2023-2024學(xué)年四川省成都市高三上冊入學(xué)考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，則集合B中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．歐拉公式（其中i是虛數(shù)單位，e是自然對數(shù)的底數(shù)）是數(shù)學(xué)中的一個(gè)神奇公式．根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．橢圓的焦距為2，則的值等于（

）.A．5 B．8 C．5或3 D．5或84．某幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示：則下列兩個(gè)圖形①②中，可能是其俯視圖的是A．①②都可能 B．①可能，②不可能C．①不可能，②可能 D．①②都不可能5．已知冪函數(shù)，下列能成為“是上奇函數(shù)”充分條件的是（

）A．， B．，C．， D．，6．如圖所示，圖中曲線方程為，用定積分表達(dá)圍成封閉圖形（陰影部分）的面積是（

）A． B．C． D．7．已知是兩個(gè)非零向量，設(shè)．給出定義：經(jīng)過的起點(diǎn)和終點(diǎn)，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，則稱向量，為在上的投影向量．已知，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．8．已知，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．9．如圖，圓柱的軸截面為矩形，點(diǎn)，分別在上、下底面圓上，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．10．若，則（

）A． B． C． D．11．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用圖明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理圖假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車轉(zhuǎn)輪的中心到水面的距離為，筒車的半徑為，筒車轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，如圖所示，盛水桶視為質(zhì)點(diǎn)的初始位置距水面的距離為，則后盛水桶到水面的距離近似為（

）A． B． C． D．12．如圖拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為4；拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)也為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為6．和交于兩點(diǎn)，分別過作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為，過的直線與封閉曲線交于兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）

①

②四邊形的面積為100③

④的取值范圍為A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①③二、填空題13．命題p：“”則為.14．高二甲、乙兩位同學(xué)計(jì)劃端午假期從“韓陽十景”中挑個(gè)旅游景點(diǎn)：廉村孤樹、龜湖夕照、南野桑、馬嶼香泉隨機(jī)選擇其中一個(gè)景點(diǎn)游玩，記事件甲和乙至少一人選擇廉村孤樹，事件甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則條件概率．15．在中，內(nèi)角的對邊長分別為，且，，則b的值為．16．函數(shù)的圖像如圖所示，已知，則方程在上有個(gè)非負(fù)實(shí)根．

三、解答題17．在四棱柱中，，．

(1)當(dāng)時(shí)，試用表示；(2)證明：四點(diǎn)共面；18．隨著人們對環(huán)境關(guān)注度的提高，綠色低碳出行越來越受市民重視，為此某市建立了共享電動(dòng)車服務(wù)系統(tǒng)，共享電動(dòng)車是一種新的交通工具，這是新時(shí)代下共享經(jīng)濟(jì)的促成成果．目前來看，共享電動(dòng)車的收費(fèi)方式通過客戶端軟件和在線支付工具完成付費(fèi)流程，從開鎖到還車所用的時(shí)間稱為一次租用時(shí)間，具體計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：①租用時(shí)間30分鐘2元，不足30分鐘按2元計(jì)算；②租用時(shí)間為30分鐘以上且不超過40分鐘，按4元計(jì)算；③租用時(shí)間為40分鐘以上且不超過50分鐘，按6元計(jì)算甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用公共電動(dòng)車一次，租用時(shí)間都不會超過50分鐘，兩人租用時(shí)間的概率如下表：租用時(shí)間不超過30分鐘甲乙若甲、乙租用時(shí)間相同的概率為．(1)求，的值；(2)設(shè)甲、乙兩人所付費(fèi)之和為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，已知．(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若對任意恒成立，求的取值范圍．20．已知函數(shù)，.(1)若經(jīng)過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像相切于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)設(shè)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)為，，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已知雙曲線的離心率為，左焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，過點(diǎn)作直線與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn)，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱．(1)求雙曲線的方程；(2)求證：直線過定點(diǎn)．注：22與23題為選做題，2選1，均為10分．22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．(1)求和的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求．23．已知.(1)求的最小值M；(2)關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．C【分析】根據(jù)集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，即集合B中的元素有0，1，-1．【詳解】解：由于集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，∵-1∈A且1∈A，0的相反數(shù)是0，0∈A∴-1∈B，1∈B，0∈B．∴B={-1，0，1}故B中元素個(gè)數(shù)為3個(gè)；故選C．本題考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．2．A【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義判斷.【詳解】由歐拉公式，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)在第一象限．故選：A．3．C【分析】分焦點(diǎn)在軸，軸上兩種情況，利用，，即可求出的值.【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)：，，解得：，當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)：，，解得：，所以或，故選：C本題主要考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4．A由三視圖的正視圖和側(cè)視圖分析，幾何體上部、中部、下部的形狀，判斷，可得出選項(xiàng)．【詳解】若是①，可能是三棱錐；若是②，可能是棱錐和圓錐的組合；所以①②都有可能，故選：A.本題考查簡單空間圖形的三視圖，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．5．D【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義域、奇偶性的判斷方法依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，，的定義域?yàn)椋郑嵌x在上的奇函數(shù)，充分性不成立，A錯(cuò)誤；對于B，，的定義域?yàn)椋瑸榉瞧娣桥己瘮?shù)，充分性不成立，B錯(cuò)誤；對于C，，的定義域?yàn)椋郑嵌x在上的偶函數(shù)，充分性不成立，C錯(cuò)誤；對于D，，的定義域?yàn)椋郑嵌x在上的奇函數(shù)，充分性成立，D正確.故選：D.6．C【分析】由微積分基本定理的幾何意義即可得出結(jié)果.【詳解】圖中圍成封閉圖形（陰影部分）的面積.故選：C.7．D【分析】先求向量的單位向量，再利用投影向量的求法求解即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，由，可得與方向相同的單位向量為，所以在上的投影向量為：，故選：D.8．B【分析】根據(jù)可得到方程，求得，結(jié)合n的取值，可得答案.【詳解】由題意可知，因?yàn)椋裕淼茫矗郑遥裕蔬x：B9．B【分析】通過平移得到異面直線與所成角，并結(jié)合余弦定理得到結(jié)果.【詳解】如圖（1），在上取點(diǎn)，使，

