§1.函數的傅里葉級數展開2021/5/9

一.傅里葉級數的引進在物理學中,我們已經知道最簡單的波是諧波(正弦波),它是形如的波,其中是振幅,是角頻率,是初相位.其他的波如矩形波,鋸形波等往往都可以用一系列諧波的疊加表示出來.這就是說,設是一個周期為的波,在一定條件下可以把它寫成其中是階諧波,我們稱上式右端的級數是由所確定的傅里葉級數2021/5/9二.三角函數的正交性設是任意實數,是長度為的區間,由于三角函數是周期為的函數,經過簡單計算,有利用積化和差的三角公式容易證明還有2021/5/9我們考察三角函數系其中每一個函數在長為的區間上定義，其中任何兩個不同的函數乘積沿區間上的積分等零，而每個函數自身平方的積分非零。我們稱這個函數系在長為的區間上具有正交性。2021/5/9三、傅里葉系數設函數已展開為全區間設的一致收斂的三角級數現在利用三角函數系數的正交性來研究系數與的關系。將上述展開式沿區間積分，右邊級數可以逐項積分，由得到即又設是任一正整數，對的展開式兩邊乘以沿積分，由假定，右邊可以逐項積分，由和，得到2021/5/9即同樣可得因此得到歐拉-傅里葉公式2021/5/9自然，這些系數也可以沿別的長度為的區間來積分。以上是在已展開為一致收斂的三角級數的假定下得到系數的表達式的。然而從歐拉-傅里葉公式的形式上看，只要周期為的函數在區間上可積和絕對可積（如果式有界函數，則假定它是可積的。這時它一定式絕對可積的；如果是無界函數，就假定他是絕對可積，因而也是可積的，這樣，不論在哪一種情形，都是可積和絕對可積了），就可以按歐拉-傅里葉公式來確定所有的數，從而作出三角級數2021/5/9我們稱這級數是關于三角函數系的傅里葉級數，而稱為的傅里葉系數，記為2021/5/9四、收斂判別法

傅里葉級數的收斂判別法。設函數在上可積和絕對可積若在點的左右極限和都存在，并且兩個廣義單側導數都存在，則的傅里葉級數在點收斂。當是的連續點時它收斂與，當是的間斷點（一定是第一類間斷點）時收斂于2021/5/9例1在上展開函數為傅里葉級數。例2在上展開函數為傅里葉級數。例3在上展開為傅里葉級數。2021/5/9例4將在上展開為余弦級數。例5將以下函數展開為正弦級數2021/5/9五、傅里葉級數的復數形式傅里葉級數的階諧波可以用復數形式表示。由歐拉公式得如果記那么上面的傅里葉級數就化成一個簡潔的形式2021/5/9這就是傅里葉級數的復數形式，為復振幅，與是一對共軛復數2021/5/9六、收斂判別法的證明1、狄利克雷積分

為了研究傅里葉級數的收斂性問題，我們必須把傅里葉級數的部分和表示為一個特定形式的反常積分——狄利克雷積分。設在上可積和絕對可積，它的傅里葉級數為其中2021/5/9傅里葉級數的部分和由三角公式當，有公式2021/5/9當時把右邊理解為時的極限值，值一等式也就成立。把它應用到的表達式中，得到經過驗證知道，被積函數是的周期為的函數，可以把積分區間換為，因此作代換，得2021/5/9上面的幾種積分表達式都稱為狄利克雷積分。2021/5/92、黎曼引理

黎曼引理設函數在區間上可積和絕對可積，那么以下的極限式成立局部性定理函數的傅里葉級數在點的收斂和發散情況，只和在這一點的充分領近區域的值有關。2021/5/93、迪尼判別法及其推論迪尼定理（迪尼判別法）設能取到適當，使由函數以及點所作出的滿足條件：對某正數，使在上，為可積和絕對可積，那么的傅里葉級數在點收于。利普希茨判別法（地理判別法的一個推論）如果函數在點連續，并且對于充分小的正數在點的利普希茨條件成立，其中皆是正數，且，那么的傅里葉級數在點收斂于，更一般地，如果對于充分小的成立2021/5/9

同前，那么的傅里葉級數在點收斂于一個重要推論

如果在點有有限導數，或是有兩個單側的有限導數2021/5/9甚至只是有更一般的有限導數那么的傅里葉級數在點收斂于或因為這時對于函數在點的的利普希茨條件是成立的。2021/5/9七、傅里葉級數的性質一、一致收斂性1設周期為的可積和絕對可積函數在比更寬的區間上有有限導數，那么的傅里葉級數在區