3.2.2雙曲線的簡單幾何性質（第二課時）班級姓名【學習目標】熟練掌握雙曲線的幾何性質2能解決簡單的直線與雙曲線問題基礎知識雙曲線的幾何性質標準方程x2y2性質圖形焦點F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范圍x≤－a或x≥ay∈Ry≤－a或y≥ax∈R對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實軸：線段A1A2，長：____2a____；虛軸：線段B1B2，長：____2b____；半實軸長：___a_____，半虛軸長：____b____離心率e＝ca∈(1，＋∞漸近線y＝±bay＝±ab將y＝kx＋m與x2a2?y2b2＝1聯立消去y得一元方程(b2－a2k2)x2－2a2kmx－aΔ的取值位置關系交點個數k＝±ba且m≠相交只有___1_____交點k≠±ba且Δ有____2____交點k≠±ba且Δ相切只有___1_____交點k≠±ba且Δ＜相離____0____公共點雙曲線中的幾個常用結論(1)焦點到漸近線的距離為b.(2)實軸長和虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．(3)雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝eq\r(2)?雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關系)．(4)過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為eq\f(2b2,a)，(5)過雙曲線焦點F1的弦AB與雙曲線交在同支上，則AB與另一個焦點F2構成的△ABF2的周長為4a＋2|AB|.(6)雙曲線的離心率公式可表示為e＝eq\r(1＋\f(b2,a2)).典型例題例1已知定點，，動點到兩定點、距離之差的絕對值為．（1）求動點對應曲線的軌跡方程；（2）過點作直線與曲線交于、兩點，若點恰為的中點，求直線的方程．例2已知橢圓的焦點在x軸上，滿足短軸長等于焦距，且長軸兩端點與上頂點構成的三角形面積為.（1）求橢圓的標準方程及離心率；（2）若雙曲線與（1）中橢圓有相同的焦點，且過點，求雙曲線的標準方程.例3已知雙曲線，O為坐標原點，離心率，點在雙曲線上．（1）求雙曲線的方程（2）如圖，若直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點Q，P，且，求的最小值．例4過雙曲線Γ：的左焦點F1的動直線l與Γ的左支交于A，B兩點，設Γ的右焦點為F2.(1)若是邊長為4的正三角形，求此時Γ的標準方程；(2)若存在直線l，使得，求Γ的離心率的取值范圍.【課堂檢驗】1．已知雙曲線的右焦點為，過的直線交雙曲線的漸近線于兩點，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．2．已知點F是雙曲線（）的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（

）A． B．C． D．參考答案例1．（1）；（2）．【詳解】解：（1）由題意知：，故動點的軌跡為焦點在軸上的雙曲線，且，，∴，故曲線的方程為：；（2）設，，滿足，兩式相減得，即，因為點為的中點，故，∴，即直線的斜率為，又過點，故直線的方程為：，即．例2（1）橢圓的標準方程為，離心率為；（2）.【詳解】（1）由題意得：在橢圓中，，且.根據，解得，，所以橢圓的標準方程為.橢圓的離心率為.（2）由題意，橢圓的焦點為和.因為雙曲線過點，根據雙曲線的定義，得，所以，又因為，所以，所以雙曲線的標準方程為.例3（1）；（2）24.【詳解】因為，所以，．所以雙曲線的方程為，即．因為點在雙曲線上，所以，所以．所以所求雙曲線的方程為．設直線OP的方程為，則直線OQ的方程為，由，得，所以．同理可得，，所以．設，則，所以，即當且僅當時取等號．所以當時，取得最小值24．例4(1)；(2).【詳解】（1）依題意，結合雙曲線的對稱性得，，所以2a＝|AF2|－|AF1|＝2，a＝1，，，b2＝c2－a2＝2，此時Γ的標準方程為.（2）依題意知直線l的斜率不為0，設l的方程為x＝my－c，聯立，消去，得，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，，由AF2⊥BF2得，故(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，即(my1－2c)(my2－2c)＋y1y2＝0，整理得，即(m2＋1)b4－4m2c2b2＋4c2(b2m2－a2)＝0，則(m2＋1)b4＝4a2c2，所以，故4a2c2≥(c2－a2)2，所以c4＋a4－6a2c2≤0，兩邊除以，得e4－6e2＋1≤0，解得，又因為e>1，所以，故，又A，B在左支且l過F1，所以y1y2<0，即，故，所以，所以，即4a2<b2＝c2－a2，則，故e2>5，即，綜上：，即.課堂檢驗1．B【詳解】雙曲線1（a＞b＞0）的漸近線方程為y＝±x，∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，∴kl，∴直線l的方程為y（