連接，，，，．易知四邊形為矩形，則，且．連接，．因?yàn)椋遥运倪呅螢槠叫兴倪呅危裕遥B接，則，且，所以四邊形為平行四邊形，則，所以或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角．在中，，，，，在中，，，所以．在中，，，所以．又，在中，由余弦定理．故選：B.10．A【分析】對等是進(jìn)行變形，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】由題可得：，函數(shù)是定義在的增函數(shù)，，所以.故選：A11．A【分析】先求出初始位置時(shí)對應(yīng)的角，再根據(jù)題意求出盛水桶到水面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式，將代入，即可求解.【詳解】設(shè)初始位置時(shí)對應(yīng)的角為，則，則，因?yàn)橥曹囖D(zhuǎn)到的角速度為，所以水桶到水面的距離，當(dāng)時(shí)，可得.故選：A.12．B【分析】利用已知條件，建立平面直角坐標(biāo)系，求解兩條拋物線方程，求解的距離判斷①；求解，的坐標(biāo)，推出矩形的面積判斷②，利用向量的數(shù)量積判斷③；判斷的距離的范圍判斷④．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為4；可得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．拋物線的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)也為，準(zhǔn)線為，焦準(zhǔn)距為6．可得，所以，所以①正確；拋物線的方程為：．和交于、兩點(diǎn)，，可得、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：3，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)：，分別過、作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為、、、，可得，，，，，，四邊形的面積為：．所以②不正確；又，則，，可得，所以③正確；根據(jù)拋物線的對稱性不妨設(shè)點(diǎn)在封閉曲線的上部分，設(shè)在直線上的射影分別為，當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，，當(dāng)與重合時(shí)，最小，最小值為，當(dāng)與重合，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，因?yàn)椋本€，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，所以；當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，設(shè)，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設(shè)，則，，當(dāng)，即時(shí)取等號，故此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在拋物線，點(diǎn)在拋物線上時(shí)，根據(jù)拋物線的對稱性可知，；綜上，，所以④正確.故選：B．13．【分析】直接根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，即可得答案.【詳解】因?yàn)槊}p為特稱命題，所以命題p：“”的否定為.故答案為.14．【分析】計(jì)算出事件、所包含的基本事件數(shù)，利用條件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】對于事件，甲和乙至少一人選擇廉村孤樹，則其反面為“甲、乙兩人均不選擇廉村孤樹”，所以，，對于事件，甲和乙中只有一人選擇廉村孤樹，另一個(gè)人選擇其它村，所以，，因此，所求概率為.故答案為.15．【分析】由可得，即而得，利用正余弦定理化簡可得，結(jié)合條件，即可求得答案.【詳解】由，可得，即，即有，即，故，化簡得，結(jié)合，可得，解得或0（舍），故4．16．1【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷方程在上的根的個(gè)數(shù).【詳解】由圖像可得函數(shù)在上有3個(gè)極值點(diǎn)，不妨設(shè)其極值點(diǎn)為，其中，設(shè)，，，由圖像可得，，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，又函數(shù)的圖像由陡峭變?yōu)槠骄彛手饾u變小，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，函數(shù)的圖像先由平緩變?yōu)槎盖停儆啥盖妥優(yōu)槠骄彛茸兇笤僮冃。