基于二次積分法的均布荷載分析

0樁基作用下的應(yīng)力目前，中國的許多技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)都規(guī)定了沉降計(jì)算方法的規(guī)定，除了一些行業(yè)采用埃德洛法外，大多數(shù)采用分層開采法。前者是直接分析半無限空間體中不同部位的應(yīng)變關(guān)系,計(jì)算出壓縮量;后者則首先分析土體中的應(yīng)力分布,再依據(jù)壓縮模量的大小計(jì)算沉降量。在分層總和法中,對(duì)于土體中的附加應(yīng)力,采用Boussinesq(1883)解。布氏課題將地基視為均質(zhì)、線彈性和各向同性的半無限體,用彈性力學(xué)方法求得半無限體表面作用一豎向集中力時(shí)在地基中引起的應(yīng)力,經(jīng)過積分可以得到不同形式的分布荷載引起的應(yīng)力場(chǎng)的分布情況。雖然布氏解僅僅限于荷載作用于地表的情況,仍然得到廣泛應(yīng)用,主要是由于過去的基礎(chǔ)埋置深度很淺,往往僅有數(shù)米,與其采用的假定比較接近。在近20年左右,隨著高層建筑和大型公用建筑的大量修建,基礎(chǔ)埋深大大增加,很多達(dá)到20余米,而且在主體建筑下還采用樁基礎(chǔ),樁長(zhǎng)一般在15～30m之間。對(duì)于這種情況,建筑荷載由基礎(chǔ)構(gòu)件傳遞到離地面很深的基底或樁端持力層,與布氏解荷載作用在半無限空間體表面的假定,相去很遠(yuǎn)。在這種情況下,采用荷載作用于半無限彈性體內(nèi)的彈性理論Mindlin解(1936)顯然更為合理,這個(gè)道理是得到認(rèn)同的。對(duì)于明氏解在工程應(yīng)用方面的努力,大體上有兩個(gè)方向。其一是Geddes等人根據(jù)Mindlin的課題解,將樁端阻力簡(jiǎn)化為一個(gè)集中荷載,并考慮了樁側(cè)阻力的不同分布形式,得到土體中任一點(diǎn)的豎向應(yīng)力分布。在此基礎(chǔ)上,黃強(qiáng)和劉金礪利用明氏解提出了樁基下應(yīng)力分析的“等效作用法”1,該方法已經(jīng)在樁基規(guī)范中得到應(yīng)用。“等效作用法”的基本思路仍然是將明氏對(duì)于集中荷載的解直接應(yīng)用到每根單樁上,然后將所有的樁在地基中引起的應(yīng)力進(jìn)行疊加,再將結(jié)果用于沉降計(jì)算。這種方法較傳統(tǒng)的方法是一次突破,但在計(jì)算樁基沉降時(shí),必須預(yù)先知道布樁條件,使用往往不是十分方便。特別是在勘察階段,一般尚不具備這樣的條件,因此也難以進(jìn)行必要的分析,論證方案的經(jīng)濟(jì)合理性。這類方法很難應(yīng)用到天然地基上。第二個(gè)方向是利用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法,通過對(duì)荷載作用面積的積分,將原來集中荷載的解推廣到分布荷載條件。這種努力從上世紀(jì)50年代徐志英教授等人開始。早期的工作并沒有引起廣泛的重視,直到本世紀(jì)初左右,出現(xiàn)了若干有關(guān)的文獻(xiàn),較有代表性的有袁聚云等和王士杰等發(fā)表的論文。特別值得注意的是王士杰等人在這個(gè)領(lǐng)域做了比較系統(tǒng)的工作。文獻(xiàn)不僅推導(dǎo)了不同形態(tài)的分布荷載的公式,發(fā)現(xiàn)了前人的某些錯(cuò)誤,還對(duì)成果進(jìn)行了有意義的討論。上述對(duì)于分布荷載條件下的解,無疑具有實(shí)用價(jià)值。問題是手算推導(dǎo)過程非常繁雜,往往長(zhǎng)達(dá)數(shù)頁,由于對(duì)參數(shù)定義的差別,不同學(xué)者推導(dǎo)的結(jié)果在表達(dá)形式上不同,計(jì)算結(jié)果也有一定的差別。作為工程應(yīng)用的基礎(chǔ)表達(dá)式,其正確性需要驗(yàn)證。