/南陽地區2024年春季高二期末適應性考試數學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：北師大版選擇性必修第一、二冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若數列滿足，，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】根據遞推式結合求出的值，從而可出結果.【詳解】因為數列滿足，，所以，，所以.故選：A2.某運動物體的位移（單位：米）關于時間（單位：秒）的函數關系式為，則該物體在秒時的瞬時速度為（）A.米/秒 B.米/秒 C.米/秒 D.米/秒【答案】D【解析】【分析】借助導數公式求導后代入計算即可得.【詳解】，當時，有，故該物體在秒時的瞬時速度為米/秒.故選：D.3.的展開式中的系數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】借助二項式的展開式的通項公式計算即可得.【詳解】對有，則有，即的系數為.故選：B.4.若是正項無窮的等差數列，且，則的公差的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由表示出，然后由且可求出公差的取值范圍.【詳解】由，得，得，因為是正項無窮的等差數列，所以，所以，得，即的公差的取值范圍是.故選：D5.已知點在拋物線上，過點作圓的切線，若切線長為，則點到的準線的距離為（）A.5 B.6 C.7 D.【答案】A【解析】【分析】由圓的切線的性質可求得，結合拋物線方程計算可得點橫坐標，即可得點到的準線的距離.【詳解】如圖所示：設切點為Q，則，則，設，則由兩點間距離公式得到，解得，因為，所以，因為的準線方程為，所以點到的準線的距離PE為.故選：A.6.已知直線與函數的圖象有兩個不同的交點，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得曲線斜率為的切線方程可得結論.【詳解】因為，所以在上單調遞減，在上單調遞增．令，得，所以直線與的圖象相切時的切點為，此時，所以當時，直線與的圖象有兩個不同的交點．故選：A.7.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中，則此人繼續投籃；若未命中，則換對方投籃.已知甲每次投籃的命中率均為0.8，乙每次投籃的命中率均為0.7，甲、乙每次投籃的結果相互獨立.抽簽確定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5，則第三次投籃的人是甲的概率為（）A.0.35 B.0.525 C.0.575 D.0.595【答案】C【解析】【分析】記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，設，由題意可得，根據數列知識，構造等比數列，最后代入計算即可.【詳解】記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，設，依題可知，，則，即，設，解得，則，又，則，所以是首項為，公比為的等比數列，即，．則第次投籃的人是甲的概率為.當時，故選：C.8.設為正整數，數列是公比不為1的等比數列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的3個數都能構成等比數列，則稱數列是可分數列.現有下列3個命題：①數列是可分數列；②數列是可分數列；③數列是可分數列.其中真命題的個數為（）A0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據可分數列的定義即可驗證結論【詳解】對于①，由于從數列中刪去兩項后，剩余的項可被平均分為組，能構成等比數列，所以數列是可分數列，故①正確；對于②，由于從數列中刪去兩項后，剩余的項可被平均分為組，都能構成等比數列，所以數列是可分數列，故②正確；對于③，由于從數列中刪去兩項后，剩余的項可被平均分為組，都能構成等比數列，所以數列是可分數列，故③正確；所以真命題有個.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為普及航天知識，弘揚航天精神，某學校舉辦了一次航天知識競賽.統計結果顯示，學生成績（滿分100分），其中不低于60分為及格，不低于80分為優秀，且優秀率為.若從全校參與競賽的學生中隨機選取5人，記選取的5人中知識競賽及格的學生人數為，則（）A.該知識競賽的及格率為 B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由正態分布的對稱性計算可得A，由概率乘法公式計算可得B，由二項分布的期望與方差公式計算可得C、D.【詳解】對A：由題意可得，則，即，故A正確；對B：，故B錯誤；對C：由題意可得，則，故C正確；對D：，故D錯誤.故選：AC.10.已知數列滿足，且，則下列說法正確的是（）A.數列可能為常數列B.數列可能為等比數列C.若，則D.若，記是數列的前項積，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據常數列的定義，結合條件，判斷A；根據等比數列的定義，判斷為常數，判斷B；根據數列的公比，并求數列的首項，利用等比數列的前項和公式判斷C；結合數列的通項公式，并判斷數列的單調性，即可判斷D.【詳解】A.當時，，得或（舍），此時為常數列，故A正確；B.，，，若時，此時，不是等比數列，若時，，此時數列為公比為2的等比數列，故B正確；C.若，，所以，故C錯誤；D.若，，數列是首項為，公比為的等比數列，，數列單調遞減，，當時，，當時，，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.若有極小值，則B.若在上單調遞增，則C.對任意的存在唯一零點D.若恒成立，則【答案】BCD【解析】【分析】對于A，對函數求導后，當時求函數的極值判斷，對于B，由題意可得在上恒成立，轉化為在上恒成立，然后構造函數，利用導數求其最小值即可，對于C，由，得，構造函數，利用導數判斷其單調性進行分析判斷，對于D，由，得，令，利用導數判斷其在上單調遞增，則有，再轉化為，再構造函數利用導數求出其最小值即可.【詳解】對于A，，當時，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以有極小值，故A錯誤．對于B，若在上單調遞增，則在上恒成立，所以，即．令，則，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，故B正確．對于C，令，則．令，則，所以在上單調遞增．因為，且當時，，當時，，所以與曲線只有一個交點，即存在唯一零點，故C正確．