曲線有兩個公共點(diǎn)或一個公共點(diǎn)，當(dāng)時，與曲線有兩個公共點(diǎn)，，由對稱性知，，關(guān)于直線對稱，則，∴，（1）當(dāng)時，．（2）當(dāng)時，由，則．（3）當(dāng)時，直線與曲線只有一個公共點(diǎn)，不合題意．（4）當(dāng)或時，直線與曲線無公共點(diǎn)，綜上可知，C正確；D：由C的分析，時與曲線有且只有兩個不同公共點(diǎn)，則，即．當(dāng)時，與曲線只有一個公共點(diǎn)，此點(diǎn)為．此時．故正確．故選：ACD．4、【2021年新高考2卷11】（多選題）已知直線l:ax+by?r2=0與圓C:A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD圓心C(0,0)到直線l的距離d=r若點(diǎn)A(a,b)在圓C上，則a2+b則直線l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)A(a,b)在圓C內(nèi)，則a2+b則直線l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)A(a,b)在圓C外，則a2+b則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點(diǎn)A(a,b)在直線l上，則a2+b所以d=r2a2+故選：ABD.5、（2022·山東日照·高三期末）（多選題）焦點(diǎn)為的拋物線與圓交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，方程的曲線記為是圓與軸的交點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列正確的是（）A．給定，對于任意，圓弧所對的圓心角B．對于給定的角，存在，使得圓弧所對的圓心角C．對于任意，該曲線有且僅有一個內(nèi)接正D．當(dāng)時，存在面積大于2022的內(nèi)接正【答案】BC【分析】由題設(shè)拋物線與圓的方程可得交點(diǎn)橫坐標(biāo)與圓半徑的關(guān)系為，結(jié)合各項(xiàng)條件，應(yīng)用特殊值法判斷AB的正誤，由于隨著圓半徑的增大，直線與的交點(diǎn)從圓上會變化，直到時交點(diǎn)剛好為拋物線與圓的交點(diǎn)上，此后再增大位置不變，即可判斷CD的正誤.【詳解】解：對于A選項(xiàng)，聯(lián)立拋物線與圓的方程，消去y得，即，而且，∴，即橫坐標(biāo)與半徑的關(guān)系，∵拋物線與圓有兩個交點(diǎn)，即，∴當(dāng)時，，故A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，∵由題意知：關(guān)于x軸對稱，則對于給定的角，存在使得圓弧所對的圓心角，即只需存在使即可.∴令，則，解得或，當(dāng)時，在如下圖陰影部分變化，有，當(dāng)時，若趨近于時,趨近于，故在如下圖陰影部分變化，有∴或時，有，即，所以對于給定的角，存在，使得圓弧所對的圓心角，故B正確；對于C選項(xiàng)，由，于是軸，直線：，同理，∴與分別都只有一個交點(diǎn)，即對于任意，該曲線有且僅有一個內(nèi)接正△，故C正確；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時，如下圖示，拋物線與圓只有一個交點(diǎn)且交點(diǎn)為原點(diǎn)，不符合題意，但此時，∴當(dāng)時，與的交點(diǎn)在圓上，會