第五講倒推法的應用知識導航在分析應用題的過程中，倒推法是一種常用的思考方法.這種方法是從所表達應用題或文字題的結果出發，利用條件一步一步倒著分析、推理，直到解決問題.用倒推法解題時要注意：①從結果出發，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的過程中，每一步運算都是原來運算的逆運算.③列式時注意運算順序，正確使用括號.例1：一次數學考試后，李軍問于昆數學考試得多少分.于昆說：“用我得的分數減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.〞小朋友，你知道于昆得多少分嗎？解析:這道題如果順推思考，比擬麻煩，很難理出頭緒來.如果用倒推法進行分析，就像剝卷心菜一樣層層深入，直到解決問題.如果把于昆的表達過程編成一道文字題：一個數減去8，加上10，再除以7，乘以4，結果是56.求這個數是多少？把一個數用□來表示，根據題目條件可得到這樣的等式：｛［〔□－8〕＋10］÷7｝×4＝56.如何求出□中的數呢？我們可以從結果56出發倒推回去.因為56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是減8以后得到的，減8以前是88＋8＝96.這樣倒推使問題得解.解：｛［〔□－8〕＋10］÷7｝×4＝56［〔□－8〕＋10]÷7＝56÷4=14〔□－8〕＋10=14×7=98□－8=98-10=88□=88+8=96答：于昆這次數學考試成績是96分.【穩固】某數加上6,乘以6,減去6,除以6,其結果等于6,那么這個數是_____.解析：{［〔□+6〕×6］-6}=6解：運用倒推法知這個數為〔6×6+6〕÷6-6=1【解題技巧】解答此類問題的方法規律是：原題加，逆推為減；原題減，逆推為加；原題乘，逆推為除；原題除，逆推為乘。例2：小玲問一老爺爺今年多大年齡,老爺爺說：“把我的年齡加上17后用4除,再減去15后用10乘,恰好是100歲〞那么,這位老爺爺今年_____歲.解析：｛［〔□+17〕÷4］-15｝×10＝100采用逆推法,易知老爺爺的年齡為(100÷10+15)×4-17=83(歲)【穩固】某數除以4，乘以5，再除以6，結果是615，求某數.解析：{［〔□÷4〕×5］÷6}=615解：運用倒推法知這個數為615×6÷5×4=2952例3：馬小虎做一道整數減法題時，把減數個位上的1看成7，把減數十位上的7看成1，結果得出差是111.問正確答案應是幾？解析：馬小虎錯把減數個位上1看成7，使差減少7-1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70-10＝60.因此這道題歸結為某數減6，加60得111，求某數是幾的問題.解：111-〔70-10〕＋〔7-1〕＝57答：正確的答案是57.【穩固】在計算一道減法題時，小馬虎把被減數個位上的3看做8，把減數十位上的6看做9，結果得出的差是60.正確的結果是多少？解析：被減數個位上的3看做8，差就多加了5；減數十位上的6看做9，差就多減去30.要求出正確的差，就應該用60加上30，減去5.解：。例4：樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時三棵樹上鳥的只數相等.問：原來每棵樹上各落多少只鳥？解析：倒推時以“三棵樹上鳥的只數相等〞入手分析，可得出現在每棵樹上鳥的只數48÷3＝16〔只〕.第三棵樹上現有的鳥16只是從第二棵樹上飛來的6只后得到的，所以第三棵樹上原落鳥16-6＝10〔只〕.同理，第二棵樹上原有鳥16＋6-8＝14〔只〕.第一棵樹上原落鳥16＋8＝24〔只〕，使問題得解.解：①現在三棵樹上各有鳥多少只？48÷3＝16〔只〕②第一棵樹上原有鳥只數.16＋8＝24〔只〕③第二棵樹上原有鳥只數.16＋6-8＝14〔只〕④第三棵樹上原有鳥只數.16-6＝10〔只〕答：第一、二、三棵樹上原來各落鳥24只、14只和10只.【穩固】ABC三個小朋友共有玩具48個。A給B8個玩具，而B又將6個玩具給C，這時三人的玩具數相等。三人原來的玩具各有多少個？解析：從三人的玩具數相等入手分析，可得到每人的玩具數例5：籃子里有一些梨.小剛取走總數的一半多一個.小明取走余下的一半多1個.小軍取走了小明取走后剩下一半多一個.這時籃子里還剩梨1個.問：籃子里原有梨多少個？解析：依題意，畫圖進行分析.解：列綜合算式：｛［〔1＋1〕×2＋1］×2＋1｝×2＝22〔個〕答：籃子里原有梨22個.【穩固】一桶油倒去一半后，再倒去剩下的一半，這時連桶還有16千克。桶重5.5千克，那么原來這桶油連桶共重多少？解析：倒去兩次后連桶有16千克，這16千克不僅有剩下的油的質量還有桶的質量，桶重5.5千克，易知剩下的油重16-5.5=10.5千克，利用倒推法得油重10.5×2×2=42千克。故這桶油連桶重42+5.5=47.5千克。解：〔16-5.5〕×2×2+5.5=47.5〔千克〕例6：“六一〞兒童節,小明和小培從媽媽那兒分得一些糖，媽媽把糖分成相同的兩份給他們，多的一個給自己留下了.小明在路上遇著自己的兩個朋友,他把自己的糖分成三份,每人一份,多的兩顆分別送給了兩個朋友.過了一會兒,又遇上兩個小朋友,他同樣分給他們糖,多的兩顆分給了他們,后來,他又遇上了兩個朋友,分完糖之后,小明發現自己只剩下一顆糖了,請問媽媽原來有多少糖?