[摘要]：求數列和函數的極限是數學分析的基本運算，而對極限的求法也是多種多樣.本文首先闡述了數列極限以及函數極限的定義，然后著重歸納分析了求解極限的各種方法，包括四則運算求極限法則、利用函數連續性求極限、利用兩個重要極限求極限是求極限的基本方法，夾逼定理和單調有界定理是重要的定理，而洛必達法則求極限、利用泰勒公式求極限方法等是針對某些特殊函數或數列的求極限方法，以及一些常用的求極限方法，總共歸納了十三種求極限的主要方法，并針對每種方法作了詳盡闡述，配以例題，對各種求極限方法及技巧進行了歸納總結，從而幫助我們掌握極限的求法。函數求極限是數學分析的基本計算，不定式極限是最常見和最重要的極限類型，其求法多種多樣，變化無窮。本文對各種常見不定式極限進行了分類，并結合一些具體的例子分析和歸納各類不定式極限的求法，主要討論與型的基本不定式及其所派生的型不定式的極限計算技巧，能有效的提高對數學學習效率。[關鍵詞]：極限不定式運算方法引言極限是學習數學分析的過程中最基本的概念之一，極限是指變量在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的極限值。極限的概念最終是由柯西和維爾斯特拉斯等人嚴格闡述的[1]。而在現代的數學分析中，幾乎所有的基本概念都是建立在極限概念的基礎之上的，例如連續、微分、積分.極限的求法是研究函數的一種基本的方法，學好極限在學習數學分析的過程中具有重要意義[2]。本文首先闡述了極限的定義，分別敘述了數列極限的定義以及函數極限的定義，然后著重分析歸納了求極限的方法，主要有四則運算求極限法則、復合函數求極限法則、利用兩個極限準則求極限、利用兩個重要極限求極限、利用洛必達法則求極限、利用等價無窮小因子替換求極限、利用無窮小量的性質求極限、利用導數的定義求極限、利用定積分的定義求極限、利用泰勒公式求極限、利用函數的連續性求極限、利用拉格朗日中值定理求極限十二種方法求極限，在做求解極限的題目時，必須要透徹清晰的明白以上方法所需的條件，同時細心分析，選擇出適當的方法，提高做題的準確率。在求極限的過程中，會經常發現一道題可以運用多種方法求解，我們從中可以得到的其實是每種方法之間都有一定的聯系，特殊題型也有特殊方法求解，同時也可以利用變量替換，化簡等方法轉變成另一種方法求解[3]。我們在解題時，四則運算求極限、函數連續性求極限是最基本的方法，洛必達法則求極限、等價無窮小因子替換、兩個重要極限求極限是常用的方法，但是等價無窮小因子替換定理只能應用在乘除因式中，不能在和差中替換，而洛必達法則求未定式的極限只能在求型和型未定式時使用，其他形式的未定式求解需要轉化成為求型和型未定式的形式，這都是我們需要注意的.求極限必須在極限存在的基礎下進行，根據不同的形式選擇不同的方法，合理利用各種計算方法，或者可以進行適當的結合，以期能夠準確、簡單、快捷地求出答案[4]。極限是研究分析論的重要工具，是整個微積分思想的核心。在函數極限的計算中，不定式極限的計算是較為重要的一種類型，其計算的方法靈活多變。常見的不定式極限有型和型，還有，，，，等類型，其中型和型是最基本和最重要的不定式極限，其它的都可以經過簡單的變換，化為型和型的不定式極限加以解決[5]。本文歸納出各類不定式極限的各種求法，并輔以典型例題，以便于學習和掌握有關解題技巧，提高學習效率。由于不定式的形式各異,技巧多樣，如何選擇合理方法求不定式極限是難點。為了突破這難點,我認為有必要對一些常見的典型的例題進行歸納和總結并找出解決的辦法。第1章求極限的常用方法1.1極限的定義1.1.1數列極限的定義定義1.1設為數列，為定數.