單對數階幻方構造

在幻燈片結構法的研究中，關于數值階乘方和雙偶數階乘方的構造方法已經取得了許多成果。人們很難找到單號偶偶方的任何一種有效的結構方法。1918年，在前人的不懈努力下，數學家railhstrachay發明了一種結構單徑虛擬方的方法，康韋發明了一種lux法。這些方法是由n.2m和1階混淆方制成的。2（m，1）（m，m，1）（m，自然數）。通過這兩個步驟，可以建造出數值場、完美場、對稱場和對稱場的新方法。1k為個數時的kt笫一步按如下方式構造n=2(2m+1)(m=2,3,…為自然數)階代碼方陣A設該方陣位于第h行第k列的元素為a(h,k)(h=1,2,…,n;k=1,2,…,n)則1)h=2t+1,當t=0,1,…,m+1時,對1≤k≤2×(2m+1),取a(h,k)=1,當k為奇數時;a(h,k)=2,當k為偶數時.當t=m+2,…,2m時,對1≤k≤2(2m+1),取a(h,k)=2,當k為奇數時;a(h,k)=1,當k為偶數時.2)h=2t,t=1,…,m,對1≤k≤2(2m+1),若k=h-1,取a(h,k)=0;若k=h,取a(h,k)=3.若k≠h-1和k≠h,取a(h,k)=3,當k為奇數時;a(h,k)=0,當k為偶數時.3)h=2t,t=m+1,對1≤k≤2m,取a(h,k)=3,當k為奇數時;a(h,k)=0,當k為偶數時.對2m+1≤k≤4m+2,a(h,k)=0,當k為奇數時;a(h,k)=3,當k為偶數時.4)h=2t,t=m+2,對1≤k≤2m-2或2m+1≤k≤2m+4,取a(h,k)=3,當k為奇數時;a(h,k)=0.當k為偶數時.對2m-1≤k≤2m或2m+5≤k≤4m+2,取a(h,k)=0,當k為奇數時;a(h,k)=3,當k為偶數時.5)h=2t,t=m+3,對2m-1≤k≤2m或2m+5≤k≤2m+6,a(h,k)=3,當k為奇數時;a(h,k)=0,當k為偶數時.對1≤k≤2m-2或2m+1≤k≤2m+4或2m+7≤k≤4m+2,取a(h,k)=0,當k為奇數時;a(h,k)=3,當k為偶數時.6)h=2t,t=m+4,…,2m+1,對1≤k≤4m+2,若k≠h-1和k≠h,取a(h,k)=0,當k為奇數時;a(h,k)=3,當k為偶數時.若k=h-1,取a(h,k)=3;若k=h,取a(h,k)=0.注意,當m=2時,(6)是不存在的.這里,取一個已知的或直接(比如按文~的方法)構造一個奇數n=2m+1(m=2,3,…為自然數)階幻方B.我們將在引理中證明,如此得到的方陣是一個由代碼0,1,2,3組成的幻方常數為3(2m+1)的n=2(2m+1)(m=2,3,…為自然數)階幻方.笫二步依次以0,1×(2m+1)2,2×(2m+1)2,3×(2m+1)2取代代碼0,1,2,3得到一個幻方常數為3×(2m+1)3的單偶數n=2(2m+1)(m=2,3,…為自然數)階幻方C,我們稱之為根式幻方.第三步把幻方B中的每一個數字以一個2×2的由同一個數字構成的方陣代替之,得幻方常數為(2m+1)((2m+1)2+1)的單偶數階n=2(2m+1)(m=2,3,…為自然數)幻方D(這是不言自明的),我們稱之增廣幻方.第四步根式幻方與增廣幻方迭加所得的就是由1至4(2m+1)2的自然數組成的n=2(2m+1)(m=2,3,…為自然數)階正規幻方,記為E.以上構造單偶數階幻方的步驟稱為四步法.2ak為個數時,k引理四步法的第一步中n=2(2m+1)(m=2,3,…為自然數)階代碼方陣A是一個幻方.證明由方陣A的定義,顯然其每行的和都等于3(2m+1).以下求笫k(k=1,2,…,4m+2)列代碼之和:1)h=2t+1,t=0,1,…,m+1時,對1≤k≤2(2m+1),當k為奇數時,a(h,k)=1,所以,;當k為偶數時,a(h,k)=2,所以,當k為偶數時,2)h=2t,t=1,…,m時,對1≤k≤2(2m+1).若k≠h-1和k≠h,取a(h,k)=3,當k為奇數時;a(h,k)=0,當k為偶數時.若k=h-1,取a(h,k)=0;若k=h,取a(h,k)=3.3)h=2t,t=m+4,…,2m+1,對1≤k≤4m+2,若k≠h-1和k≠h,取a(h,k)=0;當k為奇數時;a(h,k)=3,當k為偶數時.若k=h-1,取a(h,k)=3;若k=h,取a(h,k)=0.