第4課平面向量的數乘運算目標導航目標導航課程標準課標解讀1.了解向量數乘的概念.2.理解并掌握向量數乘的運算律，會運用向量數乘的運算律進行向量運算.3.理解并掌握向量共線定理及其判定方法．1.在熟悉課本知識的基礎上，了解并充分掌握向量數乘的概念.2.在掌握向量加減與數乘定義的基礎上，理解并掌握向量數乘的運算律，會運用向量數乘的運算律進行向量運算.3.準確理解并掌握向量共線定理及其判定方法．知識精講知識精講知識點01向量數乘的定義一般地，我們規定實數λ與向量a的積是一個，這種運算叫做向量的，記作λa，其長度與方向規定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(當λ>0時，與a的方向相同；,當λ<0時，與a的方向相反.))特別地，當λ＝0時，λa＝0.當λ＝－1時，(－1)a＝－a.【即學即練1】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為不共線向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列關系式中正確的是（

）SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0知識點02向量數乘的運算律1．設λ，μ為實數，那么(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特別地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2．向量的線性運算向量的、、運算統稱為向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.【即學即練2】設SKIPIF1<0是兩個不共線的向量，若向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向相同，則SKIPIF1<0________.知識點03向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa.【即學即練3】已知點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在平面內，滿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0依次是SKIPIF1<0的（

）A．重心，外心 B．內心，外心 C．重心，內心 D．垂心，外心答疑解惑向量共線定理中為什么規定a≠0?答案若將條件a≠0去掉，即當a＝0時，顯然a與b共線．(1)若b≠0，則不存在實數λ，使b＝λa.(2)若b＝0，則對任意實數λ，都有b＝λa.能力拓展能力拓展考法01向量的線性運算【典例1】(1)若a＝2b＋c，則化簡3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于()A．－a B．－bC．－c D．以上都不對反思感悟向量線性運算的基本方法(1)類比法：向量的數乘運算類似于代數多項式的運算，例如，實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”“公因式”是指向量，實數看作是向量的系數．(2)方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用解方程的方法求解，同時在運算過程中多注意觀察，恰當的運用運算律，簡化運算．【變式訓練】若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝________.考法02用已知向量表示其他向量【典例2】設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝________.(用a，b表示)反思感悟用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法(2)方程法當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程．【變式訓練】如圖，在?ABCD中，E是BC的中點，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)a－b B.eq\f(1,2)a＋bC．a＋eq\f(1,2)b D．a－eq\f(1,2)b考法03向量共線的判定及應用【典例3】在△ABC中，若點D滿足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\f(5,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)) D.eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))反思感悟(1)證明或判斷三點共線的方法一般來說，要判定A，B，C三點是否共線，只需看是否存在實數λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))(或eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))等)即可．(2)利用向量共線求參數的方法已知向量共線求λ，常根據向量共線的條件轉化為相應向量系數相等求解．【變式訓練】設a，b是不共線的兩個向量．(1)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3a＋b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－3b，求證：A，B，C三點共線；(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實數k的值．分層提分分層提分題組A基礎過關練一、單選題1．如圖，E，F分別是矩形ABCD的邊CD，BC的中點，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．在SKIPIF1<0中，點D在BC邊上，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．如圖所示，在SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上靠近A的三等分點，點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面內一點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0點必在（

）A．SKIPIF1<0內部 B．在直線SKIPIF1<0上C．在直線SKIPIF1<0上 D．在直線SKIPIF1<0上6．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是任意三個空間向量，SKIPIF1<0，則下列關系式中不成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．在SKIPIF1<0中，D為BC上一點.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知等邊SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，D為SKIPIF1<0中點，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（多選）《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會現象.如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形SKIPIF1<0圖SKIPIF1<0中的正八邊形ABCDEFGH，其中O為正八邊形的中心，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0能構成一組基底10．（多選）莊嚴美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星（5個頂點構成正五邊形）是一個非常優美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯系在如圖所示的正五角星中，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．古代典籍《周易》中的“八卦”思想對我國的建筑有一定影響．圖1是受“八卦”啟示設計的正八邊形的八角窗．在正八邊形SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．12．如圖，已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________，SKIPIF1<0_________.題組B能力提升練1．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共線，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．A，B，C三點共線 B．A，B，D三點共線C．A，C，D三點共線 D．B，C，D三點共線2．在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上一點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．１C．-2 D．－13．已知SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0中點，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內一點，則“SKIPIF1<0”為“點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0重心”（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要4．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共線，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0反向共線，則實數λ的值為（）A．1 B．SKIPIF1<0C．1或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<05．已知SKIPIF1<0是平面上的4個定點，SKIPIF1<0不共線，若點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的軌跡一定經過SKIPIF1<0的（

）A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心6．設SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內一點，且滿足SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不共線，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0___________．8．在△ABC中，點D是線段BC的中點，點E在線段AD上，且滿足AE＝2ED，若SKIPIF1<0，則λ＋μ＝_________．9．P是梯形ABCD外一點，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____．10．（1）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個不共線的向量，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0（用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示）.（2）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是不共線的兩個非零向量.若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，求實數SKIPIF1<0的值.題組C培優拔尖練1．點P是SKIPIF1<0所在平面上一點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積之比是（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知SKIPIF1<0為△ABC內任意一點，若滿足SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分線上一點，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0內（不包含邊界）的一點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．設O是SKIPIF1<0的外心，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積是A．4 B．SKIPIF1<0 C．8 D．65．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上任