隨著計(jì)算機(jī)軟件技術(shù)的發(fā)展,出現(xiàn)了可以做各種數(shù)學(xué)運(yùn)算的“數(shù)學(xué)軟件(mathematicssoftwares)”。這是計(jì)算機(jī)應(yīng)用上的一個(gè)重要的突破,有人將這種技術(shù)稱為“數(shù)學(xué)機(jī)械化的符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)”。本文就是應(yīng)用這種技術(shù)求得問題的解,對(duì)已有的解答進(jìn)行了復(fù)核,并對(duì)結(jié)果的規(guī)律性進(jìn)行了扼要的討論。1符號(hào)運(yùn)算分析軟件本底組數(shù)學(xué)軟件的開發(fā)和應(yīng)用,大致上是從20世紀(jì)70年代開始的,常用的有Maple、Matlab、MathCAD、Mathematica等,我們僅以本文采用的Mathematica為例,對(duì)該類軟件進(jìn)行扼要的介紹。Mathematica是由美國物理學(xué)家StephenWolfram開發(fā)的,是一種集數(shù)學(xué)計(jì)算、處理與分析于一身的軟件,擁有從多項(xiàng)式運(yùn)算到微積分、特殊函數(shù)分析運(yùn)算等豐富的功能,能支持相當(dāng)復(fù)雜的符號(hào)運(yùn)算、符號(hào)數(shù)值運(yùn)算,并提供可視化輸出。它可以解決許多數(shù)學(xué)問題而不用編制大量的程序,操作簡(jiǎn)單、易學(xué)、易用。它還是一個(gè)交互式計(jì)算系統(tǒng),計(jì)算是在用戶和Mathematica系統(tǒng)之間互相交換、傳遞信息數(shù)據(jù)的過程中完成的。Mathematica系統(tǒng)所接受的命令都被稱作“表達(dá)式”,系統(tǒng)在接受了一個(gè)表達(dá)式后就對(duì)它進(jìn)行處理,然后返回計(jì)算結(jié)果。在輸入一個(gè)數(shù)學(xué)公式、方程組、矩陣等之后計(jì)算機(jī)能直接給出結(jié)果,用戶無需考慮中間的計(jì)算過程。具有強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算功能是該軟件的一個(gè)顯著特點(diǎn),它直接支持符號(hào)運(yùn)算,用戶只要在計(jì)算機(jī)上輸入數(shù)學(xué)公式、符號(hào)和等式等,就可以很容易地算出代數(shù)、積分、三角以及很多科技領(lǐng)域中的復(fù)雜表達(dá)式的值。同時(shí)它又具有顯示數(shù)學(xué)表格和圖形功能,可使用戶對(duì)問題的理解、分析更加形象和具體。優(yōu)秀的數(shù)學(xué)計(jì)算軟件有一個(gè)共同的比較突出的優(yōu)點(diǎn),即能夠保證以正確輸入為前提下的復(fù)雜運(yùn)算過程的正確性。本文采用的系統(tǒng)Mathematica系統(tǒng),經(jīng)過大量使用和考核,具有這種特點(diǎn)。2下深度z處a點(diǎn)引起的應(yīng)力增量作為比較目標(biāo),首先對(duì)布氏解進(jìn)行簡(jiǎn)單的回顧。地基表面作用有一豎向集中力P在地基中任意點(diǎn)M(x,y,z)所引起的豎向應(yīng)力布氏解為σz=3p2πz3R5σz=3p2πz3R5(1)式中:R為點(diǎn)M與集中力作用點(diǎn)之距離,m。矩形面積受豎向均布荷載p作用時(shí),整個(gè)作用面在角點(diǎn)下深度z處A點(diǎn)引起的豎向應(yīng)力增量可對(duì)上式積分求出σz=p2π[BLz(B2+L2+2z2)(B2+z2)(L2+z2)√B2+L2+z2+arctanBLz√B2+L2+z2]=p2π[mn(1+m2+2n2)(1+n2)(m2+n2)√1+m2+n2+arctanmn√1+m2+n2]=αp(2)σz=p2π[BLz(B2+L2+2z2)(B2+z2)(L2+z2)B2+L2+z2√+arctanBLzB2+L2+z2√]=p2π[mn(1+m2+2n2)(1+n2)(m2+n2)1+m2+n2√+arctanmn1+m2+n2√]=αp(2)式中:B、L為矩形荷載面積寬度和長(zhǎng)度,m;m=LB,n=zBm=LB,n=zB;α為附加應(yīng)力系數(shù)。