對于D，由，得，即．令，則．，令，則，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以在上單調遞增．因為，所以，所以，令，則，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以，故D正確．故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數的綜合問題，考查函數的極值問題，考查利用導數解決函數零點問題，考查利用導數解決不等式恒成立問題，解題的關鍵是分離參數，構造函數，再利用導數求函數的最值，考查數學轉化思想和計算能力，屬于較難題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知曲線在直線的上方，則當曲線上的動點到直線的距離最短時，點的坐標為________________【答案】【解析】【分析】作曲線與直線平行的切線，可得該切線切點到直線的距離最短，計算該切點坐標即可得.【詳解】曲線與直線平行的切線切點到直線距離最短，令，則，令，即，解得或（舍），，即切點坐標為.故答案為：.13.已知分別為橢圓的左?右焦點，為上一點，則的離心率為__________，內切圓的半徑為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】第一空，將點代入得出方程，用公式求出離心率；第二空，畫出圖形，直角三角形中用等面積法求出內切圓半徑即可.【詳解】第一空，將代入中，，即，，則橢圓方程為，離心率為：.第二空，如圖所示，易得，則，，，因為(為三角形周長，為內切圓半徑).又，代入得，解得.故答案為：；.14.設的個位數為，則數列的前100項和為________________，從數列的前100項中任選2項，則這2項中至少有1項是質數的概率為________________.【答案】①.500②.【解析】【分析】先求出為周期為4的數列，從而得到前100項和，再根據前100項中有25個7,25個9,25個3,25個1，結合組合知識求出概率.【詳解】，……，可以發現為周期為4的數列，則數列的前100項和；的前100項中有25個7，25個9，25個3，25個1，由于1既不是質數，也不是合數，3,7為質數，9為合數，任選2項，共種情況，其中這2項中至少有1項是質數的情況為，故這2項中至少有1項是質數的概率為故答案為：500，四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在空間直角坐標系中，已知，，，，.（1）證明：為直角三角形.（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）計算出對應空間向量后計算向量數量積即可得；（2）借助空間向量求出平面的法向量后借助夾角公式計算即可得.【小問1詳解】由題可得，，則，故，故為直角三角形；【小問2詳解】，，設平面的法向量為，則有，令，則有，，即，則有，則直線與平面所成角的正弦值為.16.某地五一假期舉辦大型促銷活動，匯聚了各大品牌新產品的展銷．現隨機抽取7個品牌產品，得到其促銷活動經費（單位：萬元）與銷售額（單位：萬元）的數據如下：品牌代號1234567促銷活動經費1246101320銷售額12204440566082若將銷售額與促銷活動經費的比值稱為促銷效率值，當時，稱為“有效促銷”，當時，稱為“過度促銷”．（1）從這7個品牌中隨機抽取4個品牌，求取出的4個品牌中“有效促銷”的個數比“過度促銷”的個數多的概率；（2）從這7個品牌中隨機抽取3個，記這3個品牌中“有效促銷”的個數為，求的分布列與期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，．【解析】【分析】（1）先計算分析“有效促銷”和“過度促銷”品牌個數，然后根據排列組合知識列出基本事件總數以及所求問題的事件數，計算比值即可；（2）由（1）可知“有效促銷”的品牌數，得出隨機變量的取值，再求相應的概率即可求出分布列和數學期望.小問1詳解】根據題意計算得，7個品牌中“有效促銷”的品牌是1，2，3號品牌，共有3個，“過度促銷”的品牌是6，7號品牌，共有2個．設“取出的4個品牌中‘有效促銷’的個數比‘過度促銷’的個數多”為事件，則．【小問2詳解】由（1）知，7個品牌中有3個品牌是“有效促銷”，所以的可能取值是0，1，2，3，因為，，，，所以的分布列為：0123所以．17.已知數列滿足且.（1）求的通項公式.（2）設的前項和為，表示不大于的最大整數.①求；②證明：當時，為定值.【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）構造數列，結合等差數列定義計算即可得；（2）①借助錯位相減法計算即可得；②構造數列，結合數列單調性可得當時，，即可得為定值.【小問1詳解】由，則，即，則數列是以為公差的等差數列，又，故，即；【小問2詳解】①由，則，，則，故；②令，則，則，故數列為單調遞減數列，又，故當時，，故，即當時，恒成立，即為定值.18.已知雙曲線實軸比虛軸長2，且焦點到漸近線的距離為2.（1）求雙曲線的方程；（2）若動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，兩點，為坐標原點，證明：的面積為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由點到直線的距離公式及實軸與虛軸定義計算即可得；（2）討論直線的斜率是否存在，且當直線的斜率存在時，設出直線方程，與雙曲線方程聯立，根據，找到參數之間的關系，再利用弦長公式求得，利用點到直線的距離公式求出三角形的高，求得面積，即可證明.【小問1詳解】設雙曲線焦點為，一條漸近線方程為，所以該焦點到漸近線的距離為，又雙曲線實軸比虛軸長2，故，即，故雙曲線的方程為；小問2詳解】當直線的斜率不存在時，若動直線與雙曲線恰有1個公共點，則直線經過雙曲線的頂點，不妨設，又漸近線方程為，將代入，得，將代入，得，則，；當直線的斜率存在，設直線，且，聯立，消去并整理得，因為動直線與雙曲線恰有1個公共點，所以，得，設動直線與的交點為，與的交點為，聯立，得，同理得，則，因為原點到直線的距離，所以，又因為，所以，即，故的面積為定值，且定值為.【點睛】關鍵點點睛：利用，找到參數之間的關系，再利用弦長公式求得，利用點到直線的距離公式求出三角形的高，進而求出面積是解題關鍵.19.若函數滿足對任意成立，則稱為“反轉函數”．（1）若是“反轉函數”，求取值范圍．（2）①證明：為“反轉函數”．②設，證明：．【答案】（1）（2）①②證明見解析【解析】【分析】（1）根據“反轉函數”的定義，分和兩種情況討論即可求出的取值范圍；（2）①根據“反轉函數”的定義證明，令，求導后可得在上遞減，然后分和兩種情況證明