若對任給的正數，總存在正整數N，使得當n>N時有，則稱數列收斂于,定數稱為數列的極限，并記作或，讀作“當n趨于無窮大時，的極限等于或趨于”[6]。1.1.2函數極限的定義1.當的極限定義定義1.2設為定義在上的函數，為定數.若對任給的，存在正數，使得當時有，則稱函數當趨于時以為極限，記作或[7]。2．當的極限定義定義1.3設為定義在上的函數，為定數.若對任給的，存在正數，使得當時有，則稱函數當趨于時以為極限，記作或[8]。3．當的極限定義定義1.4設函數在點的某個空心鄰域內有定義，為定數.若對任給的，存在正數，使得當時有，則稱函數當趨于時以為極限，記作或[9]。4.當的極限定義定義1.5設函數在內有定義，為定數.若對任給的，存在正數，使得當時有，則稱數為函數當趨于時的左極限，記作或.定理1.1定理1.2定理1.3（海因定理）對任何數列，有[10]。1.2極限的求法四則運算求極限法則利用四則運算求極限法則是最基本、最直接的方法，但需要注意的是各個函數的極限必須存在且分母的極限不能為零.在無法直接使用四則運算法則求極限的情況下，需要先化簡變形，之后再利用四則運算求極限法則[11]。定理2.1（四則運算法則）設，，則,例1求解=====注若，不存在，則不存在也不為0；，則，均不存在.利用函數連續性求極限定義2.1設函數在某內有定義.若則稱在點連續.為引入函數在點連續的另一種表述，記.稱為自變量（在點）的增量或改變量.設，相應的函數（在點）的增量記為注自變量的增量或函數的增量可以是正數，也可以是0或負數.引進了增量的概念后，易見“函數在點連續”等價于結論若函數在點連續，則函數在點有極限，且極限值等于函數值.推廣定理設復合函數是由函數，復合形成的，并且，則在x=點處的極限存在且[12]例2求解令，則，當，時，于是有=====1.3復合函數求極限法則定義2.2對于一些結構較為復雜、變元較多的數學問題，引入一些新的變量進行代換，以簡化其結構，從而達到解決問題的目的,這種方法叫做變量代換法.常用的變量代換主要有局部代換、整體代換、三角代換、分式代換、對稱代換、增量代換等[13].例3求解先做變量替換，令，則，且時，有所以====1.4利用兩個極限準則求極限1．利用夾逼定理求極限定理2.2（夾逼定理）設有三個數列、、，若存在自然數，當時，恒有且，則.例3求解因為又因為所以用夾逼定理得利用夾逼定理求極限時，應注意做適當的放大或縮小，且放大和縮小后所得兩個數列（或函數）的極限相同[14].2.利用單調有界準則求極限定理2.3單調有界數列必有極限.結論單調遞增數列有上界必有極限；單調遞減有下界數列必有極限.例4設數列滿足，，證明存在，并求出.解因為，則.假設，由，可推得，則此數列有界.又（因為當時，），則有，可見數列單調遞減，因此由定理2.4，數列有極限，設，在兩邊同時取極限，，解得.即.解得，即.利用單調有界定理求極限的一般步驟為第一步證明單調性；第二步證明有界性；第三步設出極限，利用遞推公式求出極限值[15].1.5利用兩個重要極限求極限1.當極限形式中含有三角函數時當極限形式中含有三角函數時，一般可通過三角公式恒等變換，然后利用重要公式來求解.例5求解=====2.函數中含有冪指函數時函數中含有冪指函數時，可通過變換化成的形式，然后利用求解.例6求解===1.6利用洛必達法則求極限洛必達法則是以導數為工具研究不定式極限，只能求型和型未定式時使用，其他待定型必須先化成這兩種類型之一，然后再用洛必達法則[16].1.型未定式定理2.4設（1）；（2）在的空心領域中可導，；（3），則例7設常數，求解此題屬于型未定式，可用洛必達法則來求解.=======2.型未定式定理2.5設（1）；（2）在的空心領域中可導，；（3），則例8求解此題屬于未定式，可用洛必達法則求解.==而====3.