如果計(jì)算點(diǎn)處在矩形面積中任意點(diǎn)以下,可將整塊面積以該點(diǎn)為公共點(diǎn)劃分為4塊,總的附加應(yīng)力系數(shù)為4塊面積角點(diǎn)附加應(yīng)力系數(shù)之和,即“角點(diǎn)法”。3明代土壤生產(chǎn)力分布的明代解3.1土的泊松比z彈性半無限空間體內(nèi)距表面深度h處作用有一豎向集中荷載p時(shí),在半無限體內(nèi)任一點(diǎn)M(x,y,z)處產(chǎn)生的豎向應(yīng)力分量的表達(dá)式為σz=p8π(1-μ)[(1-2μ)(z-h)R31-(1-2μ)(z-h)R32+3(z-h)3R51+3z(3-4μ)(z+h)2-3h(z+h)(5z-h)R52+30hz(z+h)3R72σz=p8π(1?μ)[(1?2μ)(z?h)R31?(1?2μ)(z?h)R32+3(z?h)3R51+3z(3?4μ)(z+h)2?3h(z+h)(5z?h)R52+30hz(z+h)3R72(3)式中:R1=√x2+y2+(z-h)2R1=x2+y2+(z?h)2??????????????√;R2=√x2+y2+(z+h)2R2=x2+y2+(z+h)2??????????????√;μ為土的泊松比。在上式中,如果h=0,R1=R2,可以退化為式(1),相當(dāng)于集中荷載作用在表面的情況。計(jì)算簡(jiǎn)圖見圖1。3.2在方程表面的均勻負(fù)荷和明代的情況下3.2.1算法+2arctanbl-z2+h-z2+2+22+2+22+22+22+22+22+22+2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222彈性半無限體內(nèi)矩形均布荷載作用下角點(diǎn)的豎向應(yīng)力見圖2。距地表深度h處的矩形荷載面積長(zhǎng)度為L(zhǎng),寬度為B,該范圍內(nèi)單位面積上的均布荷載為p。為確定在這種荷載條件作用下矩形面積角點(diǎn)下點(diǎn)M(0,0,z)處的豎向應(yīng)力增量Δσz,在矩形面積內(nèi)取一長(zhǎng)寬分別為dx,dy的微單元面積,其上作用的荷載為:dp=pdxdy。當(dāng)微單元面積足夠小時(shí),可以將dp看成集中荷載,根據(jù)集中荷載作用下的明氏解可求得M點(diǎn)在dp作用下的豎向應(yīng)力增量dσz:整個(gè)作用面積在M點(diǎn)引起的豎向應(yīng)力增量可以對(duì)上式積分求出Δσz=?Lx=0?By=0pdxdy8π(1-μ)[(1-2μ)(z-h)R31-(1-2μ)(z-h)R32+3(z-h)3R51+Δσz=?Lx=0?By=0pdxdy8π(1?μ)[(1?2μ)(z?h)R31?(1?2μ)(z?h)R32+3(z?h)3R51+3z(3-4μ)(z+h)2-3h(z+h)(5z-h)R52+30hz(z+h)3R72]3z(3?4μ)(z+h)2?3h(z+h)(5z?h)R52+30hz(z+h)3R72]利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica的符號(hào)計(jì)算功能,可方便地將上式的積分結(jié)果求出Δσz=p8π(1-μ){(-2+2μ)arctanBL(h-z)√B2+L2+(h-z)2+(2-2μ)arctanBL(h+z)√B2+L2+(h+z)2-BL[B2+L2+2(h-z)2](h-z)[B2+(h-z)2][L2+(h-z)2]√B2+L2+(h-z)2-2hLz(h+z)3B[B2+(h+z)2][B2+L2+(h+z)2]3/2+2hLz(h+z)3(h+z-B)(h+z+B)B3[B2+(h+z)2]2√B2+L2+(h+z)2+4hLz(h+z)√B2+L2