解析：最后一次分糖前小明有糖3+2=5顆；倒數第二次分糖前小明有糖5×3+2=17顆；倒數第三次分糖前小明有糖17×3+2=53顆；媽媽原來有糖53×2+1=107顆.【穩固】A、B、C三個小朋友共有玩具48個。A給B8個玩具，而B又將6個玩具給C，這時三人的玩具數相等。三人原來的玩具各有多少個？解析：從三人的玩具數相等入手分析，可得到每人的玩具數為〔個〕。然后再看每人的玩具數是怎樣得到的，最后用倒推法就使問題解決了。解：C：〔個〕B：〔個〕A：〔個〕例7：甲乙兩個油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來，售貨員從剩下較多油的甲桶倒一局部給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一局部給甲桶，使甲桶油也增加一倍，這時甲桶油恰好是乙桶油的3倍.問：售貨員從兩個桶里各賣了多少千克油？解析：解題關鍵是求出甲、乙兩個油桶最后各有油多少千克.“甲、乙兩個油桶各裝油15千克.售貨員賣了14千克〞.可以求出甲、乙兩個油桶共剩油15×2－14＝16〔千克〕.又“甲、乙兩個油桶所剩油〞及“這時甲桶油恰是乙桶油的3倍〞.就可以求出甲、乙兩個油桶最后有油多少千克.求出甲、乙兩個油桶最后各有油的千克數后，再用倒推法并畫圖求甲桶往乙桶倒油前甲、乙兩桶各有油多少千克，從而求出從兩個油桶各賣出多少千克.解：①甲乙兩桶油共剩多少千克？15×2-14＝16〔千克〕②乙桶油剩多少千克？16÷〔3＋1〕＝4〔千克〕③甲桶油剩多少千克？4×3＝12〔千克〕用倒推法畫圖如下：④從甲桶賣出油多少千克？15-11＝4〔千克〕⑤從乙桶賣出油多少千克？15—5＝10〔千克〕答：從甲桶賣出油4千克，從乙桶賣出油10千克.【穩固】甲乙丙三人共有圖書120本，乙向甲借3本書后，又送給丙5本，結果三個人的數量相等。甲乙丙原來各有多少本書？解析：從三人數量相等入手：〔本〕；再根據往回逆推，得解。解：〔本〕甲：〔本〕乙：〔本〕丙：〔本〕課后練習一個數除以18,乘4，加上6039，等于6139，這個數是多少？解析：由于原來的計算為“〞，根據運算順序，用倒推法思考：這個數不加上6039時是多少，這個數不乘4時時多少，這個數不除以18時是多少，從6139入手，依次倒推，就可以求出這個數是多少。解：小明在做加法題時，把一個加數個位上的6寫成9，十位上的6寫成0，結果得到錯誤的得數584,正確得數應該是多少？解析：個位上的6看做9，和就多了3；十位上的6看做0，和就少加了60.要求出正確的和，就應該用60加上3.解：幾個數相加時，把一個加數個位上的0寫成9，把十位上的9寫成6；另一個加數百位上少寫3，這時得到的和是1395.那么原來幾個數的和是多少？解析：應為是相加的，所以多加的要減去，少加的要加上。并且要知道，在各位少幾就是幾個；在十位少幾，就是少幾十；在百位少幾，就是少幾百。解：4、從第一堆糖中拿一半放入第二堆，拿35粒放入第三堆，再拿出剩下中的一半放入第四堆，最后又吃掉第一堆中的2粒，這時第一堆中還有48粒，第一堆原有糖多少粒？解析：從吃了第一堆中的2粒，還有48粒入手，倒推出第一堆原有的糖的粒數。解：最后一堆沒吃2粒前沒放第四堆前沒放第三堆前沒放第二堆前48算式：〔粒〕三筐蘋果共有90千克，如果從甲筐取出15千克放入乙筐，從乙筐取出20千克放入丙筐，從丙筐取出17千克放入甲筐，這時三筐蘋果就同樣重了。甲乙丙原來各有蘋果多少千克？解析：如圖；先考慮已經平分，那么可知每筐有:甲乙丙-15+15+20+17-20-17解：〔個〕甲：〔個〕乙：〔個〕丙：〔個〕6、三年級三個班共有學生156人，假設從三〔1〕班調5人到三〔2〕班，從三〔2〕班調8人到三〔3〕班，再從三〔3〕班調4人到三〔1〕班，這時每個班的人數正好相同。三個班原來各有學生多少人？三〔1〕班三〔2〕班三〔3〕班-5+5+8+4-8-4解析：如圖；解：156÷3=52〔人〕三〔1〕班：52-4+5=53〔人〕三〔2〕班：52+8-5=55〔人〕三〔3〕班：52+4-8=48〔人〕7、有磚26塊，兄弟二人爭著去挑。弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕來了。哥哥看弟弟挑得太多，就搶過一半；弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半；哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊。這時，哥哥挑14塊，弟弟挑12塊。最初弟弟準備挑多少塊？解：14-5=9〔塊〕9×2=18〔塊〕26-18=8〔塊〕8×2=16〔塊〕8、三人共有糖72粒，假設甲給乙，丙各一些，使他們增加1倍。接著乙又給甲，丙各一些，使他們翻倍。最后丙也給甲，乙各一些，使他們翻倍。這時三人糖數相等，三人原來各有幾粒糖？解：72÷3=24〔粒〕甲乙丙最后的糖果數242424丙不給甲，乙121248乙不給甲，丙64224甲不給乙，丙392112一捆電線，第一次用去全長的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩下7米，這捆電線原來總長多少米？解析：關鍵是找好這三次之間的關系，用倒推的方法依次可以返回每次用之前的長