其他類型未定式極限未定式極限還有等類型.經過簡單變換，它們一般均可化為型或型極限[17].例9求解這是一個型未定式極限，用恒等變形將它化為型的未定式極限，并應用洛必達法則得到例10求解這是一個型未定式極限.作恒等變形指數部分的極限是型未定式極限，可先求得從而得到=注當洛必達法則所求極限不存在時，不能說明原極限不存在.（七）利用等價無窮小替換求極限在求乘除表達式的極限時，如果巧妙地運用等價無窮小因子替換，可大大減少計算量且求出的極限值不變[18].當時，常用的等價無窮小替換，，，，，，.例11求解因為=，而==，所以，==注等價無窮小因子替換只在極限的乘除運算中使用，不能隨意在極限的加減運算中使用.利用（八）無窮小量的性質求極限定理2.6無窮小量與有界量之積仍為無窮小量.例12求極限解因為==0所以當時是無窮小量.而，則是有界函數.根據定理2.6，則.利用導數的定義求極限定義2.3設函數在點的某鄰域內有定義，若極限存在，則稱函數在點處可導，并稱該極限為函數在點處的導數，記作令，，則上式可寫成所以，導數是函數增量與自變量增量之比的極限.例13設在可導，求極限解====（十）利用定積分的定義求極限定義2.4設是定義在上的一個函數.對于的一個分割，任取點，并作和式并稱和式為函數在上的一個積分和，也稱黎曼和.定義2.5設是定義在上的一個函數，是一個確定的實數.若對任給的正數，總存在某一個正數，使得對的任何分割，以及在其上任意選取的點集，只要，就有則稱函數在區間上可積或黎曼可積；數稱為在上的定積分或黎曼積分，記作其中，稱為被積函數，稱為積分變量，稱為積分區間，分別稱為這個定積分的下限和上限.注我們常用極限符號來表達定積分，即把它寫成例14求解=所以，原式=（十一）利用泰勒公式求極限在處理某些特殊函數的極限時，用其他方法會受到一定的限制或計算過于繁瑣，這是考慮用泰勒展開式或邁克勞林公式來求解[19].定理2.7若函數EQ在點存在階導數，則有.注用的較多的是泰勒公式在時的特殊形式它也稱為（帶有佩業諾余項）邁克勞林公式.常用的邁克勞林公式（1）(2）(3)(4)(5)(6)例15求極限.解本題可用洛必達法則求解，但是較繁瑣.考慮到極限式的分母為，我們用邁克勞林公式表示極限式的分子（取=4）用替換公式（1）中的，便得則因而求得=（十二）利用函數極限求數列極限若，則對于，有.由這一結論，可以得到求數列極限的如下方法若數列可以看成某函數在數列上的值，即，且，若，則.特別的，若，，則.例16求數列極限解由.用等價無窮小因子替換得引入函數，則.(十三)利用拉格朗日中值定理求極限定理2.8（拉格朗日中值定理）若函數滿足如下條件：在閉區間上連續在開區間內可導則在內至少存在一點，使得例17求解由拉格朗日中值定理得，其中號介于和之間.則===第2章不定式型求極限方法型是不定式極限中最常見、最基本和最重要的類型，其它類型不定式極限往往可以轉換為型不定式極限來求解，因此，型是其它不定式類型的基礎，是不定式極限的主要內容，全面掌握型不定式極限的各種求法是學習不定式極限的關鍵[20]。2.1相約無窮小方法當型的分子、分母含有相同的無窮小因式，如果可以進行因式分解或有理化等恒定變換方法，約去相同的無窮小，從而求出不定式的極限.稱此求法為相約無窮小的方法。當，即時，函數極限成型，其分子、分母所含有相同的無窮小因式就是，約去它就可能得到極限[21]。例1．求極限解：===2.2極限公式方法在求含有三角函數或反三角函數的型不定式的極限，通常利用三角函數恒等變化轉換成公式及公式的推廣形式來求極限[22].例2．求極限解：===22.3洛必達法則方法洛必達法則是求解型不定式極限的主要方法，針對一些分子、分母的導數較易求得，且經若干次后求出極限，通常都是應用洛必達法則來求解，這是一種常用且十分有效的方法[23].