瘮?shù)先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，所以取值先負(fù)后正，所以存在，使得，當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)的圖像由平緩變?yōu)槎盖停瘮?shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，因?yàn)椋瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上不存在零點(diǎn)，且，因?yàn)椋驗(yàn)楸硎军c(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，結(jié)合圖像可得，故，所以函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)，故方程在上有1個(gè)非負(fù)零點(diǎn)，故1.17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算進(jìn)行求解；（2）設(shè)（不為0），推導(dǎo)出，進(jìn)而證明出四點(diǎn)共面.【詳解】（1）四棱柱中，，因?yàn)椋裕唬?）設(shè)（不為0），，則共面且有公共點(diǎn)，則四點(diǎn)共面；18．(1)(2)分布列見解析；期望為【分析】(1)分別記“甲租用時(shí)間不超過30鐘、、”為事件，它們彼此互斥，則可得，求解即可；(2)由題意可得可能取值為，求出對應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算期望即可.【詳解】（1）解：分別記“甲租用時(shí)間不超過30鐘、、”為事件，它們彼此互斥，則，且；分別記“乙租用時(shí)間不超過30鐘、、”為事件，則，且與相互獨(dú)立．記“甲、乙租用時(shí)間相同”為事件，則由①②解得：（2）解：可能取值為，，，，，所以的分布表如下：46810120.20.230.330.150.09所以19．(1)(2)【分析】（1）由已知得為公差為的等差數(shù)列，求得，利用與的關(guān)系求得，再利用累乘法即可得到結(jié)果.（2）利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式表示出，即可得出，然后利用裂項(xiàng)相消法求得其前項(xiàng)的和，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意得為公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則，即，兩式作差得，即，所以，即，，因?yàn)橐策m合上式，所以.（2）由（1）知，由可得，所以，則，當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)椋院愠闪⒌葍r(jià)于，從而.20．(1)(2)【分析】（1）由題意，對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（2）將有兩個(gè)極值點(diǎn)為，，轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)不同的根，根據(jù)根的判別式求出的取值范圍，將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，通過構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值問題，進(jìn)而即可求解.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋桑茫瑒t，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像相切于點(diǎn)，所以，所以，解得，（2），則，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)為，，所以在上有兩個(gè)不同的根，此時(shí)方程在上有兩個(gè)不同的根，則，且，解得，若不等式恒成立，則恒成立，因?yàn)椴环猎O(shè)，則，因?yàn)椋裕栽谏线f減，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是將極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)不同的根，求出的范圍，再將不等式恒成立，則恒成立，然后構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其范圍，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題.21．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由條件列關(guān)于的方程，解方程求，由此可得雙曲線方程；（2）設(shè)，分別聯(lián)立直線，與雙曲線方程，結(jié)合關(guān)于系數(shù)關(guān)系求點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式表示直線的方程，再證明直線過定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，則，由已知，故，即，所以漸近線方程為．又到雙曲線的漸近線的距離為，則，所以．所以雙曲線的方程為．（2）設(shè)，若，則，故，直線的方程為，若，設(shè)直線的方程為，直線的方程與雙曲線聯(lián)立，．又，則所以，即．同理，則，則直線方程為，令，則，即所以直線過定點(diǎn)．

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決直線與雙曲線的綜合問題時(shí)，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、雙曲線的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．22．(1)；當(dāng)時(shí)，直線的直