+(h+z)2B[L2+(h+z)2]2-2hLz[-3B2+(h+z)2]√B2+L2+(h+z)2B3(h+z)[L2+(h+z)2]+BL[B2+L2+2(h+z)2][h2-2hz+3z2-4zμ(h+z)](h+z)[B2+(h+z)2][L2+(h+z)2]√B2+L2+(h+z)2}=p8π(1-μ){(-2+2μ)arctanm(k-n)√1+m2+(k-n)2+(2-2μ)arctanm(k+n)√1+m2+(k+n)2-m[1+m2+2(k-n)2](k-n)[1+(k-n)2][m2+(k-n)2]√1+m2+(k-n)2-2kmn(k+n)3[1+(k+n)2][1+m2+(k+n)2]3/2+2kmn(k+n)3(k+n-1)(k+n+1)[1+(k+n)2]2√1+m2+(k+n)2+4kmn(k+n)√1+m2+(k+n)2[m2+(k+n)2]2-2kmn[-3+(k+n)2]√1+m2+(k+n)2(k+n)[m2+(k+n)2]+m[1+m2+2(k+n)2][k2-2kn+3n2-4nμ(k+n)](k+n)[1+(k+n)2][m2+(k+n)2]√1+m2+(k+n)2}(4)Δσz=p8π(1?μ){(?2+2μ)arctanBL(h?z)B2+L2+(h?z)2√+(2?2μ)arctanBL(h+z)B2+L2+(h+z)2√?BL[B2+L2+2(h?z)2](h?z)[B2+(h?z)2][L2+(h?z)2]B2+L2+(h?z)2√?2hLz(h+z)3B[B2+(h+z)2][B2+L2+(h+z)2]3/2+2hLz(h+z)3(h+z?B)(h+z+B)B3[B2+(h+z)2]2B2+L2+(h+z)2√+4hLz(h+z)B2+L2+(h+z)2√B[L2+(h+z)2]2?2hLz[?3B2+(h+z)2]B2+L2+(h+z)2√B3(h+z)[L2+(h+z)2]+BL[B2+L2+2(h+z)2][h2?2hz+3z2?4zμ(h+z)](h+z)[B2+(h+z)2][L2+(h+z)2]B2+L2+(h+z)2√}=p8π(1?μ){(?2+2μ)arctanm(k?n)1+m2+(k?n)2√+(2?2μ)arctanm(k+n)1+m2+(k+n)2√?m[1+m2+2(k?n)2](k?n)[1+(k?n)2][m2+(k?n)2]1+m2+(k?n)2√?2kmn(k+n)3[1+(k+n)2][1+m2+(k+n)2]3/2+2kmn(k+n)3(k+n?1)(k+n+1)[1+(k+n)2]21+m2+(k+n)2√+4kmn(k+n)1+m2+(k+n)2√[m2+(k+n)2]2?2kmn[?3+(k+n)2]1+m2+(k+n)2√(k+n)[m2+(k+n)2]+m[1+m2+2(k+n)2][k2?2kn+3n2?4nμ(k+n)](k+n)[1+(k+n)2][m2+(k+n)2]1+m2+(k+n)2√}(4)式中:m=LB?n=zB?k=hB。從Mathematica得到的式(4)雖然從形式上看復(fù)雜一些,但變量關(guān)系明確簡(jiǎn)單,很容易做成人們熟悉的、像布氏解那樣的表格,供查閱計(jì)算。3.2.2明氏解的退化1)式(4)中,當(dāng)h=0或k=0時(shí),可以得到矩形均布荷載作用于地表時(shí),角點(diǎn)下一點(diǎn)的豎向應(yīng)力增量的表達(dá)式即布氏解。實(shí)際上,布氏解與明氏解都是基于彈性理論推導(dǎo)得到的,二者之間的區(qū)別僅僅在于假定荷載作用位置的不同,當(dāng)荷載作用位置距半無限體表面距離為零時(shí),明氏解將退化為布氏解,即布氏解是明氏解的特例。以此可對(duì)上述積分結(jié)果的正確性進(jìn)行退化驗(yàn)證。在上述積分結(jié)果中,如果h=0,可以退化為式(2)。2)將上述成果與文獻(xiàn)進(jìn)行了比較,證明二者雖然在結(jié)果的表達(dá)上有所不同,在不同條件下的計(jì)算結(jié)果是完全一致的,應(yīng)該可以作為任何工程應(yīng)用的基礎(chǔ)。