例3．求極限（型）解：=====2.4等價無窮小代換方法當型不定式的分子、分母為因式的積或商時，可用等價無窮小代換這些因式，能達到簡化運算步驟，快速求出極限的目的.但須注意：分子、分母中的和、差的項不可用等價無窮小代換[24].例4．求極限解：由而當時，有故有==例5．求極限解：利用===即時，所以==由上例可以看出，欲利用此方法求函數的極限必須熟練掌握一些常用的等價無窮小量，如常見等價無窮小公式eq\o\ac(○,2)有：當時,,,,,,,以上幾例題說明在求函數極限時，恰當地進行等價替換，如將表達式中的根式函數、三角函數、反三角函數、對數函數、指數函數等變換為冪函數，然后再求極限，往往可以使計算過程大大簡化[25]。2.5用導數定義形式方法根據導數的定義：若在可導，則，可以將型不定式極限通過變形后轉化成導數定義形式，從而把極限計算轉化為函數在某一點的導數的計算[26].例6．求極限解:設，==2.6泰勒公式方法型不定式的各部分因式函數用其泰勒公式代替，經過整理化簡后求出不定式的極限.此方法是對一些型不定式極限利用洛必達法則求解時因為求導過于繁瑣而采用的方便快捷方法[27].例7．求極限解：本題可用洛必達法則來求解，但是運算過程比較繁瑣，在這里可用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子，取因而==2.7變量換元方法型不定式極限應用洛必達法則來求解時所得極限形式十分復雜，應嘗試采用變量換元法加以變形，使其簡化易求[28].例8．求極限解：用洛必達法則求解，但是比較麻煩。如作適當的變換，計算上就會更方便些，故令，則當，=注意到，，故有=所以例9.求極限（型）解：用洛必達法則求解，但是比較麻煩。如作適當的變換，計算上就會更方便些，故令當時，有，于是有==第3章不定式型求極限方法型也是不定式極限的基本類型，它的求法也是必須掌握的基本解題技能，其它類型不定式極限則根據情況可化為型不定式極限來求解.3.1分子、分母同除以的最高次冪方法當時，不定式的分子分母都是的多項式，則分子、分母同除以的最高次冪.例10．求極限解：型且分子分母都以多項式給出的極限,可通過分子分母同除來求==此類不定式的解決方法的指導思想是一般分子分母同除的最高次方冪.其求極限的公式3.2洛必達法則方法型的不定式極限的分子,分母的導數容易求得，且經過有限次應用法則后求出極限，則利用洛必達法則來求解.例11．求極限（型）解：直接用洛必達法則來求===要注意:不能對任何函數的分式都按洛必達法則來求極限.首先必須注意它是不是不定式極限；其次是觀察它是否滿足洛必達法則的其它條件以及是否簡潔可行，再則若不存在，并不能說明不存在.3.3分子、分母同除以分子、分母中趨向較快的項方法當部分極限中分子、分母都趨向時，則分子、分母同除以分子、分母中趨向較快的項例12.求極限解：=第4章不定式，，，，型求極限方法不定式：，，，，等類型。這些類型經過簡單的變換，都可以化為型和型的不定式求極限。4.1型對于部分型，可用重要極限公式：=解決.其實利用有時利用的另一種形式為.事實上，令（）所以，例13.求極限解：==注意:利用這個重要極限來求函數的極限時要仔細觀察所給的函數形式只有形式符合或經過變化符合這兩個重要極限的形式時才能夠運用此方法來求極限.一般常用的方法是換元法和配指數法.有部分型，可先化為以為底的指數的極限，再利用指數函數的連續性，化為直接求指數的極限，指數的極限為的形式，再化為或型的未定式來計算[29].例14.求極限（是常數）解：=其中=（）===從而==4.2型對于部分型，可利用通分后化為型或型的不定式來計算.