所以,若1≤k≤2(m+3),當k為奇數時,當k為偶數時,若2m+7≤k≤4m+2,當為奇數時,當k為偶數時,由第一步的3)、4)、5),當1≤k≤2m-2且k為奇數時,笫k列位于偶數行上代碼之和為由以上1),當1≤k≤2m-2且k為奇數時,笫k列位于奇數行上代碼之和為所以,當1≤k≤2m-2且k為奇數時,笫k列上代碼之和為當1≤k≤2m-2且k為偶數時,笫k列位于偶數行上代碼之和為當1≤k≤2m-2且k為偶數時,笫k列位于奇數行上代碼之和為所以,當1≤k≤2m-2且k為偶數時,笫k列上代碼之和為笫k=2m-1列位于偶數行上代碼之和為位于奇數行上代碼之和為所以,笫k=2m-1列上代碼之和為笫k=2m列位于偶數行上代碼之和為笫k=2m列位于奇數行上代碼之和為所以,笫k=2m列上代碼之和為當2m+1≤k≤2m+4且k為奇數時,笫k列位于偶數行上代碼之和為+3.所以,由以上1),當2m+1≤k≤2m+4且k為奇數時,笫k列位于奇數行上代碼之和為所以,當2m+1≤k≤2m+4且k為奇數時,笫k列上代碼之和為當2m+1≤k≤2m+4且k為偶數時,笫k列位于偶數行上代碼之和為當2m+1≤k≤2m+4且k為偶數時,笫k列位于奇數行上代碼之和為所以,當2m+1≤k≤2m+4且k為偶數時,笫k列上代碼之和為笫k=2m+5列位于偶數行上代碼之和為所以,笫k=2m+5列上代碼之和為笫k=2m+6列位于偶數行上代碼之和為位于奇數行上代碼之和為所以,笫k=2m+6列上代碼之和為當2m+7≤k≤4m+2且k為奇數時,笫k列位于偶數行上代碼之和為由以上1),當2m+7≤k≤4m+2且k為奇數時,笫k列位于奇數行上代碼之和為所以,當2m+7≤k≤4m+2且k為奇數時,笫k列上代碼之和為當2m+7≤k≤4m+2且k為偶數時,笫k列位于偶數行上代碼之和為由以上1),當2m+7≤k≤4m+2且k為偶數時,笫k列位于奇數行上代碼之和為所以,當2m+7≤k≤4m+2且k為偶數時,笫k列上代碼之和為至此已證得代碼方陣A各行各列代碼之和都等于3(2m+1).現在考察對角線上的情形,從左上角至右下角對角線位于偶數行上代碼之和為位于奇數行上代碼之和為所以,從左上角至右下角對角線上代碼之和為從右上角至左下角對角線位于偶數行上代碼之和為位于奇數行上代碼之和為所以,從右上角至左下角對角線上代碼之和為綜上所述代碼方陣A是一個幻方,其幻方常數為3(2m+1).3算法2.2.自然數法定理四步法所得方陣E是一個由1至4(2m+1)2的自然數組成的n=2(2m+1)(m=2,3,…為自然數)階正規的幻方.證明由引理知,四步法笫一步所得代碼方陣A是一個單偶數n=2(2m+1)(m=2,3,…為自然數)階幻方,其幻方常數為3(2m+1).由此顯然笫二步所得根式方陣C是一個單偶數n=2(2m+1)(m=2,3,…為自然數)階幻方,其幻方常數為3(2m+1)3.顯然笫三步所得增廣方陣D是一個單偶數n=2×(2m+1)(m=2,3,…為自然數)階幻方,其幻方常數為(2m+1)((2m+1)2+1).顯然笫四步所得方陣E是一個單偶數n=2(2m+1)(m=2,3,…為自然數)階幻方,其幻方常數為剩下要證明的是幻方E是一個正規幻方.由根式幻方C與增廣幻方D迭加過程知,奇數n=2(2m+1)(m=2,3,…為自然數)階幻方B的每一個元素都分別與0,(2m+1)2,2(2m+1)2,3(2m+1)2相加,而幻方B是由1~(2m+1)2的自然數所組成,所以,幻方E是由1~(2m+1)2,(2m+1)2+1~2(2m+1)2,2(2m+1)2+1~3(2m+1)2,3(2m+1)2+1~4(2m+1)2的自然數所組成,即由1~(2(2m+1))2的自然數所組成,所以幻方E是一個正規幻方.第一步按四步法求得的由代碼0,1,2,3組成的幻方常數為3×9=27的18階代碼幻方A(見圖1).由兩步法構造一個9階幻方B(見圖2);第二步依次以0,92=81,2×81=162,3×81=243代替代碼0,1,2,3得到一個幻方常數為2187的18階根式幻方C(見圖3).第三步把上述9階幻方B中的每一個數字以一個2×2的由同一個數字構成的方陣代替之,得幻方常數為2×369=738的18階增廣幻方D(見圖4).例用四步法構造一個18階幻方:第四步根式幻方C與增廣幻方D迭加得由1~324組成的18階正規幻方E(見圖5).每一個9階幻方由四步法可得出一個18階幻方,如所取的9階幻方是由兩步