4計(jì)算的討論4.1不同泊松比對(duì)分析結(jié)果的影響布氏解的表達(dá)式中沒有出現(xiàn)泊松比μ,因此解也不受其影響,而明氏解則與μ有關(guān)。為了考察μ對(duì)明氏解的影響,圖3給出了荷載作用相對(duì)基礎(chǔ)埋置深度比(或埋深比)k=h/B=0.3、0.5、1.0、2.0、3.0、5.0,矩形荷載面積長(zhǎng)寬比m=L/B=1、10,泊松比μ=0.1、0.3、0.5時(shí)角點(diǎn)下不同深度n′=z′/B(z′=z-h,為從矩形面積荷載角點(diǎn)下起算至計(jì)算點(diǎn)的距離)的附加應(yīng)力系數(shù)變化曲線(見圖3)。每一幅圖表示了不同的埋深比(即基礎(chǔ)埋深與寬度之比k=h/B)下,m分別為1和10(代表矩形基礎(chǔ)和近似代表?xiàng)l形基礎(chǔ)兩種極端情況)時(shí),泊松比μ對(duì)分析結(jié)果的影響。從每幅圖中都可以看出,分析曲線大致聚類為2個(gè)簇,每簇分別代表了m對(duì)于1和10的情況。每簇3條曲線內(nèi)部,則是μ等于0.1、0.3和0.5造成的差別。可以看出,不同的泊松比僅僅在k值較大時(shí),比如基礎(chǔ)埋深達(dá)到寬度的2倍,且在基礎(chǔ)下一定深度范圍內(nèi),有一定影響。即當(dāng)k=1～2時(shí),泊松比從0.1變到0.5(一般土體的變化不會(huì)這樣大),影響程度在10%之內(nèi)。對(duì)于大多數(shù)情況,取μ=0.3進(jìn)行實(shí)用表格的計(jì)算,誤差完全滿足一般工程要求。實(shí)際上,葉果洛夫法的處理方式也是如此。4.2應(yīng)力系數(shù)的與布氏解的比較為了比較荷載作用在不同深度時(shí),采用明氏與布氏兩種方法計(jì)算角點(diǎn)下附加應(yīng)力系數(shù)的不同,我們可以根據(jù)(4)式計(jì)算求得μ=0.3、不同長(zhǎng)寬比矩形面積荷載作用在深度k=h/B=0.3、0.5、1.0、2.0、3.0、5.0時(shí),角點(diǎn)下不同深度處的明氏應(yīng)力系數(shù)并與布氏解進(jìn)行比較(限于篇幅,此處不再列出),可以得出以下的規(guī)律:1)采用布氏解求得的應(yīng)力系數(shù)大于采用明氏解所求得的結(jié)果。當(dāng)荷載作用面距地面較淺(或基礎(chǔ)埋深較淺)時(shí),二者之間的差別不大,可近似看作相等,采用布氏解求解不會(huì)帶來很大的差別。k=h/B=0.3和0.5時(shí),角點(diǎn)下基礎(chǔ)與地基的接觸面附近,兩種解的差別不會(huì)大于7%。隨著作用深度的增加,比如k=h/B大于0.5時(shí),二者之間的差別將增大很多。對(duì)于矩形基礎(chǔ),差別可達(dá)到20%左右。當(dāng)k=h/B達(dá)到5時(shí)(這種條件在樁基礎(chǔ)中會(huì)遇到),明氏解的應(yīng)力只有布氏解的二分之一。2)當(dāng)荷載作用深度一定,或基礎(chǔ)埋深一定時(shí),角點(diǎn)下不同深度處明氏解與布氏解的差別隨深度的增加而減小,二者間的差別在角點(diǎn)附近處最大。在基礎(chǔ)下,相當(dāng)于4～5倍基礎(chǔ)寬度的深度上,二者的差別可以忽略,最終趨于一致。4.3應(yīng)力系數(shù)分布曲線下面以埋深比k=h/B=3為例,對(duì)矩形基礎(chǔ)中心點(diǎn)下應(yīng)力系數(shù)的明氏解與布氏解分布進(jìn)行比較見圖4。基礎(chǔ)中心線左側(cè)為中心點(diǎn)下布氏應(yīng)力系數(shù)分布曲線,右側(cè)為明氏應(yīng)力系數(shù)分布曲線,兩側(cè)由內(nèi)到外5條曲線依次表示基礎(chǔ)中心點(diǎn)下2B深度范圍內(nèi),長(zhǎng)寬比m=1、2、3、4、10時(shí)的分布曲線。從圖中可以看出,當(dāng)k=3時(shí),明氏應(yīng)力系數(shù)明顯小于布氏應(yīng)力系數(shù),只有布氏應(yīng)力系數(shù)的50%左右。如果