例15．求極限解：=(型)==(型)=4.3型對于部分型與部分型，也可先化為以為底的指數的極限，再利用指數函數的連續性，化為直接求指數的極限，指數的極限為的形式，再化為或型的不定式來計算.例16．求極限解:=.其中=（型）===0所以有==14.4型對于部分型與部分、型一樣，也可先化為以為底的指數的極限，再利用指數函數的連續性，化為直接求指數的極限，指數的極限為的形式，再化為或型的不定式來計算。例17．求極限解：由于==1于是有=4.5型對于部分型，可將乘積化為除的形式，即化為或型的不定式來計算例18．極限解:===型用重要極限公式有時比使用洛必達法則計算更簡潔方便，不過洛必達法則是求待定型極限的有力工具，也是求極限最常用的方法.第5章總結利用洛必達法則與無窮小量代換來求極限方法是在微積分里求解極限的重要方法，也是最常用的方法.在這我主要對洛必達法則使用和無窮小量及等價代換進行進一步歸納和討論.5.1無窮小量及等價代換eq\o\ac(○,1)無窮小量不是一個量;eq\o\ac(○,2)說一個函數是無窮小，一定要注明自變量的變化過程；eq\o\ac(○,3)“0”本身叫做唯一的無窮小；利用等價無窮小量進行替換時需要注意，只有在求無窮小量的積和商的極限時，其分子或分母中的因式才可用等價無窮小量來替代；而在求無窮小量的和、差時，則不能利用等價無窮小量進行替換[30].5.2洛必達法則使用的必要條件在求極限過程中，特別是多個極限的值，一定先驗證是否或型。若是，可用洛必達法則即=，若存在即可求的極限；若不存在，即不可用此方法，因為此時本身還可能有極限，則需用另外的方法.若是或不定式可以連續用此法則,即=重復使用，直到求到有極限為止.例如,求極限就提供了一個使用洛必達法則的反例=不存在，而極限==1卻存在.應用洛必達法則時，每步必須驗證是否滿足條件，否則也是會得出錯誤的結果，例如,===-1事實上左端極限是1，出錯的原因是在用了一次洛必達法則之后，已經不是待定型了，所以不能再用洛必達法則.正確的做法是==1總之，求不定式極限的方法多種多樣，同一道題可能會有很多種方法，不同的題需要選擇適當的方法才能解決，這就要求我們平時多總結，多積累，熟練掌握這些方法的技巧和精髓.參考文獻[1]覃淋.多元函數L'Hospital法則及其應用[J].保山學院學報，2017，36（05）：36-40.[2]馬艷麗，丁健，李海霞.關于洛必達法則求不定式極限時的若干注記[J].商丘職業技術學院學報，2017，16（02）：77-79.[3]牛傳擇，桑波，顏紅.第二重要極限的一種簡易變形[J].大學數學，2016，32（05）：105-108.[4]康佳鑫.淺談應用洛比達法則求不定式極限[J].哈爾濱師范大學自然科學學報，2015，31（02）：16-19.[5]李巍，馮天祥.“1~∞”型不定式的極限[J].價值工程，2015，34（07）：302.[6]石德剛，董春芳.冪指函數型不定式計算中學生應掌握的一個結論[J].天津職業院校聯合學報，2015，17（02）：97-99.[7]趙小敏.淺談不定式極限的求法[J].呂梁教育學院學報，2014，31（03）：92-94.[8]李樹海，李旭東，詹紫浪，李曼生.不定式1~∞極限的求法[J].甘肅高師學報，2014，19（05）：55.[9]錢美蘭.函數極限若干計算方法舉隅[J].白城師范學院學報，2014，28（03）：70-74.[10]王寧.洛必塔法則等極限方法的分析與研究[J].金華職業技術學院學報，2014，14（03）：89-92.[11]張石鳳.淺談不定式極限[J].科技視界，2014（04）：168+199.[12]繆彩花.不定式極